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(第25课时)正弦函数余弦函数的图象和性质(4)




题:4 8
王新敞
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正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)

教学目的: 1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3 掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点

:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1.y=sinx,x∈R 和 y=cosx,x∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = sin?x?
1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = cos?x?
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:
?
2

(0,0) (

,1) (?,0) (

3? 2

,-1)

(2?,0)

余弦函数 y=cosx (0,1) (
?
2

x?[0,2?]的五个点关键是
3? ,0) 2

,0) (?,-1) (

(2?,1)

3.定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R 4.值域 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数 y=sinx,x∈R
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? +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 2 ? ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1 2
①当且仅当 x=
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而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 ②当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1 5.周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最 小正周期是 2π 6.奇偶性 y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数 正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 7.单调性
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? ? +2kπ , +2kπ ] k∈Z)上都是增函数, ( 2 2 ? 3? 其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是 2 2
正弦函数在每一个闭区间 [- 减函数,其值从 1 减小到-1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值 从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数, 其值从 1 减小到-1 二、讲解范例:
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例 1 求函数 y=sin 误解:令u=

? ? ,2kπ + ](k∈Z)上递增 2 2 ? 1? x ? ∴2kπ - ≤ π ≤2kπ + 2 2 2
∵y=sinu在[2kπ - 解得-4k≤x≤-4k+2 ∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z) 分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u= 视了u是 x 的减函数,未考虑复合后单调性的变化 正解如下:
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1? x π 2

1? x π 的单调增区间 2

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1? x π ,忽 2

1? x π ,则 u 是 x 的减函数 2 3? ? 又∵y=sinu在[2kπ + ,2kπ + ](k∈Z)上为减函数, 2 2 3? ? ∴原函数在[2kπ + ,2kπ + ](k∈Z)上递增 2 2 3? ? 1? x 设 2kπ + ≤ π ≤2kπ + 2 2 2
解法一:令u= 解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z) ∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增 解法二:将原函数变形为 y=-sin 因此只需求 sin ∵u=

x ?1 π 为增函数 2

x ?1 π =y 的减区间即可 2

x ?1 π 2

∴只需求 sinu的递减区间 ∴2kπ +

3? ? x ?1 ≤ π ≤2kπ + 2 2 2

解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z) ∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z) 一、利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1 来求三角函数的最值
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例2

a、b 是不相等的正数
2 2

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求 y= a cos x ? b sin x ? a sin x ? b cos x 的最大值和最小值
2 2
2

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解:y 是正值,故使 y 达到最大(或最小)的 x 值也使 y 达到最大(或最小)

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y2 = acos2x + bsin2x + 2 asin2x+bcos2x

a cos 2 x ? b sin 2 x · a sin 2 x ? b cos 2 x +

=a+b+ 4ab ? (a ? b) 2 sin2 2x ∵a≠b,(a-b) >0,0≤sin 2x≤1 ∴当 sin2x=±1 时,即 x= 当 sinx=0 时,即 x=
2 2

k? (k∈Z)时,y 有最小值 a + b 2

k? ? ? (k∈Z)时,y 有最大值 2(a ? b) ; 2 2
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二、利用三角函数的增减性 如果 f(x)在 [α , ] β 上是增函数, f(x)在 则 [α , ] β 上有最大值 f(β ), 最小值 f(α );如果 f(x)在[α ,β ]上是减函数,则 f(x)在[α ,β ]上有 最大值 f(α ),最小值 f(β )
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例 3 在 0≤x≤
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? 2 2 条件下,求 y=cos x-sinxcosx-3sin x 的最大值和最 2

小值 解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有

y=

1 ? cos2 x 1 ? cos2 x -2sin2x-3· =2(cos2x-sin2x)-1 2 2

=2 2 (cos2xcos =2 2 cos(2x+ ∵0≤x≤

? ? ? 5? , ≤2x+ ≤ 4 2 4 4
3? ? )在[0, )上是减函数 4 8

? )-1 4

? ? -sin2xsin )-1 4 4

cos(2x+

故当 x=0 时有最大值

2 2

当 x=

3? 8

时有最小值-1

cos(2x+

3? ? ? )在[ , ]上是增函数 4 2 8
时,有最小值-1

故当 x=

3? 8

当 x=

2 ? 时,有最大值- 2 2
3? 8

综上所述,当 x=0 时,ymax=1 当 x= 时,ymin=-2 2 -1

三、换元法 利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解 4 3 2 2 3 4 例 4 求 f(x)=sin x+2sin xcosx+sin xcos x+2sinxcos x+cos x 的最大 值和最小值 2 2 2 2 2 2 2 解 : f(x) = (sin x + cos x) - 2sin xcos x +2sinxcosx(sin x +cos x) + 2 2 2 2 sin xcos x=1+2sinxcosx-sin xcos x
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1 sin2x 2 1 1 ∴- ≤t≤ 2 2
令t=

① ②

f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2
在①的范围内求②的最值 当t=

1 ? 7 ,即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)max= 2 4 4 1 3? 1 当t=- ,即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)min=- 2 4 4
四、求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考、高考必考 内容,在求解中欲达到准确、迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几 点: 1.注意 sinx、cosx 自身的范围 2 例 5 求函数 y=cos x-3sinx 的最大值
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解:y=cos x-3sinx=-sin x-3sinx+1=-(sinx+ ∵-1≤sinx≤1, ∴当 sinx=-1 时,ymax=3

2

2

3 2 13 )+ 2 4

说明:解此题易忽视 sinx∈[-1,1]这一范围,认为 sinx=- 有最大值

3 时,y 2

13 ,造成误解 4

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2.注意条件中角的范围

? 2 ,求函数 y=cos x+sinx 的最小值 4 1 2 5 2 解:y=-sin x+sinx+1=-(sinx- ) + 2 4 ? ? ∵- ≤x≤ 4 4
例 6 已知|x|≤

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∴-

2 2 ≤sinx≤ 2 2 2 时 2

∴当 sinx=-

ymin=-(-

2 1 2 5 1? 2 - )+ = 2 2 2 4

说明:解此题注意了条件|x|≤ -1 时 y 有最小值,产生误解 3.注意题中字母(参数)的讨论
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? ,使本题正确求解,否则认为 sinx= 4

例 7 求函数 y=sin x+acosx+

2

5 3 ? a- (0≤x≤ )的最大值 8 2 2

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解:∵y=1-cos x+acosx+

2

a2 5 5 3 a 1 a- =-(cosx- )2+ + a- 4 8 2 2 8 2

a2 5 a 1 ∴当 0≤a≤2 时,cosx= ,ymax= + a- 4 2 8 2

13 3 a- 8 2 5 1 当 a<0 时,cosx=0,ymax= a- 8 2
当 a>2 时,cosx=1,ymax= 说明:解此题注意到参数 a 的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为 cosx=

a 时,y 有最大值会产生误解 2

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4.注意代换后参数的等价性 例 8 已知 y=2sinθ cosθ +sinθ -cosθ (0≤θ ≤π ),求 y 的最大值、 最小值
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解:设 t=sinθ -cosθ = 2 sin(θ - ∴2sinθ cosθ =1-t
2 2

? ) 4

∴y=-t +t+1=-(t- 又∵t= 2 sin(θ -

? ),0≤θ ≤π 4

1 2 5 )+ 2 4

∴-

? ? 3? ≤θ - ≤ 4 4 4

∴-1≤t≤ 2 当t=

1 5 时,ymax= 2 4

当t=-1 时,ymin=-1 说明:此题在代换中,据θ 范围,确定了参数t∈[-1, 2 ] ,从而正 确求解,若忽视这一点,会发生t=

1 时有最大值而无最小值的结论 2

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三、课堂练习: 四、小结 三角函数最值的求解:三角函数最值是中学数学的一个重要内容, 加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角、 代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力 本课介绍了三角函数最值问题的 一些常见类型和解题方法 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记:


(第25课时)正弦函数余弦函数的图象和性质(4)

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