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基本不等式 教案


《基本不等式》教案
齐阿芳 教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A 版) 》必修 5 课题:3.4 基本不等式 课时:1 课时

一、教材分析
1.本节教材的地位和作用 “基本不等式” 是必修 5 的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面) 。它是 在学完“不等式的性质” 、 “不等式的解法”及“线性规划”的基

础上对不等式的进一步研究.在不等式的 证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等 重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。 2.教学目标 (1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。 (2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。 (3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发 学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 3.教学重点、难点 根据课程标准制定如下的教学重点、难点 重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。 难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。

二、学生学情分析
学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识,掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时, 高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力 .这些都为学习本节 内容奠定了基础. 在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法,但对于用不等式模型 来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难,一时很难接受;从重要不等式到基本不等 式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数,很不好理解;对于变量存在和或者积为定值也需 仔细观察,在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外,教材中提出探究基本不 等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力,而且图形中线段间的关系也比较隐蔽,不易被发现 . 因此,我以为本节课的教学难点为:从不同角度探索基本不等式的证明,能利用基本不等式的模型求解函 数最值.

三、教学策略分析
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的引导下,以学生的自主探究与合作交流 为前提,以问题为导向设计教学情境,以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容,为学生提供自由 表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步提高学生发现问 题、探索问题、解决问题的能力.

四、教学过程设计
1.创设情境 【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程. (请学生在学案上课前完成:

? S大正方形 ? 4S直角三角形 ? S小正方形
1 2 ? c 2 ? 4 ? ab ? ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 .) 2
【思考 1】在弦图中,由面积间的相等关系,得到了勾股定理这一经典等式.然而,相对关系与不等 关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢? ( 生 1: S大正方形 ? 4S直角三角形 ,得 a ? b ? 2ab ;
2 2

生 2: S小正方形 ? 0 ,得 ?a ? b? ? 0 .)
2

【归纳】对于两直角边 a、 b ,有 a ? b ? 2ab .
2 2

【思考 2】上式中何时等号成立?
2 2 2 2 (请学生说明:当 a ? b 时, a ? b ? 2ab ;当 a ? b , a ? b ? 2ab .)

【归纳】当且仅当 a ? b 时,等号成立. 【探究 1】上式对正实数是成立的,那么对任意实数 a、 b ,上式都成立吗? (请学生自主探究,用“比较法”证明.强调 a ? b 和 a ? b 两种情况,说明“当且仅当”的含义.)
2 2 【归纳】对任意实数 a、 b ,有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立.

2.基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2

【引入】当 a ? 0, b ? 0 时,在上式中用 a 代替 a , b 代替 b 即可得到:

a ? b ? 2 ab ? a ? 0, b ? 0 ?
【说明】通常我们把上式写作

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) ,称为基本不等式,本节课我们就来研究基 2

本不等式.(引入课题并板书) 【思考 3】你能否证明基本不等式? (请学生思考完成.

a?b 1 ? ab ? 2 2 生 1: (比较法) a?b ? ? ab 2 ?
生 2: (综合法)

?

a? b

?

2

?0
当且仅当 a ? b 时,等号成立;

?

?

a? b

?

2

?0

当且仅当 a ? b 时,等号成立;

? a ? b ? 2 ab

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a?b ? ab 2 ?只要证 ? ? a ? b ? 2 ab

?要证 ? ?

生 3: (分析法) ? 只要证 ? ? a ? b ? 2 ab ? 0

?只要证 ? ? ?

a? b

?

2

?0

上式显然成立。 ? a ? b ? 2 ab , 当且仅当a=b时,等号成立.
请学生展示不同的证明方法.生 3 证明有错误,关键词: “要证??只需证??” ) 【过渡】实际上,在许多图形中都蕴含着基本不等式. 【探究 2】如图,取线段 AB ? a ? b ,其中 AC ? a, BC ? b ,以 AB 为直径做圆 O,过点 C 做垂直 于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD. ①图中你能找到长度为

a?b 与 ab 的线段吗? 2

它们分别有什么几何意义呢? ②移动点 C 在线段 AB 上的位置,你有什么结论呢? (请学生合作探究完成,并展示说明: 生 1:直角三角形中,斜边大于直角边; 生 2:在直角三角形中,斜边上的中线不小于斜边的高. 生 3:在圆中,半径不小于半弦.) 【归纳】在圆中,半径不小于半弦. 【思考 4】基本不等式的代数意义是什么呢? 【说明】我们通常把

a?b 叫做两个正数的算术平均数, ab 叫做两个正数的几何平均数. 2

【归纳】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.应用举例 1 【例 1】证明: (1) a+1 ? 2 a (a ? 0) (2) x+ x (学生自己证明) 【例 2】若 x>0 ,求 x ?

? 2(x>0)

1 的最小值,以及取最值时 x 的值.(变式:若 x<0 呢?) 2x 8 【变式】若 x>2 ,求x ? 的最小值,以及取最值时 x 的值. x?2 b a 【练习】 (1)若 a,b 同号,则 ? ? 2 (2)P100 练习 1、2 a b
4.课堂小结 【思考 5】 (1)本节课我们学习的主要内容是什么? (2)在应用基本不等式时,需要注意哪几点? (3)在本节课的学习中,运用了哪些数学思想方法? (请学生发言,并相互补充,教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法.) 5.作业布置 (1)课本 100 页习题 A 组第 1,2 题; (2)课后作业:请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何解释,整理并相互交流.

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