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高中数学选修人教A学案3.2 回归分析(2)


§3.2

回归分析(2)

教学目标 (1)通过实例了解相关系数的概念和性质,感受相关性检验的作用; (2)能对相关系数进行显著性检验,并解决简单的回归分析问题; (3)进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用. 教学重点,难点 相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤. 教学过程 一.问题情境 1.情境:下面是一组数据的散点图,

若求出相应的线性回归方程,求出的线性回归方程可以 用作预测和估计吗?
10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 系列1
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2.问题:思考、讨论:求得的线性回归方程是否有实际意义. 二.学生活动 对任意给定的样本数据,由计算公式都可以求出相应的线性回归方程,但求得的线 性回归方程未必有实际意义.左图中的散点明显不在一条直线附近,不能进行线性拟合, 求得的线性回归方程是没有实际意义的; 右图中的散点基本上在一条直线附近, 我们可以 粗略地估计两个变量间有线性相关关系, 但它们线性相关的程度如何, 如何较为精确地刻 画线性相关关系呢? 这就是上节课提到的问题①,即模型的合理性问题.为了回答这个问题,我们需要 对变量 x 与 y 的线性相关性进行检验(简称相关性检验) . 三.建构数学 1.相关系数的计算公式: 对于 x , y 随机取到的 n 对数据 ( xi , yi ) (i ? 1, 2,3,?, n) ,样本相关系数 r 的计算公 式为

r?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x) ?? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? x y ? nx y
i ?1 i i

n

?

(? x ? n( x) )(? y ? n( y ) )
i ?1 2 i 2 i ?1 2 i 2

n

n

. ? 2?

2.相关系数 r 的性质: (1) | r |? 1 ; (2) | r | 越接近与 1, x , y 的线性相关程度越强;
1

(3) | r | 越接近与 0, x , y 的线性相关程度越弱. 可见,一条回归直线有多大的预测功能,和变量间的相关系数密切相关. 3.对相关系数 r 进行显著性检验的步骤: 相关系数 r 的绝对值与 1 接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢?这需 要对相关系数 r 进行显著性检验.对此,在统计上有明确的检验方法,基本步骤是: (1)提出统计假设 H 0 :变量 x , y 不具有线性相关关系; (2)如果以 95% 的把握作出推断,那么可以根据 1 ? 0.95 ? 0.05 与 n ? 2( n 是样本容量) 在附录 2 (教材 P111)中查出一个 r 的临界值 r0.05 (其中 1 ? 0.95 ? 0.05 称为检验水平) ; (3)计算样本相关系数 r ; (4)作出统计推断:若 | r |? r0.05 ,则否定 H 0 ,表明有 95% 的把握认为变量 y 与 x 之间具 有线性相关关系;若 | r |? r0.05 ,则没有理由拒绝 H 0 ,即就目前数据而言,没有充分理由 认为变量 y 与 x 之间具有线性相关关系. 说明:1.对相关系数 r 进行显著性检验,一般取检验水平 ? ? 0.05 ,即可靠程度为 95% . 2.这里的 r 指的是线性相关系数, r 的绝对值很小,只是说明线性相关程度低,不一定不 相关,可能是非线性相关的某种关系. 3.这里的 r 是对抽样数据而言的.有时即使 | r |? 1 ,两者也不一定是线性相关的.故在统 计分析时,不能就数据论数据,要结合实际情况进行合理解释. 4.对于上节课的例 1,可按下面的过程进行检验: (1)作统计假设 H 0 : x 与 y 不具有线性相关关系; (2)由检验水平 0.05 与 n ? 2 ? 9 在附录 2 中查得 r0.05 ? 0.602 ; (3)根据公式 ? 2 ? 得相关系数 r ? 0.998 ; (4)因为 r ? 0.998 ? 0.602 ,即 r ? r0.05 ,所以有 95 ﹪的把握认为 x 与 y 之间具有线

y 性相关关系,线性回归方程为 ? ? 527.591 ? 14.453x 是有意义的.
四.数学运用 1.例题: 例 1.下表是随机抽取的 8 对母女的身高数据,试根据这些数据探讨 y 与 x 之间的关系.

母亲身高 x / cm 女儿身高 y / cm

154

157

158

159

160

161

162

163

155

156

159

162

161

164

165

166

解:所给数据的散点图如图所示:由图可以看出,这些点在一条直线附近,

2

因为 x ? ?154 ? 157 ? ? ? 163? ? 8 ? 159.25 , y ? ?155 ? 156 ? ? ? 166 ? ? 8 ? 161 ,

?x
i ?1 8

8

2 i

? 8( x)2 ? ?1542 ? ? ? 1632 ? ? 8 ?159.252 ? 59.5 , ? 8( y ) 2 ? ?1552 ? ? ? 1662 ? ? 8 ?1612 ? 116 ,

?y
i ?1 8

2 i

? x y ? 8x y ?154 ?155 ? ? ? 163 ?166? ? 8 ?159.25 ?161 ? 80 ,
i ?1 i i

所以 r ?

80 59.5 ? 116

? 0.963 ,

由检验水平 0.05 及 n ? 2 ? 6 , 在附录 2 中查得 r0.05 ? 0.707 , 因为 0.963 ? 0.707 ,所以可 以认为 x 与 y 之间具有较强的线性相关关系.线性回归模型 y ? a ? bx ? ? 中 a, b 的估计

? ? 值 a, b 分别为

b?

? x y ? 8x y ?x
i ?1 i ?1 8 i i 2 i

8

?8 x

??

2

? 1.345,

? a ? y ?? b x ? 5 3 . 1 9 1 ? ,

故 y 对 x 的线性回归方程为 y ? ?53.191 ? 1.345 x . 例 2.要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响,在高一年级学生中随 机抽取 10 名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表: 学生编号 入学成绩 x 高一期末成绩 y

?

1 63 65

2 67 78

3 45 52

4 88 82
3

5 81 92

6 71 89

7 52 73

8 99 98

9 58 56

10 76 75

(1)计算入学成绩 x 与高一期末成绩 y 的相关系数; (2)如果 x 与 y 之间具有线性相关关系,求线性回归方程; (3)若某学生入学数学成绩为 80 分,试估计他高一期末数学考试成绩. 解:(1)因为 x ?
10

1 1 ? ? 63 ? 67 ? ? ? 76 ? ? 70 , y ? ? ? 65 ? 78 ? ? ? 75? ? 76 , 10 10
10 2

Lxy ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? 1894 , Lxx ? ? ( xi ? x) ? 2474 ,
i ?1
i ?1

Lyy ? ? ( yi ? y )2 ? 2056 .
i ?1

10

因此求得相关系数为 r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

10

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

10

10

?
2

Lxy Lxx Lyy

? 0.840 .

结果说明这两组数据的相关程度是比较高的; 小结解决这类问题的解题步骤: (1)作出散点图,直观判断散点是否在一条直线附近; (2)求相关系数 r ; (3)由检验水平和 n ? 2 的值在附录中查出临界值,判断 y 与 x 是否具有较强的线性相关 关系;

? ? (4)计算 a , b ,写出线性回归方程.
2.练习: P 练习第 1 题. 104 五.回顾小结:

? 1.相关系数的计算公式与回归系数 b 计算公式的比较;
2.相关系数的性质; 3.探讨相关关系的基本步骤. 六.课外作业: P 习题 3.2 第 1 题. 106

4


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