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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第十章 第三节 二项式定理突破热点题型 文

时间:2014-09-04


第三节
高频考点 考点一

二项式定理
求二项展 开式中的特定项或特定项的系数

1.二项式定理是高中数学中的 一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择、填 空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对二项式定理的考查主要有以下几 个命题角度: (1)求二项展开式中的第 n 项; (2)求二项展开式

中的特定项; (3)已知二项展开式的某项,求特定项的系数.

? 2 2 ?5 [例 1] (1)(2013·江西高考)?x - 3? 展开式中的常数项为( x ? ?
A.80 B.-80 C.40 D.-40
*

)

(2)(2013·辽宁高考)使?3x+ A.4 [自主解答] 1) ·2 ·x
r r
10-5r

? ?

? (n∈N )的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x?
D.7
r
2 5-r

1 ?n

)

B.5

C.6

(1) 此 二 项 展 开 式 的 通 项 为 Tr + 1 = C 5 (x )

( - 1) 2 x
2

r r

- 3r

= C 5 ·( -

r

.因为 10-5r=0,所以 r=2,所以常数项为 T3=C5·2 =40.
r n-r

2

(2)Tr+1=Cn(3x)

3 3 5r r n-r r n-r ·x- r=Cn·3 ·xn-r- r=Cn·3 ·xn- (r=0,1,2, ?, n), 2 2 2

5 5 若 Tr+1 是常数项,则有 n- r=0,即 2n=5r(r=0,1,?,n),当 r=0,1 时,n=0, ,不 2 2 满足条件;当 r=2 时,n=5. [答案] (1)C (2)B 【互动探究】 * 若本例(2)中的条件“n∈N ”改为“n≥3”,其他条件不变,则展开式中的有理项最少 有________项. 解析:由本例(2)中的自主解答可知:Tr+1=Cn3
r n-r

5r xn- (r=0,1,2,?,n). 2

? 5r? 即当?n- ?为整数时,Tr+1 为有理项.显然当 n=3 时,r 的取值最少,有 r=0,r=2, 2? ?
即有理项为 T1、T3 两项. 答案:2

1

求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的第 n 项.可依据二项式的通项公式直接求出第 n 项. (2)求展开式中的特定项. 可依据条件写出第 r+1 项, 再由特定项的特点求出 r 值即可. (3)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第

r+1 项,由特定项得出 r 值,最后求出其参数.

2?n ? 1.若二项式? x- ? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能为(

?

x?

)

A.6

B.10
r

C.12
n -r

D.15

解析:选 C Tr+1=Cn( x) 当 r=4 时,

?-2?r=(-2)rCrxn-3r, ? x? n 2 ? ?
*

n-3r
2

=0,又 n∈N ,所以 n=12.

?2 ? 4 2.(2014·昆明模拟)? +x?(1- x) 的展开式中 x 的系数是________. ?x ? ?2+x?(1- x)4 的展开式中 x 的项为2·C410(- x)4+xC014(- x)0=2x+x=3x. 解析: ? ? 4 4 ?x ?
x
所以 x 的系数为 3. 答案:3 考点二 二项式系数或各项系数和

[例 2] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数, (x+y) 展开式的二项式系数的最 大值为 a,(x+y) A.5
2m+1

2m

展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( C.7
*

)

B.6
3n+1

D.8
n
2

(2)若 C23 =C23 (n∈N )且(3-x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,则 a0-a1+a2-?+(- 1) an=________. [自主解答] (1)由题意得:a=C2m,b=C2m+1, 所以 13C2m=7C2m+1,∴ ∴
m m m m n

n+6

n

m ! = m!·m! m!

m+ m+

! , !

m+ m+1
3n+1

=13,解得 m=6,经检验为原方程的解,选 B.
n+6

(2)由 C23 =C23 ,得 3n+1=n+6(无整数解)或 3n+1=23-(n+6),解得 n=4,问题 即转化为求(3-x) 的展开式中各项系数和的问题,只需在(3-x) 中令 x=-1 即得 a0-a1 +a2-?+(-1) an=[3-(-1)] =256. [答案] (1)B (2)256
2
n
4 4 4

【方法规律】 赋值法的应用 (1)形如(ax+b) ,(ax +bx+c) (a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常 用赋值法,只需令 x=1 即可. (2)对形如(ax+by) (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (3)若 f(x)=a0+a1x+a2x +?+anx ,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 奇数项系数之和为 a0+a2+a4+?= 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?=
2

n

2

m

n

n

f 1 f 1

f
2

1 1

, .

f
2

1.设(1+x) =a0+a1x+?+anx ,若 a1 +a2+?+an=63,则展开式中系 数最大的项 是( ) A.15x
3

n

n

B.20x

3

C.21x
n

3

D.35x
n

3

解析:选 B 在(1+x) =a0+a1x+?+anx 中,令 x=1 得 2 =a0+a1+a2+?+an. 令 x=0,得 1=a0,∴a1+a2+?+an=2 -1=63,∴n=6. 而(1+x) 的展开式中系数最大的项为 T4=C6x =20x . 2.(2014·丽水模拟)若(1-2x) +?+ 2 013+ 2 014的值为( 2 2 A.2 B.0
2 014 6 3 3 3

n

n

=a0+a1x+?+a2 013x

2 013

+a2 014x

2 014

(x∈R),则 + 2 2 2

a 1 a2

a2 013 a2 014

) C.-1 D.-2

1 解析:选 C 令 x=0,则 a0=1,令 x= , 2 则 a0+ + 2+?+ 2 013+ 2 014=0,∴ + 2+?+ 2 013+ 2 014=-1. 2 2 2 2 2 2 2 2

a1 a2

a2 013 a2 014

a1 a2

a2 013 a2 014

考点三 [例 3] (1)已知 2
8

二项式定理的应用

n+2

·3 +5n-a 能被 25 整除,求正整数 a 的最小值;

n

(2)求 1.02 的近似值.(精确到小数点后三位) [自主解答] (1)∵2
n n+2

·3 +5n-a=4·2 ·3 +5n-a
n

n

n

n

=4·6 +5n-a=4(5+1) +5n-a =4(Cn5 +Cn5 =4(Cn5 +Cn5
0 n 0 n 1 n-1

+?+Cn 5 +Cn 5+Cn)+5n-a +?+Cn 5 )+25n+4-a,
n-2 2

n-2 2

n-1

n

1 n-1

显然正整数 a 的最小值为 4. (2)1.02 =(1+0.02) ≈C8+C8·0.02+C8·0.02 +C8·0.02 ≈1.172.
3
8 8 0 1 2 2 3 3

【方法规律】 1.整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系, 是解决有关整除性问题和余数问 题的基本思路,关键是 要合理地构造二项式,并将它展开进行分析判断. 2.求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算:当 n 不很大,|x|比较小时,(1+x) ≈1+nx.
n

求证: (1)3
2n+2

-8n-9 能被 64 整除(n∈N );
n-1

*

(2)3 >(n+2)·2 证明:(1)∵3
n

n

(n∈N ,n>2).
2 2n

*

2n+2

-8n-9=3 ·3 -8n-9
n

=9·9 -8n-9=9(8+1) -8n-9 =9(Cn8 +Cn8 =9(8 +Cn8 =9×8 (8 =64[9(8
2 0 n 1 n-1

+?+Cn ·8+Cn·1)-8n-9
n-2 2

n-1

n

n

1 n-1

+?+Cn 8 )+9·8n+9-8n-9
1 n-3

n-2

+Cn8

+?+Cn )+64n
n-2

n-2

n- 2

+Cn8

1 n-3

+?+Cn )+n],

显然括号内是正整数,故原 式能被 64 整除. (2)因为 n∈N ,且 n>2,所以 3 =(2+1) 展开后至少有 4 项. (2+1) =2 +Cn·2
-1 *

n

n

n

n

1

n-1

+?+Cn ·2+1≥2 +n·2

n-1

n

n-1

+2n+1>2 +n·2

n

n-1

=(n+2)·2

n

, 故 3 >(n+2)·2
n n-1

(n∈N ,n>2).

*

————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————— 个公式—— 二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点: (1)Cna
r n-r r

b 是第 r+1 项,而不是第 r 项;

(2)通项公式中 a,b 的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有 a,b,n,r,Tr+1 五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第 五个,即“知四求一”. 个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第 r+1 项的二项式系数与第 r+1 项的系数一般是不相同的,在具体求各 项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.

4


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