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2.1.2椭圆的简单几何性质教案

时间:2017-08-08


2.1.2

椭圆的简单几何性质

◆ 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、 离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解 椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复

习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意 通过对椭圆的标准方程的讨论, 研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究 方法的培养. ①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围; ②由方程的性质得 到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴 的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.1.2 椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和 位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质

y2 x2 ①范围:由椭圆的标准方程可得, 2 ? 1 ? 2 ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同理 b a
可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭 圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点 叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴 叫做长轴,较短的叫做短轴; ④ 离 心率 : 椭 圆的 焦 距与 长 轴长 的比 e ?

c 叫 做 椭 圆的 离 心率 ( 0 ? e ? 1 ) , a

, ?当e ? 1时,c ? a,b ? 圆形扁 ?椭 图 越

?0

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ?椭圆越接近于圆

(iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用椭圆的长轴、 短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

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解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦 点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ?

5, b ? m , c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5

,得

m ? 3 ; ② 当 焦 点 在 y 轴 上 , 即 m ? 5 时 , 有 a ? m , b ? 5, c ? m ? 5 , ∴
m?5 m ? 10 25 ?m? . 5 3

例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个 焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.
解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的 a 2 b2

值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上 在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 MF ?

?

2 x ?4? ? y , 到 直 线 l : x ? 2

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: 《几何画板》 (用 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c, 0 ? 的距离和它到定直线 l : x?

a2 的距离比是常数 c

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a2 c a ? c ? 0 ? , M 的轨迹方程是椭圆. 则点 其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点, 定直线 l : ? x e? ? c a
相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c, 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

a2 . c

◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能 直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立 直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学 生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要 求近似计算的一定要按要求进行计算, 并按精确度要求进行, 没有作说明的按给定的有关量 的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养学生学习数学的 兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力: 通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径.

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