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河北省石家庄市2013届高中毕业年级质量检测(二) 数学理试题


石家庄市 2013 届高中毕业年级质量检测(二) 数学理试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前考生务必将自己的姓 名、准考证号 填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号

.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要 求的.

1.

10 复数 1 ? 2i =
C. 2-4i D. 2+4i
2

A. -4+2i B. 4-2i 2. A. C. 已知命题

p : ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 则 ? p 为
2

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

B. D.

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

2 3.中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为 2 ,则该椭圆的方程为
x2 y2 ? ?1 A. 16 12
x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 8 4 B. 12 C. 12 x2 y2 ? ?1 4 D. 8

4. 设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),是变量 x:和 y 的 n 个样本点,直线 Z 是由这些样本点通过 最 小二乘法得到的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 A. x;和 y 正相关 B. y 和 y 的相关系数为直线 I 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在-1 到 O 之间 D. 当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 5.在 ΔABC 中,角 uC 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列,且 c= 2a,则 cosB 的值为

1 A. 4

3 B. 4

C.

2 4

D.

2 3
·1·

6.已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3) ,Sn= 100,则 n 的值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角 形的边长 的概率为

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

D.

3 2

8.阅读程序框图(如右图) ,如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输 入的 实数 x 的取值范围是 A. B. C. D.

{x ? R | 0 ? x ? log2 3}
{x ? R | ?2 ? x ? 2}

{x ? R | 0 ? x ? log2 3, 或x ? 2} {x ? R | ?2 ? x ? log2 3, 或x ? 2}

9.下图是两个全等的正三角形.给定下列三个命题:① 存在四 棱锥,其正视图、侧视图如右图;②存在三棱 锥, 其正视图、 侧视图如右图;③存在圆锥, 其正视图、 侧视图如右图.其中 真命题的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. O

x2 y2 ? ?1 a2 b2 10.F1,F2 分别是双曲线 的左、右焦点,
过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别 交于 A、B 两点.若Δ ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 A. 2 B.

7

C.

13 D.

15

11.设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则 A. x1 x2<0 B. x1 x2=1 C. Xi X2 >1 D0<x1 x2<1 12.已知直线 l 垂直平面 a,垂足为 O.在矩形 ABCD 中 AD=1,AB=2,若点 A 在 l 上移动,点 B 在平 面 a 上移动,则 O、D 两点间的最大距离为 A.

5

B.

2 ?1

C.

3

D. 3 ? 2 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? (x
13.
0

2

3

? 1) dx
的值为_________.

14.有 4 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有 1 人参加,每名同学只参加一 项比 赛,另外甲同学不能参加跳舞比赛,则不同的参赛方案的种数为_____(用数字作答).
·2·

15.在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点, F 为该矩形内 若 (含边界) 任意一点, 则:AE. AF 的最大值为______: 16.对于一切实数 x、令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.若

n a n ? f ( ), n ? N * 3 ,Sn 为数列{an }的前 n 项和,则 S3n 的值为_______
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

f ( x)4 cos x cos( x ?
已知函数 (I)求函数 f(x)的最小正周期;

?
3

)?2

[?
(II)求函数 f(x)在区间

? ?

, ] 6 4 上的最大值和最小值.

18.(本小题满分 12 分) 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质 测试,随机抽取 了部分学生的成绩,得到如图所示的成绩 频率分布直方图. (I )估计全市学生综合素质成绩的平均值; (II)若评定成绩不低于 8o 分为优秀.视频率为概率,从 全市学生中任 选 3 名学生(看作有放回的抽样) 变量 ? 表示 3 名学生中成绩优秀的 , 人数,求变量 ? 的分布列及期望 E (? )

19.(本小题满分 12 分) 如图, 已知三棱柱 ABC-A1B1C1, 侧面 BCC1B1 丄底面 ABC. (I)若 M、 分别是 AB,A1C 的中点, N 求证:MN//平面 BCC1B1 (II)若三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2, 侧棱 BB1 与底
·3·

面 ABC 所成的角为 60° .问在线段 A1C1 上是否存在一点 P,使得平面 B1CP 丄平面 ACC1A1,若存 在,求 C1P 与 PA1 的比值,若不存在,说明 理由.

20.(本小题满分 12 分) 已知直线 l1:4x:-3y+6=0 和直线 l2x=-p/2:.若拋物线 C:y2=2px 上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的 最小值为 2. (I )求抛物线 C 的方程; (II)若以拋物线上任意一点 M 为切点的直线 l 与直线 l2 交于点 N,试问在 x 轴上是否存 在定点 Q, 使 Q 点在以 MN 为直径的圆上,若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函數 f(x)=ln+mx2(m∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间;

? (II)若 m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数 f(x)图象上不同的两点,且 a>b>0, f (x) 为 f(x)的导函数,
f ?(
求证:

f (a) ? f (b) a?b )? ? f ?(b) 2 a?b

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ... ? (n ? N *) 2n ? 1 2 3 n (III)求证 3 5 7

·4·

请考生在 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,AB 是 O 的直径,BE 为圆 0 的切线,点 c 为 o 上不同于 A、B 的一点,AD 为 ?BAC 的 平分线,且分别与 BC 交于 H,与 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (I )求证:BD 平分 ?CBE (II)求证:AH.BH=AE.HC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极 坐标方程为: 3? ? 13? cos? ? 10( ? ? 0)
2

(I)求曲线 C1 的普通方程;

x2 y2 ? ?1 4 (II)曲线 C2 的方程为 16 ,设 P、Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点,求|PQ|的最小
值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1| (I )解关于 x;的不等式 f(x)+x2-1>0; (II )若 f(x)=-|x+3|m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围.

2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 高三数学(理科答案) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1-5 ADDCB 6-10 CCCAB 11-12DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
·5·

13. 6

14. 24

9 15. 2

3 2 1 n ? n 2 16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (原则上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ? 4 cos x cos( x ? ) ? 2 3 解: (Ⅰ)因为

?

1 3 ? 4cos x( cos x+ sin x) ? 2 ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?1 ……………2 分
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ………………4 分
所以 f (x) 的最小正周期为 ? .……………6 分

?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

,

所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6 ?

?

2? . 3 ……………8 分 , 即x ?

2x ?
于是,当

?
6

?
2

?
6 时,

f (x) 取得最大值 1;…………10 分
2x ?


?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—2.……………12 分

?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意可知

55 ? 0.12 ? 65 ? 0.18+75 ? 0.40+85 ? 0.22+95 ? 0.08 ……………3 分 =74.6
所以综合素质成绩的的平均值为 74.6.……………5 分

( 008+0. ) . , 022 =0 3 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为 10 ? 0.
·6·

? ? B (3,
由题意知 故其分布列为

3 3 7 ) p (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 10 , 10 10
0 1 2 3

p

?
………………9 分

343 1000

441 1000

189 1000

27 1000

E (? ) ? 3 ?

3 9 ? 10 10 .………………12 分

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ 证明: ) 连接 AC1,BC1, AN ? NC1 ,因为 AM=MB, 则 所以 MN // BC1 . ……………2 分 又 BC1 ? 平面.BCC1 B1 , 所以 MN// 平面.BCC1B1 .…………4 分 (Ⅱ)作 B1O ? BC于O , 因为面 BCC 1 B1 ? 底面 ABC 所以 B1O ? 面ABC 以 O 为原点,建立如图所示空间直角坐 标系,则

A(0,3,0) ,B(-1,0,0),C(1,0,0)

B1 (0, 3) . 由 AA ? CC1 ? BB1, 可 求 出 0, 1
A1 (1 3,3),C1 (2,0,3) ,
…………6 分 设 P(x,y,z), A1C1 ? ? A1 P

1 3 P( ? 1,3 ? , 3)
.解得

?

?

,

CP ? ?

1 3 ( ,3 ? , 3)

?

, CB1 ? (?1,0,3) .
·7·

设平面 B1CP 的法向量为

n1 ? (x,y,z)

??? ? ? n1 ? CP ? 0, ? 1? ? 由 ? ???? n ? ( 3, ,1) ?n1 ? CB1 ? 0, 解得 1 ? 1-? ………8 分
同理可求出平面 ACC1 A1 的法向量

n2 ? ( 3,1,-1) .…………10 分
3? 1? ? -1 ? 0 1- ?

n ? n ? 0 ,即 由面 B1CP ? 平面 ACC1 A1 ,得 1 2

1 解得: ? ? 3, 所以A1C1 ? 3 A1 P,从而C1 P : PA ? 2. ………………12 分

20. (本小题满分 12 分)

p F ( ,0 ) 2 解: (Ⅰ )由定义知 l 2 为抛物线的准线,抛物线焦点坐标
由抛物线定义知抛物线上点到直线 l 2 的距离等于其到焦点 F 的距离. 所以抛物线上的点到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1 的距离.…………2 分

2?
所以

2p ? 6 5
,则

p =2,所以,抛物线方程为 y 2 ? 4 x .………………4 分

(Ⅱ)设 M

( x0 , y0 ) , 由 题 意 知 直 线 l 斜 率 存 在 , 设 为 k, 且 k ? 0 , 所 以 直 线 l 方 程 为

y - y0 ? k ( x - x 0 ) ,
2 ky - 4 y ? 4 y0 - ky0 ? 0. 代入 y ? 4 x 消 x 得:

2

2

2 ? ? 16-4k (4 y0 -ky0 ) ? 0,得k ?



2 . y0 ………………6 分

所以直线 l 方程为

y - y0 ?

y2 - 4 2 (x - x 0 ) N (?1, 0 ) y 2 ? 4x0 得 y0 2 y0 ,令 x=-1,又由 0
2 y0 - 4 ) 2 y0

设 Q(x1 ,0) 则

QM ? ( x0 - x1 , y0 ), QN ? (-1 - x1 ,

???? ???? ? QM ? QN ? 0, ……………8 分 由题意知

·8·

2 y0 -4 即(x0 -x1 )(-1-x1 ) ? ?0 y 2 ? 4x0 代入左式, 2 ,把 0

得:

2 ( - x1 )x0 ? x1 ? x1 - 2 ? 0 ,……………10 分 1

因为对任意的

x0 等式恒成立,

? 1-x1 ? 0, ? 2 x ? x1 -2 ? 0. 所以 ? 1
所以 x1 ? 1 即在 x 轴上存在定点 Q(1,0)在以 MN 为直径的圆上.……………12 分 21. (本小题满分 12 分)

( ? 解: )f(x)的定义域为 0, ?) (Ⅰ ,

f ' ( x) ?

1 1 ? 2m x2 ? 2m x ? x x

当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增; 当m ? 0时,由f'(x) ? 0得x ? x ? (0,-

1 2m

1 1 ) (0,) 2m 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 2m 上单调递增;

x ?( -

1 1 ( ,??) ,??) f ' ( x) <0, f (x) 在 2m 2m 时, 上单调递减.

综上所述: 当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增.

f 当m ? 0时, (x) 在

(0,-

1 1 ( ,??) ) 2m 2m 上单调递增,在 上单调递减.…………3 分

f (a) ? f (b) 1 a a a ? ln ? ? 1 ? t ? 1, a ?b b ,只需证 b b ,令 b (Ⅱ)要证 即证 ln t ? t ? 1 ? 0 , 1 g (t ) ? ln t ? t ? 1, g ?(t ) ? ? 1 ? 0 t 令 ,
因此 g (t ) ? g (1) ? 0 得证.…………………6 分

·9·

a 2( ? 1) a ln ? b ln a ? ln b 2 a b ? ?1 a ? b ,只要证 b 要证 a ? b ,
a ? t ?1 令b ,只要证 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1) ? 0 , 1 h(t ) ? (t ? 1) ln t ? 2t ? 2, h?(t ) ? ln t ? ? 1 t 令 , 1 1 h??(t ) ? ? 2 ? 0 ? ? t t 因此 h (t ) ? h (1) ? 0 ,
所以 h(t ) ? h(1) ? 0 得证.………………9 分 另一种的解法:

a 2(t -1) h(t )= ln t t +1 , 令 b = t >1 ,

1 4 t 2 +2t -3 ?(t )= h = >0 t t +1 t (t +1)2 则
所以 h(t ) 在 (1,+?) 单调递增,

t >0 ,

h(t )>h(1)=0,

a 2( -1) a ln > b , a b +1 b 即 得证.
2 ln a ? ln b 1 2 1 ? ? ? ln(n ? 1) ? ln n ? a ?b b ,( a ? b ? 0 ) n (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? b ,则 2n ? 1

ln(n ? 1) ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? .......(ln 3 ? ln 2) ? (ln 2 ? ln1)
2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ......... ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ...... 2n ? 1 2 3 n .………………12 分 所以 3 5 7
请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分
·10·

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)由弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB 由 ?DBC ? ?DAC , ?DAB ? ?DAC 所以 ?DBE ? ?DBC , 即 BD平分?CBE. …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BE ? BH . 所以 AH ? BH ? AH ? BE ,……………7 分 因为 ?DAB ? ?DAC , ?ACB ? ?ABE , 所以 ?AHC ∽ ?AEB ,
B O C H D E

…………2 分

A

AH HC ? BE ,即 AH ? BE ? AE ? HC …………10 分 所以 AE
即: AH ? BH ? AE ? HC . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 解:(Ⅰ)原式可化为 (x ? y ) ? 12x - 10,…………2 分
2 2

( x - 2) 2 ? y 2 ?


2 . 3 ……………4 分

(Ⅱ)依题意可设 Q(4 cos? ,2 sin ? ), 由(Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0) 。

QC ? ( 4 c o s - 2 ) ? 2?

42? i n s?

2 1 2 c o s ? ?1 6 c o s ? -

8

2 2 ? 2 3( cos ? - )2 ? 3 3 ,……………6 分
QC min ? 2 6 3 ,…………8 分 6 3 .…………10 分

所以

PQ min ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
·11·

解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2

x -1 ? 1- x2
……………2 分

由 x -1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2
2

2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ……………5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 令 由

x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空.
,即

h( x) ? x - 1 ? x ? 3

h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m
,所以 h( x) min ? 4 ,

,…………8 分

x -1 ? x ? 3 ? x -1- x - 3 ? 4

所以 m ? 4 .………………10 分

·12·


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