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解析几何的三大难点及突破策略


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— —2 数学通讯 — 上半月 ) 0 1 4 年第 1, 2期(              · 辅教导学 ·

解析几何的三大难点及突破策略
金   明   贺育林
( ) 广东省广州市真光中学 , 5 1 0 3 8 0

解析几 何 是 用 代 数 方 法 研 究 几 何 问 题 ,

其核 心思想是数形结合 . 解析几何问题具有综合性强、 运算量大 、 题目灵活多变 等 特 点 , 常用来考查学生 的能力 , 历来都是高考命题的热点内容 . 通过对 解 析 几 何 综 合 性 问 题 的 求 解 , 可联结 函数 、 三角 、 向量 、 不等 式 等 知 识 点 , 增强知识的联 系性 , 强 化 对 数 学 知 识 结 构 的 认 识, 提高分析问 解决问 题 的 能 力 . 解 析 几 何 综 合 题 的 求 解, 不 题、 仅要求学生有很强的思 想 性 和 综 合 运 用 知 识 的 基 础以及运算能力 , 还需要 有 坚 强 的 意 志 力 . 因而解 析几何是培养 学 生 能 力 的 重 要 素 材 , 学好解析几 何对学生今后的成长起到重要的作用 . 很多学 生 对 于 解 析 几 何 综 合 问 题 几 乎 到 了 “ 谈虎色变 ”的地步 . 究其原因 , 可以概括为三个难 “ ( 、 “ ( 想不 到 ” 即没有解题思路) 消 不 去” 即设 点: ( 定参数消不了 )和 “ 算不对 ” 即运算出错 ) 针对这 . 教师应给予学 生 哪 些 帮 助 呢? 笔者作了 三大难点 , 旨在抛砖引玉 . 一些初步的探讨 , , 一、 构建 “ 思维导图 ” 解决 “ 想不到 ”问题 “ 想不到 ”是学生解决解析几何问题存在的普 学生遇到解析几 何 题 不 理 解 题 意 , 找不到 遍问题 . 解题思路 , 其原因是多方 面 的 , 客观原因是解析几 何综合题包含的信息量大 , 既 有 几 何 关 系, 又有代 两个领域的联系 隐 蔽 性 强 , 主观原因是学 数关系 , 生没有掌握解 析 几 何 的 思 维 特 征 与 基 本 思 想 , 对 代数关系不能够准确转化, 于题目中的几何关系 、 想不到条件和条件 、 条件和结论之间的联系 . 为此 , 教师应帮助学生审好题 , 找到条件与结 , 论之间的联 系 点 , 建构“ 思维导图” 实现“ 代数关 系 ”与 “ 几何关系 ”的互化 .

的圆与直线 x -y + 槡 6 = 0 相切 . ( )求椭圆 C 的方程 ; 1 ( ) 设 P( ) , 2 4, 0 A、 B 是椭圆C 上 关 于x 轴 对 称 的任 意 两 个 不 同 的 点 ,连 结P B 交 椭 圆C 于 另 一 点 证明 : 直线 A E, E 与x 轴相 交于定点 Q.


图1

学生拿到 题 目 后 , 很快能求出椭圆 C 的方程
2 x y ) , 再设 P B 的方程为y = k( x -4 + = 1, 4 3

) , x -4 y = k( 烄 2 2 由烅 x 得 y + =1 烆 4 3
2 2 2 2   ( ) 4 k x 2 k x +6 4 k 2 = 0, +3 -3 -1 2 2 2 2 ) -4 ( ) ( ) 从而 Δ = ( 2 k 4 k 6 4 k 2 -3 +3 -1

x 1 +x 2 = > 0,

2 2 3 2 k 6 4 k 2 -1 , x x . 1 2 = 2 2 4 k +3 k 4 +3

之后 , 就此搁浅 , 学生不清楚为什么要联立方 程, 只是单纯的记忆和模仿 . ( 以下是教师与学生的对话 ) 师: 你怎么想到要联立方程组? , 生: 根据条件 “ 直线 P B 交椭圆于 B 、 E 两点 ” 要联立方程组 . 师: 很好 , 求 判 别 式、 利用韦达定理的目的是 什么? …… 生: ( 师: 我们回头看看题目, 本题让我们求什么? 意 图: 养成“ 从结论入手” 的分析习惯, 看看求什么) 生: 要证明直线 A E 与x 轴相交于定点 Q . 师: 刚才由方程组得到的坐标关系与要证明 ( 的结论有 联 系 吗? 意 图: 学会寻找条件与结论的 联系 ) …… 生:

x y ( ) 例 1  已知椭圆C: 的 2 + 2 =1 a >b>0 a b
离心率为 1 , 以原点为圆 心 , 椭圆的短半轴为半径 2





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师: 我们再看看已知条件和结论 , 能否建立其 联系 . ( 教师引导学生 建 立 如 下 “ 思 维 导 图” 思维导 图可实现条件 与 结 论 的 联 系 , 几何关系与代数关 系的转换 )

结论的联系 ; ( )分析几何条件的本质特性 , 选择适当的代 2 数形式来表示 , 通常和斜率 、 中点 、 距离有关 ; ( ) “ , 找 转 化 关 系 ,构 建 一般 问 题 特 殊 化” 3 思路 . 二、 合理引参 , 解决 “ 消不去 ”问题 引参 、 消参是解决解析几何的基本策略 , 设定 的参数消不去是学生解题时经常遇到的障碍 . “ 消不去 ” 的客观原因是 “ 坐标法 ” 本身涉及字 母符号较多 , 运算过程复 杂 . 主观原因是几何问题 代数化不清淅 , 如不会从几何图形或从所给的方 程和一些数据 数 值 中 挖 掘 几 何 性 质 , 导致代数化 计算量增大 . 过于繁琐 , 为此 , 教师应帮助学生去分析题意的基础 , 选 定好参数 , 总结引参 、 消参的基本方法 . 例2  ( 已知椭圆C 2 0 1 3年广州一模 ) 1 的中心 ) 、 在坐标原 点 , 两个焦点分别为 F 0 F2( 2, - 2, 1( ) , )在椭圆 C 点 A( 过点 A 的直线l 与抛 0 2, 3 1 上,
2 物线 C 抛物线 C x C 两点 , =4 y 交于 B 、 2: 2 在点 且l B、 C 处的切线分别为l l 1、 2, 1 与l 2 交于点 P.

建立 “ 思维导图 ”后 , 解题思路一目了然 , 思维 难点就得到了突破 . 以下具 体 求 解 过 程 由 学 生 整 理 , 提供参考答 案如下 : ) , 设直线 P B 的方程为y = k( x -4 ) , x -4 y = k( 烄 2 2 由烅 x 得 y + =1 烆 4 3
2 2 2 2   ( ) 4 k x 2 k x +6 4 k 2 = 0. +3 -3 -1

( )求椭圆 C 1 1 的方程 ; ( ) 是否存在满足| 2 P F1| P F2|=|A F1 | + | 若存在 , 指出这样的点 P 有几个 F2| 的点 P? + |A ( ; 不必求出点 P 的坐标 ) 若不存在 , 说明理由 . ) , 分析   对于 ( 大多数学生很容易用待定系 1
2 2 x y ( 数法或定义法求出椭圆 C 当 + =1 1 的方程 1 6 1 2

, , , 设 B( 则 A( 从而 x E( x x -y y y 1, 1) 2, 2) 1, 1)
2 2 2 2 ) -4 ( ) ( ) 有 Δ= ( 2 k 4 k 6 4 k 2 x -3 +3 -1 1 >0, 2 2 3 2 k 6 4 k 2 -1 , x x . 1 2 = 2 2 4 k +3 4 k +3

+x 2 =

然两种方法运 算 量 的 大 小 不 同 , 用定义法运算量 ; ) , 对于 ( 先用 “ 思维导图 ”理清思路 , 如下 : 较小 ) 2

y 2 +y 1 ( 直线 A E 的 方 程 为: x- y -y 2 = x 2 -x 1 x y 2( 2 -x 1) , 令 y = 0, 得x =x x . 2) 2- y 1 +y 2 ( ) , ( ) , 又y 代入并整 x x y 1 =k 1 -4 2 =k 2 -4
理得 : ( 2 x x x 1 2 -4 1 +x 2) x 1 +x 2 -8 学 生由| P F1| P F2|=| A F1| A F2|易 + | + |
2 x2 知|P F1| F2|=8, P 在椭圆 +y =1上 , + |P 1 6 1 2

x=

2 2 1 2 8 k 4 1 2 8 k -2 - 2 2 k +3 4 k +3 4 = = 1. 2 3 2 k -8 2 4 k +3

) 所以 , 直线 A E 与x 轴相交于定点 Q ( 1, 0 . 说明   解决学生 “ 想不到 ”的常用策略是 : ( )画 “ , 思维导图 ” 找 转 化 关 系, 构建条件与 1

而对于已知条件 : 过点 A 的直线l 与抛物线 C2 交 于 B、 抛物线C C 两点 , C 处的切线为 l l 2 在点 B、 1、 2

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且l 易 产 生 纠 结, 是设直线的方 1 与l 2 交 于 点 P, 还是设 B、 程, C 两点的坐标? 此时 , 应引导学生抓主要矛盾 : 因为结论要求 探讨是否存在P 点 , 且l 故应设B、 l 1与 2 交于 P 点 , 且引入参数应尽 可 能 少 , 这样就能 C 两点的坐标 , 减少运算量 .
2 2 x x 1 2 , , 设 B( 由导数的几何意义 , x C( x 1, ) 2, ) 4 4

耐心和恒心 . 运算能 力 是 学 生 的 基 本 能 力 . 教师要以解析 几何作载体训 练 学 生 的 运 算 能 力 , 要帮助学生明 晰算理 , 培 养 求 简 意 识, 让 学 生 树 立 信 心, 培养耐 全面提高学生的素质 . 心和恒心 , 例 3  ( 2 0 0 9年全国 Ⅰ 卷 )如 图 2 所 示 , 已知抛物线
2 2 2 ( ) E: x-4 +y y =x 与圆 : 2 )相 交 于 A, r>0 B, C, =r (

易得过 B、 C 的切线l l 1、 2 的方程为 :

l y= 1:

2 2 x x x x 1 2 1 2 x- , l y = x- . 2: 2 4 2 4

D 四个点 .
( Ⅰ )求r 的取值范围 ; ( B C D的 Ⅱ )当四边 形 A
图2

解方程组得两切线的 交 点 P 的 坐 标 为 : x P = 1( 1 , x x x y 1 +x 2) P = 1 2. 2 4 , 此时还有两个参数 x 消不去 ” 怎么办? x 1、 2“ 分析条件可知 : 还有条件 “ 过点 A 的 直 线l 与
2 抛物线C2 : 为此可 x C 两点 ”未用 , =4 y 交于 B 、

求对角线 A 面积最大时 , C, B D 的交点 P 的坐标 . 学生在解决第 ( 易出现如下解法 : . Ⅰ )问时 ,
2 2 2 2 ) 将y 化简得 : x -4 = x 代入 ( +y =r , 2 2 x x +1 6-r -7 =0 ① 2 2 ) -4 ( 方 程有解 , 故 Δ= ( 解 1 6- r) -7 >0,

有如下策略 . 1 2 ?→ ?A → 2 ) , 策略一   B C=( x x B 2 -x 1, ( 2 -x 1) 4
2 x 1 , ( 由 A、 2-x 3- ) B、 C 三点共线知 : x =( 1, 2- 4 2 x 1 2 1 2 ( ( , ( 化简得 : x 3- ) x x 2-x 2 x = ( 1) 1) 1 2- 1) 4 4

1 5 2 得r . > 4 这个解法是错误的 , 究其原因是算理不明 , 转
2 ( 化不等 价 . 事 实 上, 抛 物 线 E: x- y = x 与 圆: 2 2 2 ) 4 +y =r 有四个交点的充要条件是方程 ① 有

将x x 2. +x -x y y =x- 2) 1 2 =1 P, P 代入上式得 : 即 P 点在直线y = x -3 上 . 3; ) 策略二   设过 A( 的直线l的方程为 : 2, 3 y- ) , x -2 y -3 = k( 2 ) 由烄 得: 3 =k( x-2 . x k x -4 烅 2 x 4 = y 烆 则x k-1 2 = 0, k, x x k-1 2. +8 1 +x 2 =4 1 2 =8 、 : ; 将x 代入得 即 点在直线 y = x-3 P y =x P y P -3 上 . 由此 , 参数x x P 点 既 在 直 线y 1、 2 就 消 去 了, 又在椭圆x +y = 1 上 . 要判断 P 点 = x-3 上 , 1 6 1 2 是否 存 在 ,只 需 要 判 断 直 线 与 椭 圆 是 否 有 交 点 即可 . 由上例分析知 , 解决 “ 消不去 ”的策略是 : 合理 地引入参数 , 设 而 不 求, 用 足 题 目 所 给 条 件, 找条 件与结论的联系 . 三、 明晰算理 , 解决 “ 算不对 ”问题 , 学生 “ 算不 对 ” 一部分原因是基础知识不扎 实, 计算时丢 三 落 四 , 基 本 的 代 数 式 运 算 不 过 关, 另一个重要原因是算理 不 清 楚 , 再 就 是 缺 乏 信 心、
2 2

两个不等的正根 x 由此得 : x 1, 2,
2 2 ) ( )> 0, 1 6-r Δ= ( -7 -4 烄 , x 1 +x 2 =7>0 烅



2 x x 6-r 1 2 =1 > 0,

5 2 解得1 又r > 0, 所以r 的取值范 6, <r < 1 4 1 5, ) 槡 围是 ( 4. 2 学生在 解 决 第 ( 会 遇 到 以 下 障 碍: Ⅱ )问 时 , ( ) ( ) 1 A, B, C, D 四点的坐标如何设? 2 A C 与B D的 ( ) 交点 P 的坐标如何求? 四边形 A 3 B C D 的面积何 时最大?
2 事实上 , 故 A, B, C, D 在抛物线 E : y =x 上,

、 、 、 可设 A( x x B( x x C( x x -槡 -槡 1, 1) 1, 1) 2, 2) 槡 ( 这 样 设 参 的 优 点 是: 利用了图形的 D( x x . 2, 2) 槡 ) 对称性且参数尽可能少 .

A C 的方程为 : x y- 槡 1 = x x - 槡 2 - 槡 1 ( x -x 1) x x 2- 1


B D 的方程为 :

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x x 2 + 槡 1 槡 ( x x -x y+ 槡 1 = 1) x 2 -x 1
) P( x x 0 . 1 2, 槡

“ 算不对 ”的策略为 : ② ( )明晰算理 , 注 意 量 与 量 之 间 的 关 系, 注意 1 等价转化 ; ( )借助几何直观 , 把 几 何 条 件 代 数 化, 尽量 2 减少参变量个数 ; )抓 好 基 础 知 识 与 基 本 运 算 , ( 培养基本技 3 由于解 析 几 何 综 合 题 涉 及 到 函 数 、 不 等 式、 向 能. 量与三角等基 础 知 识 , 要求学生综合运用这些知 识来解决问题 , 基础知识不扎实会成为解题障碍 . ( )要 培 养 学 生 的 意 志 力 , 教育学生要有信 4 心、 耐心 、 细心与恒心 . 解 决 解 析 几 何 综 合 题, 需要 有“ 我能行 ”的信心 , 不能随意放弃 ; 遇到复杂的代 要有耐心 ; 运算 还 需 细 心 ; 同 时, 还要有不 数运算 , 达目的不罢休的恒心 . 参考文献 : [ ] ] 突出主体地位 追寻高效复习[ 数 1 J .   林婷 . , ( ) 下半月 ) 学通讯 ( 2 0 1 3 3 . [ ] ] 课堂教学应让学生尽情地“ 说 ”[ 2 J .   金明 . ( ) 中学数学 , 2 0 1 3 3 . [ ] 杨平 , 王树文 . 利用学生解题时的纠 3   王文英 , ] 结点 , 做好解题教学[ 中学数学教学参 J . ( ) 考, 2 0 1 3 1, 2 . ( ) 收稿日期 : 2 0 1 3-0 9-0 4

联立 ①② , 可解得直线 A C 与B D 的交点为

2 设t= 槡 由( 知t= 槡 且0< x x 1 6-r Ⅰ) 1 2,

t<

7 . 2 由于 四 边 形 A B C D 为 等 腰 梯 形 ,因 而 其 面

积为

S=

1( · 2 x x |x     1 +2 2) 2 -x 1| 槡 槡 2

· x x |x =( 1 + 槡 2) 2 -x 1 |. 槡 ( ) 要求其最大值 , 有 两 大 障 碍: 有 两个参数 1 ( )含有根号与绝对值 . x x 2 1、 2; 可考虑先求 S 的最大值 .
2 2 2 [ ( S x x x x  槡 = ( 1 +x 2 +2 1 2) 1 +x 2) -

7 2 ) ( ) ( 4 x x 7+2 t 7-2 t 0 <t < ) . =( 1 2] 2 这样转化的目的是可用到 ( Ⅰ )的结论消去两 个参数 x x 1、 2 而变为一个参数 . 解题至此 , 很容易想到用导数来求其最值 , 具 体求解过程不详细叙述 , 留给读者完成 , 结论是 : 当t= 7 时 , 四边形 A 故所 B C D 的面积最大 , 6 7 ,) 求点 P 的坐标为 ( 0. 6 、 综合 以 上 例 题 的 求 解 过 程 , 解决“ 消 不 去”

给一组高考题 “ 卸妆 ”
杨玉阳
( ) 河南省杞县高级中学 , 4 7 5 2 0 0

审视很 多 高 考 试 题 , 往往是对某些简单的问 , , 妆饰 ” 一旦对 其 卸 了 “ 妆” 便还原了问 题的有意 “ 使 其 水 落 而 石 出, 不 难 求 解. 本文 题的本来面目 , 重现其原貌 . 对一组高考题卸妆还原 , 题1  ( 设正实 2 0 1 3年高考山东理科第1 2题 )

y取 2 数 x, 则当x z 满足x2 -3 x y, y -z = 0, y +4 z
2 1 2 的最大值为 得最大值时 , + - x y z (    )

9 ( A) 0. B) 1. C) . D) 3.    (    (    ( 4 题 2  ( 2 0 1 3 年高考湖北理 科 第 1 3 题 )设 x,


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