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2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元检测(B卷)新人教A版选修2-1


第二章

圆锥曲线与方程(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( ) A. C. + =1 81 72

x2 x2

y2

y2

B. + =1 81 9

x2 x2

y2

(

+ =1 D. + =1 81 45 81 36 2.平面内有定点 A、B 及动点 P,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3.设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=ax 的焦点坐标为( ) a 1 ? ? ? ? A.? ,0? B.?0, ? ?2 ? ? 2a? 1? ?a ? ? C.? ,0? D.?0, ? 4 4 a? ? ? ? 4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ) 2 2 2 2 A.x +y =2 B.x +y =4 2 2 2 2 C.x +y =2(x≠±2) D.x +y =4(x≠±2)

y2

x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标是 a b
( ) A.(± 3,0) C.(± 5,0) B.(0,± 3) D.(0,± 5)

x2 y2 6.设椭圆 2+ 2 =1 (m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1, m m -1
则椭圆的离心率为( 2 1 A. B. 2 2 ) C. 2-1 2 3 D. 4

x2 y2 7.已知双曲线的方程为 2- 2=1,点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的 a b 右焦点 F2,|AB|=m,F1 为另一焦点,则△ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 2 8.已知抛物线 y =4x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到直线 3x-4y+9=0 的 距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是( )
12 6 5 B. C.2 D. 5 5 5 2 9. 设点 A 为抛物线 y =4x 上一点, 点 B(1,0), 且|AB|=1, 则 A 的横坐标的值为( ) A.-2 B.0 C.-2 或 0 D.-2 或 2 2 10.从抛物线 y =8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线 A.
1

的焦点为 F,则△PFM 的面积为( ) A.5 6 B.6 5 C.10 2 D.5 2 2 11.若直线 y=kx-2 与抛物线 y =8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标 为 2,则 k 等于( ) A.2 或-1 B.-1 C.2 D.1± 5 12. 设 F1、 F2 分别是双曲线 - =1 的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF 1 · PF 2 5 4 =0,则| PF 1 + PF 2 |等于( ) A.3 B.6 C.1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 D.2 9

x2 y2

7

8

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 .以等腰直角△ ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 ____________. 2 14.已知抛物线 C:y =2px (p>0),过焦点 F 且斜率为 k (k>0)的直线与 C 相交于 A、B 两点,若 AF =3 FB ,则 k=________. 15. 已知抛物线 y =2px (p>0), 过点 M(p,0)的直线与抛物线交于 A、 B 两点, 则 OA · OB =________. 2 16.已知过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF| =________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) x2 y2 5 17.(10 分)求与椭圆 + =1 有公共焦点,并且离心率为 的双曲线方程. 9 4 2
2

2

18.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y =1 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,求 4 弦 AB 的长.

x2

2

19.(12 分)已知两个定点 A(-1,0)、B(2,0),求使∠MBA=2∠MAB 的点 M 的轨迹方程.

3

20.(12 分)已知点 A(0,-2),B(0,4),动点 P(x,y)满足 PA · PB =y -8. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+2 交于 C、D 两点.求证:OC⊥OD(O 为原点).
2

21.(12 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且 5 直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

2

22.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物
4

1 2 2 5 线 y= x 的焦点,离心率为 . 4 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 交 y 轴于点 M, 若 MA =m FA ,

MB =n FB ,求 m+n 的值.

第二章 圆锥曲线与方程(B) 1.A [2a=18,∵两焦点恰好将长轴三等分, 1 ∴2c= ×2a=6,∴a=9,c=3, 3 2 2 b =a -c2=72, 故椭圆的方程为 + =1.] 81 72 2.B [点 P 在线段 AB 上时|PA|+|PB|是定值,但点 P 轨迹不是椭圆,反之成立,故选 B.] 3.D 4.D [P 在以 MN 为直径的圆上.] 5.A 6.B [2a=3+1=4.∴a=2, 2 2 又∵c= m - m -1 =1, c 1 ∴离心率 e= = .] a 2 7.B [∵A,B 在双曲线的右支上,∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|+ |AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a,|BF1|+|AF1|=4a+m, ∴△ABF1 的周长为 4a+m+m=4a+2m.] 8.A

x2

y2

[如图所示过点 F 作 FM 垂直于直线 3x-4y+9=0,当 P 点为直线 FM 与抛物线的交点 |3+9| 12 时,d1+d2 最小值为 = .] 5 5

5

9.B [由题意 B 为抛物线的焦点.令 A 的横坐标为 x0,则|AB|=x0+1=1,∴x0=0.] 10.A 11.C [由?
? ?y=kx-2 ?y =8x ?
2

消去 y 得,

k2x2-4(k+2)x+4=0, 2 2 故 Δ =[-4(k+2)] -4k ×4 =64(1+k)>0, k+ 解得 k>-1,由 x1+x2= =4, k2 解得 k=-1 或 k=2,又 k>-1,故 k=2.]
→ → → → 12.B [因为PF1·PF2=0,所以PF1⊥PF2, → 2 → 2 2 2 则|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =36, → → 2 → 2 → → → 2 → → 故|PF1+PF2| =|PF1| +2PF1·PF2+|PF2| =36,所以|PF1+PF2|=6.故选 B.] 2 13. 或 2-1 2 解析 设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,半焦距为 c,当以两锐角顶点为焦点时, 因为三角形为等腰直角三角形,故有 b=c,此时可求得离心率 e= = 2 ;同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时, 2 设直角边长为 m,故有 2c=m,2a=(1+ 2)m, c 2c m 所以,离心率 e= = = = 2-1. a 2a + 2 m 14. 3 解析 设直线 l 为抛物线的准线,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足,过 |AE| → B 作 BE 垂直于 AA1 与 E, 则|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|, 由AF=3 FB , ∴cos∠BAE= |AB| 1 = , 2 ∴∠BAE=60°,∴tan∠BAE= 3. 即 k= 3. 2 15.-p 16.2 解析 设点 A,B 的横坐标分别是 x1,x2,则依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1+1=2, x1=1,直线 AF 的方程是 x=1,故|BF|=|AF|=2. 17.解 由椭圆方程为 + =1,知长半轴长 a1=3,短半轴长 b1=2,焦距的一半 c1 9 4 = a1-b1= 5, ∴焦点是 F1(- 5,0),F2( 5,0),因此双曲线的焦点也是 F1(- 5,0),F2( 5,0), 设双曲线方程为
2 2

c a

c b +c
2 2



c
2c



x2 y2

x2 y2 - = 1 (a>0 , b>0) , 由 题 设 条 件 及 双 曲 线 的 性 质 , 得 a2 b2
?a=2 ? ? ?b=1

c= 5 ? ?c =a +b ? c 5 ? = ?a 2
2 2

2

,解得?



6

故所求双曲线的方程为 -y =1. 4 18.解 设 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2). 2 2 2 由椭圆的方程知 a =4,b =1,c =3, ∴F( 3,0). 直线 l 的方程为 y=x- 3.① 将①代入 +y =1,化简整理得 4 5x -8 3x+8=0, 8 3 8 ∴x1+x2= ,x1x2= , 5 5 ∴|AB|= = 1+1
2

x2

2

x2

2

x1-x2

2



y1-y2

2

8 8 ?8 3?2 ? ? -4×5=5. 5 ? ?

19.解 设动点 M 的坐标为(x,y). 设∠MAB=β ,∠MBA=α ,即 α =2β , 2tan β ∴tan α =tan 2β ,则 tan α = .① 2 1-tan β (1)如图(1),当点 M 在 x 轴上方时,tan β =
2 2

y y ,tan α = , x+1 2-x

将其代入①式并整理得 3x -y =3 (x>0,y>0); (2)如图(2),当点 M 在 x 轴的下方时, -y -y tan β = ,tan α = , x+1 2-x 2 2 将其代入①式并整理得 3x -y =3 (x>0,y<0);

(3)当点 M 在 x 轴上时,若满足 α =2β ,M 点只能在线段 AB 上运动(端点 A、B 除外), 只能有 α =β =0. 2 2 综上所述,可知点 M 的轨迹方程为 3x -y =3(右支)或 y=0 (-1<x<2). 20.(1)解 ∵A(0,-2),B(0,4), → → ∴PA=(-x,-2-y),PB=(-x,4-y). → → 2 2 则PA·PB=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=x +y -2y-8. 2 2 2 ∴y -8=x +y -2y-8, 2 ∴x =2y. 2 (2)证明 将 y=x+2 代入 x =2y, 2 2 得 x =2(x+2),即 x -2x-4=0, 且 Δ =4+16>0, 设 C、D 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则有 x1+x2=2,x1x2=-4. 而 y1=x1+2,y2=x2+2, ∴y1y2=(x1+2)(x2+2) =x1x2+2(x1+x2)+4=4,

7

∴kOC·kOD= · =

y1 y2 y1y2 =-1, x1 x2 x1x2

∴OC⊥OD. 2 21.解 (1)将(1,-2)代入 y =2px, 2 得(-2) =2p·1,所以 p=2. 2 故所求的抛物线 C 的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. ? ?y=-2x+t, 2 由? 2 得 y +2y-2t=0. ?y =4x ? 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= 5 5

|t| 1 可得 = ,解得 t=±1. 5 5 1 1 因为-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 22.解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). 抛物线方程可化为 x =4y,其焦点为(0,1), 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1. c a2-b2 2 5 由 e= = = . a a2 5 得 a =5,所以椭圆 C 的标准方程为 +y =1. 5 (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x -2),代入方程 +y =1, 5 2 2 2 2 得(1+5k )x -20k x+20k -5=0. 2 2 20k 20k -5 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+5k 1+5k → → 又MA=(x1,y1-y0),MB=(x2,y2-y0),
2 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

FA =(x1-2,y1), FB =(x2-2,y2).
→ → ∵MA=m FA ,MB=n FB , ∴m= ,n= , x1-2 x2-2 2x1x2- x1+x2 ∴m+n= , 4- x1+x2 +x1x2 2 2 40k -10-40k 又 2x1x2-2(x1+x2)= 2 1+5k 10 =- 2, 1+5k 4-2(x1+x2)+x1x2

x1

x2

8

40k 20k -5 -1 =4- 2+ 2 = 2, 1+5k 1+5k 1+5k ∴m+n=10.

2

2

9


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