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数学精神与方法第七讲

时间:2017-05-23


数学精神与方法
第七讲 运算与迭代的威力(三)

§3.3 迭代产生的混沌与分形
回顾自然数的基本原理之一——递归原理:
递归 原理 设S是一个集合,? : S ? S为一个映射,a 是S的任一个事先给定的元 素。那么,存在Ν到S的唯一 的映射f : Ν ? S,满足 f ?0 ? ? a , 且 f ?n ?? ? ? ? f ?n ? ??n ? Ν ? .

上述定理是我们可以做 出递归定义的理论依据 。 例如,自然数系中的加 法和乘法两种运算,都 是用递 归方式定义的;这两种 运算,其定义的合理性 本质上 正是基于上面的递归原 理。这已在第五讲中讲 清楚了。

加法和乘法连同其逆运算(减法和除法)的威力在上一讲我们已有所
感受。想一想,“数形合一”的实现,竟然是对自然数无限次地运用简单 四则运算的结果。那么,我们在惊叹“万物皆数”此言不虚的同时,能不

感受运算——尤其是无限次运算——的震撼吗?!感谢上苍让我们,按逻
辑给予的启示,凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。 在此,我们提醒大家,不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用, 不要无视“无限” 的观念所蕴含的超越性力量。

递归原理还引出了一种极其重要的数学操作——映射的迭代
N f? ? a?S .? ? ?? ? ?? N f? ? S .? ? ?? ? ?? N f? ? S .? ? ?? ? ?? N f? ? S .? ? ?? ? ?? N ?? f? ? S ??

?

?

?

?

无限次迭代会发生什么现象?

迭代与动力系统
? 自然界中的许多现象,是由严格的因果关系所支配的。例如,月亮的阴晴圆缺、四季 的交替更迭、日食和月食的发生等等。这一类完全由因果关系支配的系统,叫做决定

性系统。研究决定性系统的数学分支,称作动力系统理论。
? 决定性系统的基本特征是:在这个系统中,今日的种种现象,是昨日种种现象的必然 结果;而明日种种现象,又以今日的种种现象为其原因。这就是说,从系统的初始状 态出发,依据系统的因果规律,将确定系统的未来的一切。 ? 从数学的角度看,一个映射φ:S→S 可以代表某种因果规律,其定义域 S 用于表示系统 的各种可能状态构成的集合。设 x0∈S 表示一个初始状态,那么由状态 x0 到下一个状 态φ(x0) 就是因果规律φ 在起作用;设想这种规律相继地不断作用下去,我们就会得到

一个状态的序列——一个迭代序列:
x0, x1=φ(x0) , x2 =φ(x1) , x3 =φ(x2) ,……。 动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。

迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。

基本概念
定义1 设X是一个度量空间,? : X ? X是一个连续映射。我们 称迭代序列

? 0 ? id X , ? 1 ? ? , ? 2 ? ? ? ? , ?? , ? k ? ? ? ? k ?1 , ??
为由?所定义的半动力系统, 或离散动力系统。 定义2 我们记 对于由连续映射? : X ? X所定义的离散动力系统 及初始点x 0 ? X , Orb? ?x 0 ? ? ? k ?x 0 ? k ? N 定义3

?

?

(其中N表示自然数系) ,

称作x 0 的正向轨道,以下我们 简称x 0 的轨道。

对于连续映射? : X ? X,如果x ? X适合? ?x ? ? x,则称x为?的不

动点;如果存在正整数 n使得? n ?x ? ? x,则称x为?的一个周期点,并将使 得

? n ?x ? ? x成立的最小正整数n叫做x的真周期,此时亦称x为n周期点。周期点 的轨道称为周期轨道。 ?的全体周期点组成的集 合记作Per?? ?。 定义4 对于连续映射? : X ? X,如果A ? X适合? ? A? ? A,则称A为?的 不变集。此时,? : A ? A可以定义出A上的一个离散动力系统 ,称之为?在
X上所定义的动力系统的 子动力系统。

混沌的数学描述
定义5 设 ? X , d ? 是一个度量空间,? : X ? X 是一个连续映射。如果 下述( 1 ), ( 2 )和( 3 )三条成立,便称? 在 X 上是混沌的: ( 1 )? 是拓扑传递的,即,对 X 的任一非空开集U,有
k ? ? ? U ? X (意思是 ? ? ? ?U ? 在 X 中稠密); k ? ?

( 2 )? 的全体周期点组成的集 合 Per?? ? 在 X 中稠密,即 Per?? ? ? X ; ( 3 )? 对初始值是敏感相依的 ,即,存在常数 ? ? 0,使得对于任一点 x ? X,存在 点列 ?x n ? ? X 适合 ~ lim d?x n , x ? ? 0, 且 inf d ?Orb? ?x n ?, Orb? ?x ?? ? ?, n ?0 n ~ 其中 d ?Orb? ?x n ?, Orb? ?x ?? 表示轨道 Orb? ?x n ? 与 Orb? ?x ? 之间的并行间隙度,定 义为 ~ d ?Orb? ?x n ?, Orb? ?x ??:? sup d ? k ?x n ?, ? k ?x ? 。
k ?0

k ?0

k ?0

?

?

注:在动力系统理论中,对混沌有许多可行的定义,我们选择的定义适用面 较宽且较易检验。

评注:对任意的 m ? N,由 ? 的连续性,
n ?? 0? k ? m

lim sup d ? k ?x n ?, ? k ?x ? ? 0

?

?

? 因为 lim d?x , x? ? 0 ?;
n ?? n

因此,对动力系统做短 程预测总是可行的。那 么,对动力系统能否做 长期预 测呢? 混沌动力系统,具对初值的敏感依赖性 ,于是
n ?? k ? 0

lim sup d ? k ?x n ?, ? k ?x ? ? ? ? 0

?

?

? 注意 ? ? 0 与 x 和 ?x n ? 都无关 ?;

所以,对混沌系统,原 则上不能做长期预测。 混沌系统的这一属性对 科学界 在认识论和方法论方面 具有重要意义和影响。 想一想科学界好不容易 达成的 “永动机”不可制造的 共识,就不难理解混沌 动力系统为什么对科学 界具有重 要意义和影响了。 混沌动力系统的拓扑传递性 ,意味着这种系统的不 可分解性,即,混沌 系统不能分解成两个相 互无干的子系统,亦即 ,? : X ? X不能同时有这样的 两个不变子集 A和B,使得

A与B都是非空的,即开又闭 的,并且 A ?B ? X ,A ?B ?? 。
混沌系统的周期点稠密性 则反映出这种系统中存 在着一定的规则因素。

附录 度量空间的概念
定义 设X是一个非空集合,如果 映射d : X ? X ? R适合 ( 1 ) d?x, y ? ? 0,并且,d?x, y ? ? 0 ? x ? y, ( 2 ) d?x, y ? ? d? y, x ?, (对称性) (三角不等式) ( 3 ) d?x, y ? ? d?x, z ? ? d?z , y ?, (正定性)

那么称d? ? , ? ?为X上的一个度量,或距离 ;此时,我们说X连同其上的距离d? ? , ? ?构成了一 个度量空间,记作?X , d ?。

定义 设? X , d ?是一个度量空间,A是X的一个子集。我们记 A? ? x ? X ??x n ? ? A \ ?x?使得 lim d ?x n , x ? ? 0
n ??

A o ? ?x ? X ?? ? 0使得B?x, ? ? ? A? ,其中B?x, ? ? ? ?u ? X d?u , x ? ? ? ? ,

?

?

,

A ? A ? A? ,

并称A o,A?和 A分别为A的内部,导集与闭包。 如果A o ? A,则称A为开集。如果A? ? A,则称A为闭集;如果A? ? A,则 称A为完全集;如果A? ? A,则称A为完全闭集。 如果 A ? X,那么我们就说A在X中是稠密的,或称A是X的稠密子集。

定义 设? X , d ?是一个度量空间,X 0 是X的一个非空子集,那么 d? ? , ? ?限制在X 0 ? X 0 上 简称? X , d ?的子空间。

就自动构成了X 0的度量,这就自动生成 了度量空间? X 0 , d ? ,称之为? X , d ?的诱导子空间,

混沌动力系统的例子
例1 符号动力系统
? 2 :? ? ? ? ?? 0? 1? 2 ??? k ? 0或1 (k ? 0,1,2, ?)?, d ?? , ? ? :? 并在其上定义度量 考虑由两个字母,例如 0与1 ,所组成的序列空间? 2:

?
k ?0

?

? k ?? k
2k

?? ? ?? 0? 1? 2 ??, ? 类似表示?。

( 1 )d ?? , ? ? ? 0,且等号仅在? ? ? 时成立; ( 2 )d ?? , ? ? ? d ?? , ? ? ; ( 3 )d ?? , ? ? ? d ?? , ? ? ? d ?? , ? ?。 另外,不难证明下列命 题: 命题 若? , ? ? ? 2的前n ? 1项相同,即,? i ? ? i (i ? 0,1, ? , n),则d ?? , ? ? ? 1 反之,若d ?? , ? ? ? 1 2n ,则? , ? ? ? 2 的前n ? 1项相同。 (试证之) 2n ;

易知, ?? 2 , d ?构成度量空间,即,下 述三条成立:

? ?? ? :? ?? 1? 2? 3 ???, ?? ? ?? 0? 1? 2 ???? ? 2 所定义,称作? 2 上的移位映射;由? 2 上的移位映射?(不难证明?是连续的)
所定义的离散动力系统 ,称作两个字母的符号 动力系统。

定义6 设映射? : ? 2 ? ? 2由

我们现在来证明下述定 理: 定理1 移位映射? 在 Σ 2 上是混沌的。
1 ) 命? ? ? ?0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 ???, 证明 分三步给出证明。

则 ?? ? ?? 0? 1 ?? ? ? 2 , ?n ? N, ?m ? N,使得

? m ? ? ? ?? 0? 1 ?? n ? ? ??, 从而 d ? m ? ? , ? ? 1
于是, Orb? ? ? ? ? 2;从而?是拓扑传递的。

? ?

? ? ? ?

? ?

2n



?? ?? Per?? ?,并且 d??
n

? 0? 1 ?? ? n ?, n ? N,那么 2 ) 对?? ? ?? 0? 1 ?? ? ? 2,命? n ? ??
n

? 0 ?n ? ? ?;故 2n 3 ) 对?? ? ?? 0? 1? 2 ??? ? 2,?n ? N,命 ,? ? 1 ? n ?1 00 ?? ? n ?1 ? ? ? n ? ?? 0? 1 ?? n? ,其中?

?

Per?? ? ? ? 2 。

那么,d ? n , ? ? 1

? 0 ?n ? ? ? ,并且 2n ~ ? n ?1 ? ? n ?1 ? 1 d Orb? ? n , Orb? ?? ? ? sup d ? k ? n , ? k ?? ? ? d ? n ?1 ? n , ? n ?1 ?? ? ? ? ;

?

?

,当? n ?1 ? 0时, ?1 ? 0,当? n ?1 ? 1时。

?

? ?

?

k ?0

? ? ?

? ?

? ?

?

此蕴含着 ? 对初值是敏感相依的。

证毕

例2

单位圆周上的混沌系统

以S1表示复平面C上 的单位圆周构成的字空 间,即,S1 ? ?z ? C z ? 1? , 并且其上配备的度量由 复平面上的标准度量所 诱导。考虑S1上的自映射

? : S1 ? S1 , z ? z 2。
定理2 ψ在S1上是混沌的。
证明 易知,我们有 ? n ?z ? ? z 2 (?z ? S1 ) 。
n

( 1 )如果U是S1的一个非空开集,设e i? ?U,那么存在? ? 0使得 e it ? ? ? ? t ? ? ? ? ? U . 现取n充分大,使2 n ? ? ,从而有? n ?U ? ? ? n

?

? ? ??e ? ? ? ? t ? ? ? ? ?? ? S 。由此立即可知,?
it 1

是拓扑传递的。 ( 2 )设z ? e i? ? S1 是?的n周期点,那么e i2
n

?

? e i?,即,

,其中k ? 0, 1, ? , 2 n ? 2, 2 ?1 亦即,?的n周期点就是2 n ? 1次单位根。由此可见, Per?? ? ? S1。
n

? ? 2k?

( 3 )对?z ? S ,设 z ? e ,那么命 z n ? e ,n ? 0,1,2, ?,我们有 i? ~ lim z n ? z ? 0, 且 d ?Orb? ?z n ?, Orb? ?z ?? ? ? n ?z n ? ? ? n ?z n ? ? e 2 ? 1 ? 2 。
1 n ??

i?

? ? ? i ? ? ? n ?1 ? 2 ? ?

这就证得?对初值是敏感相依的。

证毕

例3 Logistic映射——f?(??x)=???x(1-x)
考虑二次函数族 f ? ?x ? ? ?x?1 ? x ? ,参数? ? 0。这个二次函数族在混 沌动力系 统理论中非常著名,称 作逻辑斯蒂(Logistic )映射。此函数族中的 每个二次函 数f ? 都定义一个离散动力系 统;当参数?从小于4变为大于4时,f ? 的轨道的整体 相图在性态上发生了全 局性变化: 的不变子集; ? 当? ? 4时,f ? 的从 ?x ? ?0, 1? 出发的轨道仍在 ?0, 1? 之中,即单位区间?0, 1? 是f ? ? 一旦? ? 4,那么 ?0, 1?中便有了一个稠密开集 使得,f ? 的从此开稠集中任一点

出发的轨道都将最终趋 向 ? ?,而始终留在 ?0, 1? 中的轨道则构成一个康 托集? ?, 当然,? ? 是f ? 的一个不变集。

定理3

f ? ?x ? ? ?x?1 ? x ?在康托集? ? 上是混沌的,其中? ? 的定义是 ? ? ? x ? ?0 , 1? ?n ? N, f ?

f 4 ?x ? ? 4 x?1 ? x ?在单位区间?0 , 1?上是混沌的;当? ? 4时,

?

n

?x ?? ?0 , 1? ?。

定义 单位闭区间?0, 1? 的一个子集?称作是一个康托集,如 果它是完全闭的(即, ? ? ? ?)和完全不连通的(即 ,它不包含任何非空的 开区间)。

y

Λ??? 的 构 造 与 它 上 面 的 轨 道

1

Λ ???的构造说明
命 A 0 ? ?x ? I f ? ?x ? ? I?, A n ?1 ? f ?
?1

?A ?,那么
n

? ? n? ? ? ? ? ?0 , 1? \ ? ? A ? , ? n ?0 ?

?

其中A n由 2 n 个两两严格分离 的开区间组成。需指出: ? n k? ? ?0 , 1? \ ? ? A ? ? k ?0 ?

1

x

?

由2 n ?1 个两两分离的闭区间 组成,例如,

I0

A0

I1

?0 , 1? \ A 0 ? I 0 ? I1
并且,f ?
n ?1



把这 2 n ?1 个闭区

间的每一个都单调地映满区 间?0 , 1?。 ?x ? ? ?, lim f ? ?x ? ? ?? 。
n

x0

x1 x 4

x 2 x5

x3

n ??

定理3的证 理 我们在此仅给出上述定 理的证明概要,这可以 更好地帮助我们了 解逻辑斯蒂映射的混沌 性态。 ( 1 )对f 4 ?x ? ,我们考察下面的映射 交换图 S1 g ? ?? g ? ??

?? 1 , 1? ?? 1 , 1?
?k

h ? ?? h ? ??

?0 , 1? ?0 , 1?
? f4

??
S1

? ? ?z ? ? z 2 , g ?z ? ? Re?z ?, ? 1 其中? h?x ? ? ?1 ? x ?, k ?x ? ? 2 x 2 ? 1, 2 ? f ?x ? ? 4 x?1 ? x ?. ? ? 4

?0,1?上是混沌的。
? 1 1 I 0 ? ?0 , ? ? ? 2 2 那么,

由例2,?在S1上是混沌的,并注意h ? g是连续满射,我们因此 可得到f 4 在

?1? ? ( 2 )当? ? 4时,f ? ?x ?的最大值f ? ? ? ? ? 1。命 ?2? 4 ?1 1 ? ? 4 ? ? ?4? , 1? , ? , I1 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?1 1 A?? ? ?2 2 ?

??4 1 1 ??4? ?, , ? ? 2 2 ? ? ?

? I 0 ? I1 ? A ? ?0 , 1? , 且 f ? 将I 0 单调增地映满?0 , 1? ,而将I1单调减地映满?0 , 1?; ? f ? ?? ? ? ? ? ? , 且

?0 , 1? \ ? ?

? x ? ?0 , 1? ?n ? N使得f ?

?

n

?x ?? A?。

现定义h? : ? ? ? ? 2 如下:
n ? ?0, 当f ? ?x ?? I 0 时, h? ?x ? ? ?? 0 ?x ?? 1 ?x ?? 2 ?x ??? n ?x ???, 其中 ? n ?x ? ? ? n ? 1 , 当 f ? ? x ? ? I1时。 ? 那么,h? 是从? ? 到? 2的同胚,并有如下的映 射交换图 h? ? ? ??? ?2

f? ? ??

?? h? ??? ?2

其中?是? 2 上的移位映射。 证毕

由例1 ,?在? 2 上是混沌的,又h? 为同胚,故f ? 在? ? 上是混沌的。

研究的一清二楚;当? ? 4时,f ? ?x ?有混沌现象,迭代轨道异常复杂。

在此我们指出:当? ? 3时,f ? ?x ? ? ?x?1 ? x ?的迭代轨道的性态很简单,已被

而终于出现混沌的呢?也就是问,当? ? ?3, 4?时,f ? ?x ?的轨道有怎样的性态以及 怎样的性态变化?

一个有趣的问题是:随着?的增加,f ? 的轨道是如何从简单逐渐演变为复杂,

倍周期分支与Feigenbaum现象
x

1

混 沌 区
0

1

2

?2 ? 1 ? 6 ?1 ? 3 ?3

???

??

?

4

随着参数 ? ??的增大,f?(??x)=???x(1-x) 的相图的演变规律

分支图的解释
? ? 对于?? ? 0,Logistic 映射 f ? ?x ? ? ?x?1 ? x ? 的不动点为 x 0 ? 0 和 x1 ?1? ? ? 当0 ? ? ? 1时,f ? 有一个稳定不动点 x 0 和一个不稳定不动点 x1 ? ?0,1?;

1

?



? ? 当? ? 1时,f 1的不动点 x 0 和 x1 重合,此时不动点为左 排斥右吸引的半稳定不 动点; ? ? 当1 ? ? ? 3时,x 0 变为f ? 的一个不稳定不动点, 而 x1 则成为它的一个稳定不 动点。

注意,当0 ? ? ? 3时,f ? 除不动点(即1 - 周期点)外,没有其他 周期的周期点。
? 为?0, 1? ,此时 x1 的稳定度很低;f 3 除不动点外,没有其他 周期点。 ? ? 当? ? 3时,x 0 为f 3的一个不稳定不动点, 而 x1 为它的一个稳定不动点 ,吸引区间

? ? 当? ? 3时,x 0 为f ? 的一个不稳定不动点, 同时 x1 也变成一个不稳定不动 点; ? 值得注意的是:x1 在参数?由小于3变为大于3时发生了失稳状况,这 导致当3 ? ? ? 1 ? 6

? ? 时,f ? 出现了一条稳定的2 ? 周期轨道 x10 , x11 ? ?0 , 1? ,即其中的两点满足 ? ? f ? x10 ? x11 ,

? ?

? ? f ? x11 ? x10 ,

? ?

?

?

? ? ? ? x10 ? x11 , 并且x10 ,x11 都是f ? 的稳定不动点。 2 ?

继续考察下去,可以发 现一个规律:存在参数 ?的一个严格增的有界序列?? k ?k ?1,使得 ? 稳定的1 ? 周期点在?越过?1后失稳,并随即出现一 条稳定的2 ? 周期轨道;稳定的

2周期轨道在?越过? 2 后失稳,并随即产生一 条稳定的4 ? 周期轨道;继而稳定的 4 ? 周期轨道在?越过?3 后失稳,并随之产生一 条稳定的8 ? 周期轨道; ??。这就 是著名的倍周期分岔现 象。 ? 数列?? k ?k ?1 中各项都称为倍周期分 岔点,由下述关系确定 :
?

d 2 k ?1 f ?k x ? ? ?1 。 dx 通过计算,还可以发现 一些更有趣的现象 f ?k
2 k ?1 ? ?

?x ? ? x

,

? ?

1 ) ?? k ?收敛,且?? ? lim ? k ? 3.569945672 ?;
k ??

2 ) 比例

? k ? ? k ?1 ? ? ? k ?1 收敛,? ? lim k ? 4.669201609 ?。 k ?? ? ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 k

尤其是?,具有普适性,它与区 间上光滑自映射族的具 体形式似乎无关。这个 现象 首先在1978 年被美国物理学家M.J.Feigenbaum 观察到,因此称为Feigenbaum 现象, 常数? 称为Feigenbaum 常数。 这里,我们仅关心稳定 周期点的出现,因为它 们在物理上具有可观测 性。 由分支图,我们可以看 清,逻辑斯蒂映射只有 当其所有周期轨道均不 稳定时, 即?越过?? 时,才出现混沌。

迭代与分形(fractal)
例3中的Logistic映射f?(??x)=???x(1-x) ,当???大于4时,会在单位区间 [0,1]中产生一个不变集Λ ???,使得f?(??x)在Λ ???上是混沌的。 Λ ???是一个康托 集,其几何形态呈现出复杂的不规则性。值得注意的是, Λ ???这种集合也 可以看作是由迭代模式生成。

迭代模式

康托三分集的构造——无限次使用给定的迭代模式

科赫(Koch) 雪花曲线的构造

Koch雪花曲线是由如下的简单模式经无限次迭代而成的: 迭代模式

迭代模式

曲 线 是 多 少 维 的?

?

简单迭代的无限次使用竟然能使二维正方形由一条曲线填满

分形几何
? 分形的概念是1975年由英国数学家B.B.Mandelbrot引入的;

此概念是指欧氏空间中那种“支离破碎”的集合。
? 分形的研究开拓了人们对于维度、尺度、结构的新看法 ; 由此产生了分形几何这样一个数学分支。 ? 三十年间,混沌理论、分形几何与复杂性科学汇合,把触 角伸入物理、化 学、生理学、经济学、社会学、气象学,

乃至于天文学所谈及的星体分布等领域,试图解释过去科
学家们所忽略的非线性现象,进而解释大自然和人类社会 的复杂系统及其结构 。

非整数的Hausdorff维数—— 分形的重要特征之一
? 维数是几何对象的一个重要特征量。对于欧氏空间及其线

性流形,它们的维数我们很清楚;对于欧氏空间中的每个
局部可以与一定维数的线性流形同胚的子集,其维数也是 清楚的。它们的维数统统都是整数。例如,点是0维的, 线段和圆周是1维的,正方形和球面是2维的,等等。 ? 可是,康托集C、科赫曲线K和皮亚诺曲线P(具有精细的 自相似结构)是多少维呢?只有推广了维数的概念,方能 解决这些问题。

? Hausdorff维数
考虑R n 的子集E ,
?

对于欧氏空间R n 的子集U , 命 U ? sup x ? y x, y ?U ,
?

?

?

称作U的直径.

我们称R n 的子集族? U n ?n ?1 是E的一个? ? 覆盖, 如果 并且 0 ? U n ? ? ??n ?. 定义
s

?U
n ?1 s

n

? E,

对给定的 ? ? 0 和 s ? 0,
? ? ? H ? ?E ? ? inf ? U n ? ? n ?1

?

? ?

? U n n ?1 是E的一个

可以证明:对于任意有 界集E ? R n,都存在唯一的实数s 0 ? ?0, n?使得 ??,当s ? s 0 时, H s ?E ? ? ? 我们称 s 0 为 E 的Haus dorff维 数。 0 ,当 s ? s 时。 0 ?

? ? ? ? 覆盖?, ? ?

H s ?E ? ? lim H ?s ?E ? .
? ?0

例如,前面说到的康托 三分集C,科赫雪花曲线K和皮亚诺曲线P,它们的 Hausdorff维数分别是: ln 2 dim H ?C ? ? , ln 3 dim H ?K ? ? ln 4 , ln 3 dim H ?P ? ? 2。

Mandelbrot集合

英国的海岸线地图

天空中的云朵

星云分布

分形的奇妙性质
? 分形可具有分数维度:不同于整数维度的一维线段,二维矩形,分形 所具有的维度可以是非整数的,称作分数维。 ? 分形具有自相似性:对于同一个分形结构,自相似就是尺度一层一层 缩小的结构重复性,它们不仅在越来越小的尺度里重复细节,而且是

以某种固定的方式将细节缩小尺寸,造成某种循环重现的复杂景象。
? 分形具有尺度无关性:对于同一个分形结构,以不同大小的量尺来量

度「可观察的区域」,分形会具有一致的分数维度和自相似方式。例
如,如果我们不同程度地放大或缩小科赫雪花 曲线,我们会发现图形 的复杂度,或折迭程度,或粗糙程度并未因此而改变。

思考题
1. 混沌动力系统有哪些特性? 2. 分形集合有什么特点?

3. 迭代在描述混沌和分形的数学模式中是怎样发
挥威力的?详细论述你的论点。