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高中数学 1.1.2集合间的基本关系教案 新人教A版必修1


第 2 课时

集合间的基本关系

(一)教学目标; 1.知识与技能 (1)理解集合的包含和相等的关系. (2)了解使用 Venn 图表示集合及其关系. (3)掌握包含和相等的有关术语、符号,并会使用它们表达集合之间的关系. 2.过程与方法 (1)通过类比两个实数之间的大小关系,探究两个集合之间的关系. (2)通过实例分析,获知两个集合间的

包含与相等关系,然后给出定义. (3)从自然语言,符号语言,图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3.情感、态度与价值观 应用类比思想,在探究两个集合的包含和相等关系的过程中,培养学习的辨证思想,提 高学生用数学的思维方式去认识世界,尝试解决问题的能力. (二)教学重点与难点 重点:子集的概念;难点:元素与子集,即属于与包含之间的区别. (三)教学方法 在从实践到理论,从具体到抽象,从特殊到一般的原则下,一方面注意利用生活实例, 引入集合的包含关系. 从而形成子集、 真子集、 相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的 应用,即 Venn 图形象直观地表示、理解集合的包含关系,子集、真子集、集合相等概念及 有关性质. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 师:对两个数 a、b,应有 a>b 思考:实数有相关系,大小关系,类 或 a = b 或 a<b. 创设情境 类比生疑, 比实数之间的关系,联想集合之间是 而对于两个集合 A、 B 它们也存在 提出问题 引入课题 否具备类似的关系. A 包含 B,或 B 包含 A,或 A 与 B 相等的关系. 分析示例: 示例 1:考察下列三组集合,并 生:实例(1) 、 (2)的共同特点 说明两集合内存在怎样的关系 是 A 的每一个元素都是 B 的 (1)A = {1,2,3} 元素. B = {1,2,3,4,5} 师:具备(1) 、 (2)的两个集合 (2)A = {新华中学高(一)6 班的 之间关系的称 A 是 B 的子集,那 全体女生} 么 A 是 B 的子集怎样定义呢? 概念形成 B = {新华中学高(一)6 班的 学生合作: 讨论归纳子集的共性. 全体学生} 生:C 是 D 的子集,同时 D 是 C (3)C = {x | x 是两条边相等的三 的子集. 角形} 师:类似(3)的两个集合称为相 D = {x | x 是等腰三角形} 等集合. 1.子集: 师生合作得出子集、相等两概念 一般地,对于两个集合 A、B,如 的数学定义. 果 A 中任意一个元素都是 B 的元素,
用心 爱心 专心

通过实 例的共性探 究、感知子 集、相等概 念, 通过归纳 共性, 形成子 集、 相等的概 念. 初步了 解子集、 相等 两个概念.

1

称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A ? B ,读作: “A 含于 B” (或 B 包含

A)
2.集合相等: 若 A ? B ,且 B ? A ,则 A=B. 示例 1:考察下列各组集合,并指明 两集合的关系: (1)A = Z,B = N; (2)A = {长方形},B = {平行四边 形}; 示例 1 学生思考并回答. (3) A={x| x2–3x+2=0}, B ={1, 2}. 生: (1) A ? B 1.Venn 图 (2) A ? B 用平面上封闭曲线的内部代表集合. (3)A = B 如果 A ? B ,则 Venn 图表示为: 师:进一步考察(1) 、 (2) 不难发现:A 的任意元素都在 B 中,而 B 中存在元素不在 A 中, 2.真子集 具有这种关系时,称 A 是 B 的真 如果集合 A ? B ,但存在元素 x∈B, 子集. 且 x ? A,称 A 是 B 的真子集,记作 A 示例 3 学生思考并回答. ? ? ≠ ≠ 生: (1)直线 x+y=2 上的所有点 B (或 B A). (2)没有元素 示例 3 考察下列集合. 并指出集合 中的元素是什么? 师:对于类似(2)的集合称这样 (1)A = {(x,y) | x + y =2}. 的集合为空集. 2 (2)B = {x | x + 1 = 0,x∈R}. 师生合作归纳空集的定义. 3.空集 称不含任何元素的集合为空集,记作 ?. 规定:空集是任何集合的子集;空集 是任何非空集合的真子集. 师:若 a≤a,类比 A ? A . B A 若 a≤b,b≤c,则 a≤c 类比. 若 A ? B , B ? C ,则 A ? C . 能力 提升 一般结论: ① A ? A. ②若 A ? B , B ? C ,则 A ? C . ③A = B ? A ? B ,且 B ? A . 师生合作完成: 升华并体会 (1)对于集合 A,显然 A 中的任 类比数学思 何元素都在 A 中,故 A ? A . 想的意义. (2)已知集合 A? B ,同时 B ? C ,即任意 x∈A ? x∈B ? x ∈C,故 A ? C .

概念 深化

再次感知子 集相等关系, 加深对概念 的理解, 并利 用韦恩图从 “形” 的角度 理解包含关 系, 层层递进 形成真子集、 空集的概念.

应用 举例

例1 (1) 写出集合{a、 b}的所有子集;学习练习求解,老师点评总结. 通过练习 (2) 写出集合{a、 b、 c}的所有子集;师:根据问题(1) 、 (2) 、 (3) , 加深对子集、 (3)写出集合{a、b、c、d}的所有 子集个数的探究,提出问题: 真子集概念
用心 爱心 专心 2

子集; 一般地:集合 A 含有 n 个元素 n 则 A 的子集共有 2 个. A 的真子集共有 2n – 1 个. 子集: A ? B ? 任意 x∈A ? x∈B

已知 A = {a1,a2,a3?an},求 A 的理解. 的子集共有多少个? 培养学生 归纳能力.

归纳 总结

真子集:A ? B ? 任意 x∈A ? x∈B, ≠ 但存在 x0∈B,且 x0 ? A. 师生合作共同归纳—总结—交流 集合相等:A = B ? A ? B 且 B ? A —完善. 空集( ? ) :不含任何元素的集合 师:请同学合作交流整理本节知 性质: ①? ? A , 若 A 非空, 则 ? ? A. 识体系 ≠ A ? A ② . ③ A? B,B ?C ? A?C . 1.1 第二课时习案 学生独立完成

引导学生整 理知识, 体会 知识的生成, 发展、 完善的 过程.

课后 作业

巩固基础 提升能力

备选训练题
例 1 能满足关系{a,b} ? {a,b,c,d,e}的集合的数目是( A ) A.8 个 B.6 个 C.4 个 D. 3 个 【解析】由关系式知集合 A 中必须含有元素 a,b,且为{a,b,c,d,e}的子集,所以 A 中元素就是在 a,b 元素基础上,把{c,d,e}的子集中元素加上即可,故 A = {a,b},A = {a,b,c},A = {a,b,d},A = {a,b,e},A = {a,b,c,d},A = {a,b,c,e},A = {a,b,d,e},A = {a,b,c,d,e},共 8 个,故应选 A. 例 2 已知 A = {0,1}且 B = {x | x ? A },求 B. 【解析】集合 A 的子集共有 4 个,它们分别是: ? ,{0},{1},{0,1}. 由题意可知 B = { ? ,{0},{1},{0,1}}. 2 2 2 2 例 3 设集合 A = {x – y,x + y,xy},B = {x + y ,x – y ,0},且 A = B,求 实数 x 和 y 的值及集合 A、B. 【解析】∵A = B,0∈B,∴0∈A. 2 2 2 2 若 x + y = 0 或 x – y = 0,则 x – y = 0,这样集合 B = {x + y ,0,0},根据 集合元素的互异性知:x + y≠0,x – y≠0.
? xy ? 0 ? ∴ ? x ? y ? x2 ? y 2 ? 2 2 ?x ? y ? x ? y ? xy ? 0 ? 或 ? x ? y ? x2 ? y2 ? 2 2 ?x ? y ? x ? y

(I)

(II)

由(I)得: ?

?x ? 0 ? x ? 0 ?x ? 1 或? 或? ?y ? 0 ? y ? 1 ?y ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 1 或? 或? ? y ? 0 ? y ? ?1 ? y ? 0

由(II)得: ?

∴当 x = 0,y = 0 时,x – y = 0,故舍去. 当 x = 1,y = 0 时,x – y = x + y = 1,故也舍去. ∴?
?x ? 0 ?x ? 0 或? , ? y ? 1 ? y ? ?1

∴A = B = {0,1,–1}. 2 例 4 设 A = {x | x – 8x + 15 = 0},B = {x | ax – 1 = 0},若 B ? A ,求实数

a 组成的集合,并写出它的所有非空真子集.
用心 爱心 专心 3

【解析】A = {3,5},∵ B ? A ,所以 (1)若 B = ? ,则 a = 0; (2)若 B≠ ? ,则 a≠0,这时有
1 1 1 1 ? 3 或 ? 5 ,即 a = 或 a = . a a 3 5

1 1 综上所述,由实数 a 组成的集合为 {0, , } . 5 3 1 1 1 1 1 1 其所有的非空真子集为:{0}, { },{ },{0, },{0, },{ , } 共 6 个. 5 3 5 3 5 3

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