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2014高中数学 第二章 圆锥曲线 抛物线第二课时教案 北师大版选修1-1


抛物线的简单性质
教学目的: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教
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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 抛物线的几何性质: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

O

F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

e ?1

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

e ?1

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离

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抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线 二、讲解新课: 1.抛物线的焦半径及其应用:

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定义:抛物线上任意一点 M 与抛物线焦点 F 的连线段,叫做抛物线的焦半径 焦半径公式: 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?

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p p ? ? x0 2 2 p p ? ? x0 2 2

抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?

抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?

p p ? ? y0 2 2 p p ? ? y0 2 2

抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ? 2.直线与抛物线: (1)位置关系:

相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点) 下面分别就公共点的个数进行讨论:对于 y ? 2 px( p ? 0)
2

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当直线为 y ? y0 ,即 k ? 0 ,直线平行于对称轴时,与抛物线只有唯一的交点 当 k ? 0 ,设 l : y ? kx ? b
2 2 将 l : y ? kx ? b 代入 C : Ax ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,消去 y,得到

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关于 x 的二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

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(*)
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若 ? ? 0 ,相交; ? ? 0 ,相切; ? ? 0 ,相离 综上,得: 联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px
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当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点)

当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点)
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? ? 0 ,一个公共点(切点) ? ? 0 ,无公共点 (相离)
(2)相交弦长: 弦长公式: d ?

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? 1 ? k 2 ,其中 a 和 ? 分别是 ax2 ? bx ? c ? 0 (*)中二次项系数和判 a
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别式,k 为直线 l : y ? kx ? b 的斜率

当代入消元消掉的是 y 时,得到 ay2 ? by ? c ? 0 ,此时弦长公式相应的变为:

d?

? 1 1? 2 a k

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(3)焦点弦: 定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 焦点弦公式:设两交点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,可以通过两次焦半径公式得到: 当抛物线焦点在 x 轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关: 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 )
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抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 )

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当抛物线焦点在 y 轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关: 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) 抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) (4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
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直接应用抛物线定义,得到通径: d ? 2 p (5)若已知过焦点的直线倾斜角 ?

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2p p ? ? 2p ? y ? k(x ? ) ? y1 ? y 2 ? 2 2 y? p ?0?? 则? k 2 ?y ? k 2 2 ? ? ? y ? 2 px ? y1 y 2 ? ? p

1 2p 4 p2 2p ? AB ? y1 ? y 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? 4 p2 ? 2 sin ? sin 2 ? sin ? k
(6)常用结论:

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 2 2 y ? p ? 0 和 k x ? (k p ? 2 p) x ? ?0 ? 2 ?y ? k 4 2 ? y ? 2 px ?

? y1 y2 ? ? p 2 和 x1 x 2 ?
3.抛物线的法线:

p 4

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过抛物线上一点可以作一条切线, 过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法 线,抛物线的法线有一条重要性质: 经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴, 那么经过这一点的法线平分这条直线和 这点与焦点连线的夹角如图. 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如,在光学上,如果把光源放在抛物镜的焦 点 F 处,射出的光线经过抛物镜的反射,变成了平行光线,汽车前灯、探照灯、手电筒就是 利用这个光学性质设计的.反过来,也可以把射来的平行光线集中于焦点处,太阳灶就是利 用这个原理设计的
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y 平行于轴 x

切线 O

法线

? x ? 2 pt 2 4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程: ? (t 为参数) ? y ? 2 pt
2

三、讲解范例: 例 正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上, 求这
2

个正三角形的边长. 分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明 x 轴是它们公共的对称轴, 则容易求出三角形边长.

解:如图,设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上,且坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则

y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2
又|OA|=|OB|,所以 x1 ? y1 ? x2 ? y2 即
2 2 2 2

2

2

y

A
x

O

x1 ? 2 px1 ? x2 ? 2 px2 ( x1 ? x2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ? 0
[(x1 ? x2 ) ? 2 p](x1 ? x2 ) ? 0
2 2

2

2

B



x1 ? 0, x2 ? 0,2 p ? 0 ,∴

x1 ? x 2 .

由此可得 | y1 |?| y 2 | ,即线段 AB 关于 x 轴对称. 因为 x 轴垂直于 AB,且∠AOx=30°,所以

y1 3 ? tan300 ? x1 3
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所以 y1 ? 2 px1 ? 四、课堂练习:

1 ? 2 3 p , | AB |? 2 y1 ? 4 3 p y1

1.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,求这
2

个正三角形的边长 (答案:边长为 4 3 p )
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2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,求正
2

三角形外接圆的方程

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分析:依题意可知圆心在 x 轴上,且过原点,故可设圆的方程为: x ? y ? Dx ? 0 ,
2 2

又∵ 圆过点 A 6 p , 2 3 , ∴ 所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 px ? 0 3 .已知 ?ABC 的三个顶点是圆 x ? y ? 9 x ? 0 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的交点,且
2 2 2

?

?

?ABC 的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程 (答案: y 2 ? 4 x )
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4.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上, (1)分
2

别求 A 、 B 两点的横坐标之积,纵坐标之积; (2)直线 AB 是否经过一个定点,若经过, 求出该定点坐标,若不经过,说明理由; (3)求 O 点在线段 AB 上的射影 M 的轨迹方程
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答案: (1) y1 y2 ? ?4 p 2 ; x1 x2 ? 4 p 2 ; (2)直线 AB 过定点 ?2 p , 0? (3)点 M 的轨迹方程为 ?x ? p? ? y 2 ? p 2
2

?x ? 0?

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5.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上,原点在 直线 AB 上的射影为 D?2 , 1? ,求抛物线的方程 (答案: y ?
2
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5 x) 2

6.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与直线 y ? ? x ? 1 相交于 A 、 B 两点,以弦长 AB 为直径 的圆恰好过原点,求此抛物线的方程 (答案: y 2 ? x )
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7. 已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 相交于 A 、B 两点, 若 OA ? OB , (O 为 坐标原点)且 S?AOB ? 2 5 ,求抛物线的方程 (答案: y ? 2 x )
2
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8.顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物 线的方程 (答案: y 2 ? 12x 或 y 2 ? ?4 x )
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五、小结 :焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、测 试 题:
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1.顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(4,2)的抛物线方程是( (A) x =8y
2 2



(B) x =4y

2

(C) x =2y

2

2 (D) x ?

1 y 2

2.抛物线 y =8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是(A) (2,4) (B) (2,±4) (C) (1, 2 2 ) (D) (1,± 2 2 ) 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长等于 8,则抛物线 方程为 4.抛物线 y =-6x,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是
2

x2 y2 ? ? 1 的右准线为准线,以坐标原点 O 为顶点的抛物线截双曲线的左准 5.以双曲线 16 9
线得弦 AB,求△OAB 的面积. 测试题答案:

1.A

2.D

3.x =±8y

2

4. ( x ?

3 2 ) ? y2 ? 9 2

5.

512 25

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