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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题

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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高一年级) 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 .已知数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015 项的和 2 为 . 3 2.已知 a , b 是常数,函数 f ( x ) ? ax ? b ln( x ? x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,则 f ( x) 在 (0,??) 上 的最小值为 . . 3.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 4 . 设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*) , S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } , 则 集 合 S 中 的 元 素 的 个 数 为 . 5.△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? c ? a sin C ,则 sin A?C B ? sin 的值为 2 2 . . 6.设多项式 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? ?2x 2 ? 2x ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (9) ? 7 . 已 知 点 P 在 Rt △ ABC 所 在 平 面 内 , ?BAC ? 90? , ?CAP 为 锐 角 , | AP |? 2 , AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 8. 8 sin 10 ? ? 2 . 1 的值为 sin 10 ? . . 9.函数 f ( x) ? 8 ? x ? 3x ? 6 的最小值为 10.使得 p ? 1 p2 ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11.定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足:① f (2) ? 1 ;②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;③ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f (t ) ? f (t ? 3) ? 2 ,试求 t 的取值范围. x y 12.已知正实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ,求 (1 ? c c )(1 ? ) 的最小值. a b 13.设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N* . 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 S n ? T12 ? T2 ? ? ? Tn2 ,求证: a n ?1 ? 1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3 -2 都江堰校区 段老师提供 2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按 照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标 准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题

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