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教案二:§8.2椭圆的简单几何性质第三课时

时间:2011-02-20


●教学目标? (一)教学知识点? 1.椭圆的参数方程.? 2.椭圆的参数方程与普通方程的关系.? (二)能力训练要求? 1.使学生了解椭圆参数方程的来源, 并能在研究椭圆的性质、 建立椭圆的方程的过程中, 正确地应用参数方程.? 2.使学生掌握参数方程与普通方程的关系,正确互化以便灵活应用.? (三)德育渗透目标? 使学生认识到事物的表现形式可能不止一种,认识事物要透过现象看本质.? ●教学重点? 1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.? 2.椭圆的参数方程与变通方程互化.? ●教学难点? 1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.? 2.椭圆的参数方程与普通方程的互化.? ●教学方法? 师生共同讨论法? 通过师生共同讨论,使学生了解椭圆参数方程的来源,理解椭圆参数方程的建立方法, 明确常数 a、b 的几何意义并掌握椭圆参数方程与普通方程的互化.? ●教具准备? 投影片两张? 第一张:P101 例 5(记作§8.2.3 A)? 第二张:本课时教案的例 6、例 7(记作§8.2.3 B)? 多媒体课件一个:? 在同一坐标平面内,以原点为圆心作两个半径不等的同心圆(用同一种颜色) ,作大圆 的半径 OA 交小圆于 B,作 AN 垂直于 x 轴,垂足为 N,过 B 作 BM⊥AN,垂足为 M(点 M 标为 另一种颜色)让 OA 绕点 O 旋转,看点 M 的轨迹,给学生一个直观印象.? ●教学过程? Ⅰ.课题导入? [师]上一节课我们学习了椭圆的比值定义,哪位同学来叙述一下.? [生]动点到一个定点与一条直线的距离的比是一个常数 e(0<e<1)时,动点的轨迹 是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线.? 2 2 [师]椭圆 25x +9y =225 的准线方程是什么?? [生]将椭圆方程化成标准方程为:?

x2 y2 + =1 9 25
可知:a=5,b=3,c= 25 ? 9 =4 ? ∴椭圆的准线方程是 y=±

25 4

[师]同学们对准线方程的形式要予以掌握,另外,请注意知道 a、c 的值能写出准线 方程,但知道准线方程要确定 a、c 的值,还需要其他条件,仅知道准线方程,只能确定 a、

c 的关系,下面我们再来看这样一个题目.(打出投影片§8.2.3 A)?
Ⅱ.讲授新课? [师] (读题,并用多媒体课件演示,对点 M 的轨迹给学生一个直观形象)? 分析指导:题目让求当 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程,我们知道在解析几何 中求哪个点的轨迹,就把哪个点的坐标设为(x,y),然后再去寻求关系,那么我们来考虑一 下,点 M 的坐标(x,y)随着哪个量的变化而变化呢?或者说选哪个量为参数呢?(给同学 们留出思考的时间)? [生甲]点 M 的横坐标 x 就是点 A 的横坐标,点 M 的纵坐标就是点 B 的纵坐标,所以教 一个量既能表示 A 点的横坐标又能表示 B 点纵坐标作为参数即可.由于 OA 在绕点 O 旋转, 而 且它的半径已知,△BOR、△AON 匀为 Rt△,故选转角∠AOx 为参数,就既能表示 B 点的纵 坐标,又能表示 A 点的横坐标.? [师]很好,生甲分析得透彻,大家听清楚了吗?? [生]明白啦!? [师]好,下面我们来写出解答过程(请一名同学在黑板上板书)? [生乙]设点 M 的坐标是(x,y),φ是以 Ox 为始边,OA 为终边的正角,取φ为参数, 那么? x=ON=|OA|cosφ? y=NM=|OB|sinφ? 即?

? x = a cos ? ? y = b sin ?

这就是所求点 M 的轨迹的参数方程.? [师]做完的同学请举手.好,请放下,我们来看生乙的解答(师生共同审阅) ,有没有 不完善或不严密的地方?? [生丙]我认为在取φ为参数的地方,标明参数的取值范围要严密一些,即标出 0<φ <2π? [师]生丙所说的有道理吗?有必要吗?? (学生考虑)? [师]生丙所说的是非常有道理的,标明参数的取值范围是非常有必要的,不要以为课 本上未谈及咱来谈就是多余的,就是多此一举的.事实上,求曲线的参数方程,对参数的范 围是应予以足够重视的.这点在我们以后的做题中要引起注意.? 至此, 按题目要求, 这道题我们做完啦, 假如这道题条件不变, 所求改为求点 M 的轨迹, 我们该如何做呢?? [生]求出点 M 的轨迹方程,再指出轨迹是怎样的曲线吗?? [师]正确,怎样求其轨迹方程呢?求普通方程还是求参数方程呢?? [生]都可以.? [师]求出参数方程后,你能根据方程指出曲线类型吗?就是说上面所求出方程,你知 道它表示的曲线是什么吗?? (生无言以对,也有可能根据我们前面演示的直观,或根据课前的预习会说是椭圆,但 为什么呢?这时教师要抓住时机,指出应当怎样确定曲线的类型).? [师]求出曲线的参数方程后,要想进一步确定曲线的类型,采用的方法仍然是化生疏 为熟悉,将参数中的参数消去,得到曲线的普通方程,从而指出曲线类型,比如上面的参数 方程,我们将两个方程分别变形,得:?

x y =cosφ, =sinφ? a b
利用三角函数中同一角的三角函数关系, 即可消去参数, 也就是将方程两边平方后相加, 得:

x2 y2 + 2 = cos 2 ? + sin 2 ? = 1 2 a b
即消去方程中的参数后,得到的方程是椭圆的标准方程:?

x2 y2 + =1 a2 b2
由此可知,点 M 的轨迹是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆.? 我们把方程 ?

? x = a cos ? (0<φ≤2π)称为椭圆的参数方程,在椭圆的参数方程中,常 ? y = b sin ?

数 a、b 分别是椭圆的长半轴和短半轴长.? [师]上面我们讨论了椭圆的参数方程,并且讨论了参数方程化为普通方程的方法,那 么给出椭圆的普通方程,怎样把它化为参数方程呢?? 我们来看这样一个例子.(打出投影片§8.2.3 B)?

x2 y2 + = 1 化为参数方程. [例 6]将椭圆方程 16 9
分析指导: 将普通方程化为参数方程, 重要是利用三角函数中同一角的正弦值平方与它 余弦值的平方和等于 1 的这个关系.? 解:令 x=4cosθ,(0<θ≤2π)? ∵sin2θ+cos2θ=1 ? ∴y=3sinθ? ∴椭圆的参数方程为 ?

? x = 4 cos θ (0<θ≤2π)? ? y = 3 sin θ

[师]此时,我们可以说点(4cosθ,3sinθ)是椭圆上的任意一点吗?? [生] (略加考虑,作答) ,可以.因为(x,y)是椭圆

x2 y2 + = 1 上的任意点,而 x=4cos 16 9

θ,y=3sinθ,所以(4cosθ,3sinθ)是椭圆

x2 y2 + = 1 上的任意点.? 16 9

注意:(1)椭圆的普通方程化为参数方程结果不是惟一的.? (2)把椭圆的普通方程化为参数方程熟练之后, 在求椭圆上的点到定点或定直线的最大、 最小距离时,将是很方便的.? [例 7]在椭圆

x2 y2 + = 1 上到直线 l:3x-2y-16=0 距离最短的点的坐标是______, 4 7

最短距离是______.?

分析:设椭圆 距离?

x2 y2 + = 1 上的任意一点为 M(2cosθ, 4 7

7 sinθ)则 M 点到直线 l 的

d= =

6 cos θ ? 2 7 sin θ ? 16 3 (其中? = arcsin ) 4
8 13 13 7 3 ,cosθ=sinφ= 4 4

13 8 sin(? ? θ ) ? 16 13

∴当φ-θ=

π
2

时,d 有最小值

此时,θ=φ-

π
2

,sinθ=-cosφ=-

∴M 点坐标是(

3 7 ,? ) 2 4

注意:求最值问题,三角代换是一种常用的方法,而圆、椭圆的参数方程,实质就是三 角代换,它使二元 x,y 转化为一元θ,将代数问题转化为三角问题,使问题化繁为简.? Ⅲ.课堂练习? (1)已知椭圆的参数方程 ?

? x = 2 cos θ (θ是参数),则它的标准方程是______.? ? y = sin θ

答案:

x2 + y2 = 1 4 x2 y2 + = 1 ,以离心角φ为参数,则椭圆的参数方程是______. 25 16

(2)已知椭圆的方程

答案: ?

? x = 5 cos ? (φ为参数)? ? y = 4 sin ?
? x = cos θ ? y = 3 sin θ
(θ为参数),则此椭圆的长轴长是______,短

(3)已知椭圆的参数方程 ?

轴长是______,焦点坐标是______,准线方程是______,离心率______.? 答案:2 3 2

F1(0, 2 ) F2(0,- 2 ) ,

y=±

3 2 2

6 3

(4)曲线 ?

? x = 2 3 cosθ ? (θ为参数)的焦距是______.? ? y = 3 2 sin θ ?

答案:2 6 (5)曲线的参数方程 ?

? x = cos θ (θ为参数),则此曲线是______.? ? y = sin 2θ

A.椭圆 B.椭圆的一部分? C.线段 D.直线的一部分? 答案:C ? Ⅳ.课时小结? 本节课我们讨论了椭圆的参数方程, 以及参数方程与普通方程的互化, 特别是用参数表 示出椭圆上的点后, (三角代换) ,给求最值问题带来了很大的方便.同学们要很好掌握这种 方法,需要注意的是:求曲线的参数方程时,由于所选的参数不同,求出的参数方程形式也 不一定相同.其次,参数方程化为普通方程结果是惟一的,而变通方程化为参数方程形式是 多样的.? Ⅴ.课后作业? 课本 P103 习题 8.210,11 ? ●板书设计? §8.2.2 椭圆的简单几何性质(三)? 例 6 的解答? 例 7 的解答? 课堂练习???

小结???


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