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1986全国高考理科数学试题


1986 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
一. (本题满分 30 分) (1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是
? ? ? i sin ) 4 4 ? ? (C) 2(sin ? i cos ) 4 4

( B )

(A) 2(cos

(B) 2(cos

/>? ? ? i sin ) 4 4 ? ? (D) ? 2(sin ? i cos ) 4 4

(2)函数 y ? (0.2) ? x ? 1的反函数是 (A) y ? log5 x ? 1 (C) y ? log5 ( x ? 1)
4 3

( C )

(B) y ? logx 5 ? 1 (D) y ? log5 x ? 1 ( B )

(3)极坐标方程 ? cos ? ? 表示

(A)一条平行于 x 轴的直线 (B)一条垂直于 x 轴的直线 (C)一个圆 (4)函数 y ? 2 sin 2x cos2x 是
? 2 ? (C)周期为 的奇函数 4

(D)一条抛物线 ( A )
? 2 ? (D)周期为 的偶函数 4

(A)周期为 的奇函数

(B)周期为 的偶函数

(5)给出 20 个数:

( B )

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91, 86,89,92,95,88 它们的和是 (A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)1899

(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件, 那么丁是甲的 (A)充分条件 (C)充要条件 (B)必要条件 (D)既不充分也不必要的条件 ( D )

(7)如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有 (A)D=E (B)D=F (C)E=F ( A ) (D)D=E=F

(8)在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的 中点,现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1 、 G2 、G3 三点重合,重合后的点记为 G,那么,在四面体 S-EFG 中必有 ( A ) (A)SG⊥△EFG 所在平面 (B)SD⊥△EFG 所在平面 (C)GF⊥△SEF 所在平面 (D)GD⊥△SEF 所在平面
G1 E G2 S G3 F D

(9)在下列各图中,y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是 ( D )
(A) Y (B) Y (C) Y (D) Y X O O X O X X O

(10)当 x ? [?1,0] 时,在下面关系式中正确的是

( C )

(A) ? ? arccos(? x) ? arcsin 1 ? x2 (B) ? ? arcsin(? x) ? arccos 1 ? x 2 (C) ? ? arccosx ? arcsin 1 ? x 2 二. (本题满分 24 分) (1)求方程 25( x ? x?0.5) ? 4 5 的解
2
王新敞
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(D) ? ? arcsin x ? arccos 1 ? x 2

答: x1 ? , x 2 ? ? . (注:仅写出其中一个解的,给 2 分 )
王新敞
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1 2

3 2

(2)已知 ? ? 答:0 .

? 1 ? 3i , 求?2 ? ? ? 1 的值 2

王新敞
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(3)在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0) 、 (1,0) 、 (2,1)及(0,3) 求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的
王新敞
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几何体的体积 答:
25 ? 3

王新敞
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3n ? (?2) n (4)求 lim n?1 n ?? 3 ? (?2) n?1

答:

1 3

(5)求 (2 x 3 ? 答:-40
王新敞
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1 5 ) 展开式中的常数项 x2

王新敞
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(6)已知 sin ? ? cos ? ? , 求 sin 3 ? ? cos 3 ? 的值 答:
11 . 6

1 2

王新敞
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三. (本题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上 不同于 A、B 的任一点,求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC 证:设圆 O 所在平面为α ,由已知条 件, PA⊥平面α ,又 BC 在平面α 内, 因此 PA⊥BC
王新敞
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P

C A O B

因为∠BCA 是直角,因此 BC⊥AC

而 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的相交直线,因此 BC⊥△PAC 所在平面, 从而证得, △PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直 四. (本题满分 12 分) 当 sin2x>0,求不等式 log0.5 ( x 2 ? 2x ? 15) ? log0.5 ( x ? 13) 的解集 解:满足 sin2x>0 的 x 取值范围是 k? ? x ? k? ? , k ? Z , 而由 log0.5 ( x 2 ? 2x ? 15) ? log0.5 ( x ? 13) 得
? x 2 ? 2 x ? 15 ? x ? 13 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0 ? x ? 13 ? 0 ? (2) (3) (4)
? 2
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(1 )

解得:-4<x<-3,5<x<7 (5) 由(1) 、 (5)可知所求解集为 (??,?3) ? (2?,7). 五. (本题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴(坐标原点除外) 上给定两点 A、B 试在 x 轴的正半轴
王新敞
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(坐标原点除外) 上求点 C, 使∠ACB 取得最大值
王新敞
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Y A

解:设点 A 的坐标为(0, a )、点 B
B

的坐标为(0,b) ,0<b< a ,又设所 求点 C 的坐标为(x,0) 记 ?BCA ? ?, ?OCB ? ?, 则?OCA ? ? ? ? 显然, 0 ? ? ? . 现在有
? 2
O

α β C X

tg? ? tg[(? ? ?) ? ?] a b ? tg (? ? ?) ? tg? x x ? a?b ? ? ab ab 1 ? tg (? ? ?)tg? 1? 2 x? x x a?b ? . ? x ab ? ? ab? ? ab ? x ? ? ?

记y?

x ab

?

ab ,那么,当 x ? ab 时,y 取得最小值 2 x
a?b 2 ab .

王新敞
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因此,当 x ? ab 时, tg? 取得最大值
? 2

因为在 (0, ) 内 tg? 是增函数,所以当 x ? ab 时,∠ACB 取最大值
arctg a ?b 2 ab . 故所求点 C 的坐标为( ab, 0)

六. (本题满分 10 分) 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,试 求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数: (1)C ? A ? B 且 C 中含有 3 个元素, (2) C ? A ? ? ( ? 表示空集) 解:因为 A、B 各含 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,因此 A∪B 元素的个数是 12+12-4=20
3 故满足题目条件(1)的集合的个数是 C 20 ,在上面集合中,还满

足 A∩C= ? 的集合 C 的个数是 C83
3 因此,所求集合 C 的个数是 C 20 - C83 =1084

(解二略) 七. (本题满分 12 分) 过点 M(-1,0)的直线 L1 与抛物线 y2=4x 交于 P1、P2 两点 记:线
王新敞
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段 P1P2 的中点为 P;过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2;L1 的斜 率为 k 试把直线 L2 的斜率与直线 L1 的斜率之比表示为 k 的函数, 并指
王新敞
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出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增 函数还是减函数
王新敞
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解:由已知条件可知,直线 L1 的 方程是 y=k(x+1) ①
Y

L2 L1 P2 P M P1 F -1 O

把①代入抛物线方程 y2=4x, 整理后得到
k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0



X

因此,直线 L1 与该抛物线有两个 交的充要条件是:
(2k 2 ? 4) 2 ? 4k 2 ? k 2 ? 0

③ ④

及 k ? 0.

解出③与④得到 k ? (?1,0) ? (0,1) 现设点 P 的坐标为 ( x, y) , 则直线 L1 的斜率 k ? 记 f (k ) ?
y y , 而直线 L2 的斜率 k 2 ? , x ?1 x ?1

k2 x ?1 , 则 f (k ) ? 今记 L1 与抛物线的两个交点 P1 与 P2 的横坐标 x ?1 k

分别为 x1 和 x2,由韦达定理及②得
x1 ? x2 ? 4 ? 2k 2 , (k ? (?1,0) ? (0,1)) k2

因此

x1 ? x2 2 ? k 2 1 ? ,由此得到f (k ) ? , 2 2 k 1? k 2 定义域是(?1,0) ? (0,1) x?

显然,1-k2 在(-1,0)内递增,在(0,1)内递减 所以,
王新敞
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f (k ) ?

1 在(0,1)内为增函数,在(-1,0)内为减函数 1? k 2

王新敞
奎屯

新疆

八. (本题满分 12 分) 已知 x1>0,x1≠1,且 xn?1
2 xn ( xn ? 3) ? , (n ? 1,2,?).试证:数列{xn}或 2 3x n ? 1

者对任意自然数 n 都满足 xn<xn+1,或者对任意自然数 n 都满足 xn> xn+1.
2 2 xn ( xn ? 3) 2 xn (1 ? xn ) 证:首先, xn?1 ? xn ? ? xn ? , 2 2 3x n ? 1 3x n ? 1

由于 x1>0,由数列{xn}的定义可知 xn>0, (n=1,2,…) 所以,xn+1-xn 与 1-xn2 的符号相同
王新敞
奎屯 新疆

(1)假定 x1<1,我们用数学归纳法证明 1-xn2>0( n ? N ) 显然,n=1 时,1-x12>0 设 n=k 时 1-xk2>0,那么当 n=k+1 时
1? x
2 k ?1 2 3 ? x ( x 2 ? 3) ? (1 ? x k ) ? 1 ? ? k 2k ? ? 0, ? 2 (3x k ? 1) 2 ? 3x k ? 1 ? 2

因此,对一切自然数 n 都有 1-xn2>0, 从而对一切自然数 n 都有 xn<xn+1
王新敞
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(2)若 x1>1,用理可证,一切自然数 n 都有 xn>xn+1. 九. (附加题,本题满分 10 分) (1)求 y ? xarctgx2 的导数
王新敞
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(2)求过点(-1,0)并与曲线 y ? 解: (1) y ? ? arctgx2 ?
2x 2 . 1? x4

x ?1 相切的直线方程 x?2

王新敞
奎屯

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(2) y ? ?

1 , ( x ? 2) 2
x ?1 上, y ? | x??1 ? 1, 所以所求的切线方程为 y=x+1 x?2

而点 (-1, 0) 在曲线 y ?


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