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四川凉山州2015届高中毕业班第一次诊断性测试 理科数学答案


凉山州 2015 届高中毕业班第一次诊断检测

理科数学参考答案及评分意见
一、选择题(本题满分 50 分)
1、A 2、C 3、D 4、 B 5、A 6 、A 14、 ?1,2? 7、C 8、B 9、 C 10、B

二、填空题(本题满分 25 分)
11、-2 12、1 13、4 15、 (2) (3) (

4)

三、解答题
16、(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理可知:

( 2a ? c ) cos B ? b cos C ?

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C ……………………………2 分

?

……………………………3 分 ? 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin?B ? C ? ? sin A , 又 0 ? A ? ? , ? sin A ? 0 , ………………………………………………………………………4 分

? cos B ?

2 , …………………………………………………………………………………………5 分 2

又0 ? B ?? ,

?B?

?

4

;

…………………………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)? m = ?sin A, cos 2 A? , n ? ?4,1? ,

? m ? n = 4 sin A ? cos 2 A ……………………………………………………………………………7 分
= 1 ? 2 sin A ? 4 sin A
2

= ? 2?sin A ? 1? ? 3 , …………………………………………………………………………………9 分
2

?B?

?

4 ? 0 ? sin A ? 1 , ? 1 ? sin A ? 1 ? 0 ,
2

,? 0 ? A ?

2? , 3

…………………………………………………………………………………11 分 0 ? ?sin A ? 1? ? 1 ,

? m ? n ? ?1,3? …………………………………………………………………………………………12 分
17、(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)法 1:记 A 为“从口袋中摸出 2 个球,恰有一个红球” ,则 A 包含 C 4 C8 ? 32 个基本事件,
1 1

2015 届凉山一诊 理科数学参考答案 第 1页(共 5页)

记 ? 为“从口袋中摸出 2 个球” ,则 ? 包含 C12 =66 个基本事件,
2

所以, P ? A? ?

32 16 16 ,即从口袋中摸出 2 个球,恰有一个红球的概率为 . ? 33 66 33
…………………………………………6 分 …………………………………………7 分

(Ⅱ)由题意, ? = 0,1,2

P?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? P?? ? 2 ? ?

C82 14 ? , 2 33 C12
1 1 C8 C4 16 ? , 2 C12 33 2 C4 1 ? , 2 C12 11

? 的分布列如下: ?
P
0 1 2

14 33

16 33

1 11

…………………………………………………………………………10 分

14 16 1 2 所以, E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3
18、(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:? PA ? PD ? 2 2 , PA ⊥ PD ,

…………………………………………………12 分

z

P M

? AO ? DO ? 2 , ? ABCD 直角梯形, 且 BC ∥ AD , BC ? 2 ,

? AO // BC ,? 四边形 ABCO 是平行四边形, ? AB // CO ,
又 AB ? 平面PAB , CO ? 平面PAB , ………………………6 分 (Ⅱ)法 1:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系 ? 侧面 PAD ⊥平面 ABCD , ?z 轴在平面 PAD 上. 在等腰 Rt?PAD 中, PA ? PD ? 2 2 , B x

A

O

D

y

C

CO ∥平面 PAB .

………………………7 分

? AO ? OD ? AB ? BC ? PO ? 2 ? A?0,0,0? 、 C ?2,2,0? 、 M ?0,3,1?
2015 届凉山一诊 理科数学参考答案 第 2页(共 5页) ………………………8 分

AC ? ?2,2,0? 、 AM ? ?0,3,1?
设 n ? ? x, y , z ? 是平面 MAC 的一个法向量,则 ?

? ? AC ? n ? 0 ? ? AM ? n ? 0



? x ? ?1 ?x ? y ? 0 ? 可得 ? ,令 y ? 1 ,可得 ? y ? 1 ,取 n ? ?? 1,1,?3? 为平面 MAC 的一个法向量, ?3 y ? z ? 0 ? z ? ?3 ?
易知,平面 ACD 的法向量为 m ? ?0,0,1? ,

? cos ? m, n ? =

m?n m?n

=

?3 , 11

…………………………………10 分

由图可知,二面角 M ? AC ? D 是锐角,所以,二面角 M ? AC ? D 的余弦值为 19、(本题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? ln ?m ? x ? ? ln ?m ? x ? , m ? 0 , (Ⅰ)若 f ?t ? ? ?1, (? m ? t ? m) ,求 f ?? t ? 的值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,且 x ? ?0,1? ,证明: f ? x ? ? 2 x . 解: (Ⅰ)由题可得 f ? x ?定义域为 x ? ?? m, m ?

3 11 ……………12 分 11

? f ?? x ? ? ln ?m ? x ? ? ln ?m ? x ? ? ? f ? x ? , ? f ? x ?为奇函数 ………………………………………3 分 ? f ?? t ? ? ? f ?t ? ? 1 ………………………………………………5 分
(Ⅱ)当 m ? 1 时,令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2 x , x ? ?0,1?

g ??x ? ?

2x2 ? 0恒成立 ,故 g ?x ? 在 x ? ?0,1? 上为增函数 (1 ? x)(1 ? x)
……………………………………………12 分

? 当 x ? ?0,1? 时, g ?x ? ? g ?0 ? ? 0 即 f ?x ? ? 2 x .
20、(本题满分 13 分) 解(Ⅰ)由题意有: g ?1? ? m ? f ?1? 即 1 ? m ? 1 ,? m ? 1 (Ⅱ)假设存在满足条件的保值区间 ?a, b? ?1 ? a ? b ?

……………………………………………4 分

h?x ? ? x 2 ? 1 ?ln x ? 1?, ?x ? 1?
2015 届凉山一诊 理科数学参考答案 第 3页(共 5页)

?

?

h ' ?x ? ? 2 x ln x ? 2 x ?

x 2 ?1 ……………………………………………7 分 ? 0 对任意的 x ? ?1,?? ? 恒成立, x

故 h? x ? 在 ?a, b? 上单调递增,

?h ( a ) ? a ?? ?h(b) ? b

2 ? ( ? a ? 1)(ln a ? 1) ? a 即? 2 ? ( ? b ? 1)(ln b ? 1) ? b 2

即 a, b是方程(x ? 1)(ln x ? 1) ? x ? 0的两个大于1的不等实根 …………………………………10 分

记m( x) ? (x 2 ? 1)(ln x ? 1) ? x, ( x ? 1) x 2 ?1 ? 0恒成立 x ? m( x)在( 1, ? ?)为单调递增函数,即m( x)在( 1, ? ?)至多有一个零点 …………………12 分 m?( x) ? 2 x ? ln x ? x ? 故方程(x 2 ? 1)(ln x ? 1) ? x ? 0不可能有两个大于1的不等实根 ?函数f ( x)不存在满足条件的保值区间。
21.解: (1)由题易得: f ( ? x) ? ? f ( x),即f ( x)为R上的奇函数 当 x>0 时, f ( x) ?

x 1 1 1 ? ? ? (当且仅当x ? 1时取等号) x ?1 x ? 1 1 2 2 x? x x
2

1 ?当x ? (0,??)时,f ( x) ? (0, ] 2 ? 1 1? 故,由f ( x)是R上的奇函数可知函数f ( x)的值域是: ? , . ? ? 2 2? ?
(2) 令t ? f ( x)

…………………4 分

则g ( x) ? 5 f 2 ( x) ? af ( x) ? 1有4个全为正数的不同零点 1 即等价转化为方程: 5t 2 ? at ? 1 ? 0在(0, )有两个不等实根 2

记h(t ) ? 5t 2 ? at ? 1 ? ? ?? ? a 2 ? 20 ? 0 ?a ? 2 5或a ? ?2 5 ? ? a 1 ? ? ?0 ? ? ? ? ?? 5 ? a ? 0 10 2 ? ? 9 5 a ? 1 ?a ? ? h ( ) ? ? ? 1 ? 0 2 ? ? ? 2 4 2

解得: ?

9 ? a ? ?2 5 2

2015 届凉山一诊 理科数学参考答案 第 4页(共 5页)

? 9 ? 故,a的取值范围为: ? 2 5 ?. ?? , ? 2 ?
( 3) :

…………………9 分

1 ? xy 1 1 1 x y 1 xy2 ? x 2 y ? x ? y 1 1 f ( x) ? f ( y) ? ? ? ? x ? y ? ? x? y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x ? 1 y ? 1 2 ( x ? 1)( y ? 1) 2 ( x ? 1)( y ? 1) 2

当x ? 0, y ? 0时1 ? xy ? ( x 2 ? 1)( y 2 ? 1) ? 1 ? xy ? ( x 2 ? 1)( y 2 ? 1) ? an ? bn ? 1 1 1 1 1 f (an?1 ) ? f (bn?1 ) ? an?1 ? bn?1 ? 2 an?2 ? bn?2 ? ? ? n?1 a1 ? b1 ? n 2 2 2 2 2
,

1 a1 ? b1 ? , 2 ? S n ? Tn ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn ) ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an ? bn ? 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 1? n ? 1 2 2 2 2 2

…………………14 分

2015 届凉山一诊 理科数学参考答案 第 5页(共 5页)


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