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单元检测一 集合与常用逻辑用语


高三单元滚动检测卷· 数学
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上. 3.本次考试时间 120 分钟,满分 150 分. 4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.

单元检测一

集合与常用逻辑用语


第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2015· 安徽)设全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则 A∩(?UB)等于( A.{1,2,5,6} C.{2} B.{1} D.{1,2,3,4} ) )

2.已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B 等于( A.[-2,-1] C.[-1,2) B.[-1,1] D.[1,2)

3.(2015· 长春外国语学校高三期中)已知集合 A={-1,0,1,2},B={x|1≤2x<4},则 A∩B 等 于( ) B.{0,1,2} D.{1,2} )

A.{-1,0,1} C.{0,1}

4.(2015· 宜昌调研)下列说法中,正确的是(

A.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题
2 B.命题“存在 x0∈R,x0 -x0>0”的否定是“对任意的 x∈R,x2-x≤0”

C.命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 5.(2015· 吉林三模)已知 p:x>1 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围是( A.[1,+∞) C.[-3,+∞) ) B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

1

6.已知命题 p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题 q:?x∈(0,1),log2x<0,则下列命题为真 命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∧q ) B.p∨(綈 q) D.p∧(綈 q)

3 7.(2015· 赣州市十二县市期中)已知 p:x≥k,q: <1,如果 p 是 q 的充分不必要条件, x+1 则实数 k 的取值范围是( A.[2,+∞) C.[1,+∞) ) B.(2,+∞) D.(-∞,-1] )

8.(2015· 湖南)设 x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.(2015· 大连二模)已知集合 A={(x,y)|x(x-1)+y(y-1)≤r},集合 B={(x,y)|x2+y2≤r2}, 若 A?B,则实数 r 可以取的一个值是( A. 2+1 C.2 B. 3 D.1+ 2 2 )

10.(2016· 黄冈中学月考)下列四种说法中, ①命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意 x∈R,x2-x<0”; ②命题“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件; ③已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, 2 1 ),则 f(4)的值等于 ; 2 2

2 ④已知向量 a=(3,-4),b=(2,1),则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 . 5 说法正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

11. (2015· 宜春模拟)设 P, Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P*Q={z|z=a÷ b, a∈P, b∈Q}, 若 P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合 P*Q 中元素的个数是( A.2 C.4 B.3 D.5 )

12.若 p:a∈R,|a|<1,q:关于 x 的二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另 一个根小于零,则 p 是 q 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.(2015· 江苏)已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∪B 中元素的个数为________. 14.给定两个命题,命题 p:对任意实数 x 都有 ax2>-ax-1 恒成立,命题 q:关于 x 的方 程 x2-x+a=0 有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围 是________. 15.(2015· 石家庄二模)已知命题 p:x2-3x-4≤0;命题 q:x2-6x+9-m2≤0,若綈 q 是 綈 p 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是________. 16.(2015· 牡丹江六县市联考)下列命题中:
2 ①命题“?x0∈R,x2 0+1>3x0”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”;

②“函数 f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”是“a=1”的必要不充分条件; ③“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立”; ④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a· b<0”. 其中正确命题的个数是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,求实数 m 的值 组成的集合.

18. (12 分)(2015· 杭州重点中学上学期期中联考)已知 A={x∈R|x2-3x+2≤0}, B={x∈R|4x -a· 2x+9≥0}. (1)当 a=10 时,求 A 和 B; (2)若 A?B,求 a 的取值范围.

3

19.(12 分)设函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合 A,函数 g(x)= 3-|x|的定义域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若 C={x|m-1<x<2m+1},C?B,求实数 m 的取值范围.

20.(12 分)(2015· 陕西宝鸡中学上学期期中)设命题 p:关于 x 的不等式 ax>1(a>0,a≠1)的 解集为(-∞,0);命题 q:函数 f(x)=ln(ax2-x+2)的定义域是 R.如果命题“p∨q”为真命 题,“p∧q”为假命题,求 a 的取值范围.

4

21.(12 分)(2015· 潍坊高三质检)已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},集合 B={y|y=x2-2x+a}, 集合 C={x|x2-ax-4≤0}.命题 p:A∩B≠?,命题 q:A?C. (1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

22.(12 分)(2015· 湖北省教学合作联考)已知集合 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0},函数 x-?a2+2? y=lg 的定义域为集合 B. a-x 1 (1)若 a= ,求集合 A∩(?UB); 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

答案解析
1.B [∵?UB={1,5,6},∴A∩(?UB)={1,2}∩{1,5,6}={1},故选 B.] 2.A [A={x|x≤-1 或 x≥3},故 A∩B=[-2,-1],选 A.]
5

3.C [B={x|1≤2x<4}={x|0≤x<2},则 A∩B={0,1},故选 C.] 4.B [对于 A,当 m=0 时,逆命题不正确;对于 B,由特称命题与全称命题的关系知显 然正确;命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 中至少有一个是真命题,不一定全为真 命题,故 C 不正确;“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,D 不正确.选 B.] 5.A [设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q?P,因 此 a≥1,故选 A.] 6.C [命题 p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0 为假命题,命题 q:?x∈(0,1),log2x<0 为真命题, 所以(綈 p)∧q 为真命题.] 2-x 3 3 7.B [∵ <1,∴ -1= <0, x+1 x+1 x+1 即(x-2)(x+1)>0,∴x>2 或 x<-1, ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴k>2,故选 B.] 8.C [分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”. 由于函数 f(x)=x3 在 R 上为增函数,所以当 x>1 时,x3>1 成立,反过来,当 x3>1 时,x>1 也成立.因此“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选 C.] 9.A 1 1 1 [A={(x,y)|(x- )2+(y- )2≤r+ },B={(x,y)|x2+y2≤r2},由于 A,B 都表示圆 2 2 2 2 ≤|r|- 2 1 r+ , 2

上及圆内的点的坐标,要满足 A?B,则两圆内切或内含.故圆心距满足 将四个选项中的数分别代入,可知只有 A 选项满足,故选 A.] 10.A 正确;

[①命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意 x∈R,x2-x≤0”,故①不

②命题“p 且 q 为真”,则命题 p、q 均为真,所以“p 或 q 为真”.反之“p 或 q 为真”, 则 p、q 中至少有一个为真,所以不一定有“p 且 q 为真”所以命题“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件,故命题②不正确; ③由幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, 1 =x- , 2 1 1 所以 f(4)=4- = ,所以命题③正确; 2 2 a· b 2 2 5 ④向量 a 在向量 b 方向上的投影是|a|cos θ= = = , θ 是 a 和 b 的夹角, 故④错误. 故 |b| 5 5 选 A.] 11.B [当 a=0 时,无论 b 取何值,z=a÷ b=0; 2 2 1 ),所以 2α= ,所以 α=- ,所以幂函数为 f(x) 2 2 2

1 当 a=-1,b=-2 时,z=(-1)÷ (-2)= ; 2
6

1 当 a=-1,b=2 时,z=(-1)÷ 2=- ; 2 1 当 a=1,b=-2 时,z=1÷ (-2)=- ; 2 1 当 a=1,b=2 时,z=1÷ 2= . 2 1 1 故 P*Q={0,- , },该集合中共有 3 个元素.] 2 2 12.A [p:a∈R,|a|<1?-1<a<1?a-2<0,可知满足 q 的方程有两根,且两根异号,条件 充分;条件不必要,如 a=1 时,方程的一个根大于零,另一个根小于零.也可以把命题 q 中所有满足条件的 a 的范围求出来,再进行分析判断,实际上一元二次方程两根异号的充 要条件是两根之积小于 0,对于本题就是 a-2<0,即 a<2.] 13.5 解析 ∵A={1,2,3},B={2,4,5},∴A∪B={1,2,3,4,5}.故 A∪B 中元素的个数为 5. 1 14.(-∞,0)∪( ,4) 4
?a>0, ? 解析 若 p 为真命题, 则 a=0 或? 2 即 0≤a<4; 若 q 为真命题, 则(-1)2-4a≥0, ? ?a -4a<0,

1 即 a≤ . 4 因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, 所以 p,q 中有且仅有一个为真命题. 1 若 p 真 q 假,则 <a<4;若 p 假 q 真,则 a<0. 4 1 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪( ,4). 4 15.(-∞,-4]∪[4,+∞) 解析 綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,等价于 p 是 q 的充分不必要条件.由题意可得 p:- 1≤x≤4 , q : (x - 3 + m)(x - 3 - m)≤0. 当 m = 0 时,显然不符合题意;当 m>0 时,有
?3-m<-1, ?3-m≤-1, ? ? ? 或? ?m≥4; ? ? ?3+m≥4 ?3+m>4 ? ? ?3+m<-1, ?3+m≤-1, 当 m<0 时,有? 或? ?m≤-4. ?3-m≥4 ? ? ?3-m>4

综上,m 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 16.2 解析 特称命题的否定为全称命题,①正确; 2π ②中 f(x)=cos 2ax,其最小正周期为 π 时, =π,即 a=± 1,②正确;③不正确;④不正 2|a|
7

确,当 a· b<0,a,b 的夹角可能为 π. 17.解 A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, ∵A∪B=A,∴B?A. ①当 m=0 时,B=?,B?A,故 m=0; 1 ②当 m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=- . m ∵B?A, 1 1 1 1 ∴- =2 或- =3,得 m=- 或 m=- . m m 2 3 1 1 ∴实数 m 的值组成的集合为{0,- ,- }. 2 3 18.解 (1)A={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, 当 a=10 时,B={x∈R|4x-10· 2x+9≥0}={x|x≤0 或 x≥log29}. (2)由题意,A={x|1≤x≤2}且 A?B, 当 1≤x≤2 时,2≤2x≤4, 由 4x-a· 2x+9≥0,令 2x=t, 9 不等式化为 t2-at+9≥0 对 2≤t≤4 成立,即 a≤t+ , t 9 而 t+ ≥2 t 9 t× =6(当且仅当 t=3 时等号成立), t

所以 a 的取值范围为(-∞,6]. 19.解 (1)要使函数 f(x)有意义,则 x2-x-2>0, 解得 x>2 或 x<-1,即 A={x|x>2 或 x<-1}. 要使 g(x)有意义,则 3-|x|≥0, 解得-3≤x≤3,即 B={x|-3≤x≤3}, ∴A∩B={x|x>2 或 x<-1}∩{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x<-1 或 2<x≤3}. (2)若 C=?,则 m≤-2,C?B 恒成立; 若 m>-2 时,要使 C?B 成立, m>-2, ? ? 则?m-1≥-3, ? ?2m+1≤3, 综上,m≤1. 即实数 m 的取值范围是(-∞,1]. 20.解 p 为真命题?0<a<1; 1 q 为真命题?a>0 且 1-8a<0,即 a> . 8 由题意,p 和 q 有且只有一个是真命题.
8

解得-2<m≤1.

1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ; 8 若 p 假 q 真,则 a≥1. 1 综上所述,a∈(0, ]∪[1,+∞). 8 21.解 ∵A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, y=x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1, ∴B={y|y≥a-1},C={x|x2-ax-4≤0}, (1)由命题 p 为假命题可得 A∩B=?, ∴a-1>2,∴a>3. (2)∵命题 p∧q 为真命题, ∴p,q 都为真命题,即 A∩B≠?且 A?C. a-1≤2, ? ? ∴?1-a-4≤0, ? ?4-2a-4≤0,

解可得 0≤a≤3.

1 22.解 (1)因为集合 A={x|2<x<3},因为 a= , 2 9 x- 4 x-?a2+2? 函数 y=lg =lg , 1 a-x -x 2 9 x- 4 由 >0, 1 -x 2 1 9 可得集合 B={x| <x< }, 2 4 1 9 ?UB={x|x≤ 或 x≥ }, 2 4 9 故 A∩(?UB)={x| ≤x<3}. 4 (2)因为 q 是 p 的必要条件等价于 p 是 q 的充分条件,即 A?B, x-?a2+2? 由 A={x|2<x<3},而集合 B 应满足 >0, a-x 1 7 因为 a2+2-a=(a- )2+ >0, 2 4 故 B={x|a<x<a2+2}, 依题意有:
?a≤2, ? ? 2 ?a +2≥3, ? 9

即 a≤-1 或 1≤a≤2, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].

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