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山东省济南外国语学校11-12学年高二上学期期中考试 数学试题


济南外国语学校 2011-2012 学年度第一学期 高二期中考试数学试题(2011.11)
说明:本卷为发展卷,采用长卷出题、附加计分的方式。第Ⅰ,Ⅱ卷为必做 题,第Ⅲ卷为选做题,必做题满分为 120 分,选做题满分为 60 分。试卷的 1 ~ 2 页为第Ⅰ卷,试卷的 3 ~ 5 页为第Ⅱ卷,试卷的 6 ~ 7 页为第Ⅲ卷。考试时间 为 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,

共 48 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 12 小题,共 48 分) 1.已知数列{ a n }的通项公式是 a n =
1 10 1 6

n n ? 25
2

( n ? N * ),则数列的第 5 项为(
1 5 1 2



A.

B.

C.

D.

2.在△ABC 中, a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边, A ? 75 ? , C ? 45 ? , b = 2 ,则 此三角形的最小边长为( A.
6 4


2 2 3

B.

C.

2 6 3

D.

2 4

3.在等差数列{ a n }中,已知 a 1 ? 2 , a 2 ? a 3 ? 13 , 则 a 4 ? a 5 ? a 6 等于( A.40 B.42 ) B.若 a2>b2,则 a>b D.若 a< b,则 a<b C.43 D.45



4. 下列说法中正确的是( A.若 ac>bc,则 a>b 1 1 C.若 > ,则 a<b a b

5. 在 ? ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc , A 等于 则 ( A. 120
?



B. 60 ?

C. 45 ?

D. 30 ? )

6.已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 18 ? a 5 ,则 S 8 等于( A.36 B.54 C.72 D.18

7. 不等式 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 的解集是(



A.R

B. ?

C. ( 0 , ?? )

D. ( ?? , 0 ) ) D.2 )
3 ?1 2

8. 在等比数列{ a n }中,若 a 1 ? a 10 ? ? 2 ,则 a 4 ? a 7 的值为( A.-4 B.-2 C.4

9. 在 ? ABC 中, a ? 2 , A ? 30 ? , C ? 120 ? ,则 ? ABC 的面积为( A. 2 B. 2 2 C.
3

D.

10. 已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( ) A .15 B.17 C.19 D .21

11.在一座 20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60 ? ,塔底的俯角为 45 ? , 那么这座水塔的高度是( A. 20 (1 ?
3 3 )

)m C. 10 ( 6 ? 2 ) ) B. y ? sin x ?
4 sin x

B. 20 ( 6 ? 2 ) (

D. 20 (1 ? 3 )

12. 下列函数中最小值为 4 的是 A. y ? x ?
x

4 x
?x

(0﹤x﹤ ? )

C. y ? 3 ? 4 ? 3

D. y ? lg x ? 4 log x 10 第Ⅱ卷(非选择题,共 16 分)

二、填空题(每小题 4 分,共 4 小题,共 16 分) 13.函数 f ( x ) ? log 2 ( x 2 ? x ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为
4 1

. .

14.在等差数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 , d ? 2 , S n ? 9 ,则项数 n=

15. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB = 2,则角 A 的大小为________
?x ? 1 ? 满足 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ?x ? y ? 2 ?

16.设实数 x.y

则 x+2y 的最小值为

.

三、解答题(写出详细解题步骤,共 56 分)

17.(10 分)已知:在 ? ABC 中, A ? 120 ? , a ? 7 , b ? c ? 8 . (1)求 b,c 的值;(2)求 sin B 的值.

18.(10 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S n ? n 2 ? 7 n ( n ? N ? ) . (1)求数列 { a n } 通项公式并证明 { a n } 为等差数列. (2)求当 n 为多大时, S n 取得最小值.

19. 分)已知:实数 x,y (8

? 5 x ? 3 y ? 15 ? 满足条件 ? y ? x ? 1 ?x - 5y ? 3 ?

,设 z=3x+5y,求 z 的最大值和

最小值.

20.(8 分)已知等比数列{an}中, a 1 ? a n ? 66 , a 2 ? a n -1 ? 128 , S n ? 126 ,求项数 n 和公比 q 的值.

21.(8 分) 关于 x 的方程 x 2 ? ( m ? 3 ) x ? m ? 3 ? 0 有两个不相等的正实数根,求 实数 m 的取值范围。

22. (12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ? ) (1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)求通项公式 a n ;(3)设 b n ? n ,求 ?a n b n ? 的前 n 项和 T n .

第Ⅲ卷(发展题,共 60 分) 四、填空题(每小题 4 分,共 4 小题,共 16 分) 23. 已知 a,b 为正实数,且 3a+2b=2,则 ab 的最大值为
24. 已知 ? ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? 2 , b ? 3 , cos B ? 为 .
4 5

.
,则 si A 的值 n

25. a n 为等差数列,前 n 项和为 S n ,S 10 =5,S 20 =10,则 S 30 =

.

26. 不 等 式 ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2 对 一 切 x ? R 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

五、解答题(写出详细的解题步骤,共 4 题,共 44 分) 27. (10 分)在 ? ABC 中, A、 B 为锐角,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c , 且 a ? b ? 2 ? 1 , sin A ? (1)求 a , b 的值; (2)求角 C 和边 c 的值。
5 5 , sin B ? 10 10

28.(10 分) 设实数 x,y

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?

,求 3 x ? 4 y 的最小值.

29. (10 分) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .已知 S 3 与 S 4 的等比中项为 S 5 ,
3

1

1

1

4

5

且 S 3 与 S 4 的等差中项为 1,求 { a n } 的通项公式.
3

1

1

4

30. (14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a n 是 S n 与 2 的等差中项, 且 数列 {b n } 中, b1 ? 1 ,点 P ( b n , b n ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上。 (1)求 a 1 和 a 2 的值; (2)求数列 { a n } , {b n } 的通项公式 a n 和 b n ; (3)设 c n ? a n ? b n ,求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .

济南外国语学校 2011-2012 学年度第一学期 高二期中考试数学试题答案(2011.11)
一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.C

二、填空题 13. ? x | ? 1 ? x ?
? ? 1 2 或 1 ? ? x ? 1? 2 ?

14. 3

15. 30

?

16. -1

三、解答题

2 2 2 ? b ?c ?a 1 ? ? ? cos A ? 17.解: (1)根据题意 ? 2 bc 2 ?b ? c ? 8 ?

,?

? bc ? 15 ?b ? c ? 8

解得: ?

?b ? 3 ?c ? 5

或?
b

?b ? 5 ?c ? 3
? a sin A

(2)根据正弦定理
?b ? 3 ?c ? 5


?b ? 5 ?c ? 3
5 3 14

sin B

当?

时, sin B ?

3 3 14

,当 ?

时, sin B ?

18. 解: (1)? 1 ? 当 n ? 2 时,
a n ? S n ? S n ?1 ? ( n ? 7 n ) ? [( n ? 1) ? 7 ( n ? 1)] = 2 n ? 8
2 2

2 当 n ? 1 时, S 1 ? a 1 ? ? 6
? a n ? 2n ? 8 (n ? N )
?

?



? a n ? a n ? 1 ? ( 2 n ? 8 ) ? [ 2 ( n ? 1) ? 8 ] ? 2 ( n ? 2 , n ? N ) ? { a n } 为等差数列

?

(2)? a n ? 2 n ? 8 ? 0 ( n ? N ) 时,解得 n ? 4 ,
? 当 n ? 3或 n ? 4时 S n 取得最小值。

?

19. 解:画出二元一次不等式组所表示的区域,根据斜率的大小和图形得到 解得当 ?
? x ? ?2 ? y ? ?1

,则 z min ? ? 11

3 ? ?x ? 2 ? 解得 ? ,则 z max ? 17 ?y ? 5 ? 2 ?

20. 解:? {an}是等比数列
? a 2 ? a n -1 ? a 1 ? a n ? 128

? a 1 ? a n ? 66 ? ? ? a 1 ? a n ? 128

解得: ?

? a1 ? 2 ? a n ? 64

或?

? a 1 ? 64 ?a n ? 2

? a1 ? 2 a ? anq ? 当? 时,由 S n ? 1 得 q ? 2 ,n=6. 1? q ? a n ? 64

当?

? a 1 ? 64 ?a n ? 2

时,由 S n ?

a1 ? a n q 1? q

得q ?

1 2

,n=6.

21. 解:由条件知,m 满足
? ( m ? 3) 2 ? 4 ( m ? 3) ? 0 ? m ? 1或 m ? ? 3 ?? ? 0 ? ? ? 解得 ? m ? ? 3 ? x1 ? x 2 ? 0 ? ? ( m ? 3) ? 0 ?m ? ?3 ?x ? x ? 0 ? ( m ? 3) ? 0 ? 1 2 ? ?
? m 的取值范围 ?m | m ? 1}

22. 解: (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) 得 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)(n ? N )
?
?

?

a n ?1 ? 1 an ? 1

? 2 (n ? N )

?

? 数列 {a n ? 1} 成等比数列.

(2)由(1)知, {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 =2 为首项,以 2 为公比的等比数列
? an ? 1 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? 1
n n -1

?2

n

(3)? b n ? n

? a n ? b n ? n ( 2 ? 1)
n

? T n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ? a n b n

? 1( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1) ? 3 ( 2 ? 1) ? ? n ( 2 ? 1)
1 2 3 n

= 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? n ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) (
1 2 3 n

令 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? n ? 2
1 2 3

n

2S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? n ? 2
2 3 4

n ?1

两式相减 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n ? 2
1 2 3 n

n ?1

Sn ? 2

n ?1

( n ? 1) ? 2

? Tn ? 2

n ?1

( n ? 1) ? 2 ?

n ( n ? 1) 2

四、填空题 23.
1 6

24.

2 5

25. 15

26. a ? 2

五、解答题 27. 解: (1)由
a sin A ? b sin B

得a ?

?a ? 2b ?a ? 2 ? 解得 ? 2 b ,联立 ? ?a ? b ? 2 ? 1 ?b ? 1 ?
3 10 10 2 2

(2)? A,B 为锐角, cos A ?

2 5 5

, cos B ?

? cos C ? ? cos( A ? B ) ? ? cos A cos B ? sin A sin B =-

? C ? 135 ? c
2 2

?

? a ? b ? 2 ab cos C ? 5
2

? c ?

5
?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ?y ? 1

28. 解:根据图象 ?

解得 ?

, z min ? 13

29. 解:设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d.
( 由条件知 1 3 1 5 S 5) ?
2

1 3

S3 ?

1 4

S4

S3 +

1 4

S 4 =2

12 ? ? d (5 d ? 3 a1 ) ? 0 ?d ? 0 ? ?d ? ? 即? 解得 ? 或? 5 5d ? 2 ? a1 ? 1 ? 2 a1 ? ?a ? 4 2 ? ? 1
? an ? 1 或 an ? ?

12 5

n?

32 5

30.解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 解得 a1=2

∴Sn=2an-2

∴a1=S1=2a1-2,

a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4
∴an=2an-2an-1,

(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,又 Sn—Sn-1=an, ( n ? 2 , n ? N *)
an a n ?1

又 an≠0, ∴

? 2 ( n ? 2 , n ? N *) ,即数列{an}是等比数列

∵a1=2,∴an=2

n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, (3)∵cn=(2n-1)2
2

n

∴Tn=a1b1+ a2b2+·· anbn=1×2+3×2 +5×2 +·· ·· ··+(2n-1)2 ,
n n+1

2

3

n

∴2Tn=1×2 +3×2 +·· ··+(2n-3)2 +(2n-1)2 则
2 3

3

-Tn=1×2+(2×2 +2×2 +··+2×2 )-(2n-1)2 , ·
3 4

n

n+1

即:-Tn=1×2+(2 +2 +·· ··+2 )-(2n-1)2 , ∴Tn=(2n-3)2 +6
n+1

n+1

n+1

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