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清华实验高三理科数学综合卷


2012 年普通高考模拟练习卷 理科数学
命题:深圳清华实验学校 杨青 毛艳斌 李琳 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 M= y | y ? 2 , x ? R , N ? {x ? R | x 2 ? 4 ? 0} ,则图中阴影部分所 表示的集合是( A.

(??,2) ) B. [2,??) C. [1,2) ) D. (1,2)

?

x

?

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a, b ? R) 是纯虚(

A .充分不必要条件 C .充要条件

B .必要不充分条件 D .不充分不必要条件

3. 在各项均为正数的等比数列{ an }中,若 a5 ? a6 =27,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 等 于( ) A.12 B.10 )个。 C.15 D.27 log3 5

4.下列说法中正确的有(

2 (1)命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆命题为“若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ; 2 (2)对于命题 p : ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;

2

(3)若“ p ? q ”为假命题,则 p , q 均为假命题; (4)α,β 是二个不同的平面,若 ? // ? , m // ? ,则 m // ? ; A.0 B.1 C.2 5. 阅读下方的算法框图(图 2) ,输出的结果 S 的值为( A. 0 B. D.3 ) D. ?

3 2

C. 3

3 2

图2

6. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为 “ 伞数 ” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) A.120 个 B.80 个 C.40 个 D.20 个

1p ? 2 p ? 3 p ? 7. 已知和式 n P ?1
定积分表示为( A. )

? np

( p ? 0) 当 n→+∞时,无限趋近于一个常数 A,则 A 可用
1 p ?0 ( x ) dx
1

1 ?0 x dx
1

B.

?

1

0

x p dx

C.

D.

? (n)
0

1

x

p

dx

8.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间 的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ① 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ② 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④到 M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题有( A1 B2 )个 C3 D4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 是选做题,考生只能选 做一题, 若二题都做, 只计算前一题的得分.
4 2 3 4 5 9. 若 x(1 ? mx) ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,其中 a2 ? ?6

则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值为

.

? 10.在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 60 , AD 为 BC 边上的高, O 为 AD 的中

点,若 AO ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? 的值为 11 . 已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的点,设点 P 到抛物线的准线的距离为 d1 ,到
2

?x ? 3?2 ? ? y ? 3?2 ? 1上一动点 Q 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值是
12. 如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? a ? 0 ? 没有零点,则 a 的取值范围为
2

13.设集合 M ? {1,2,3,4,5,6} , S1 , S 2 ,?, S k 都是 M 的含两个元素的子集,且满足:对任意 的 S i ? {ai , bi } , S j ? {a j , b j } (i ? j, i, j ? {1,2,3,?, k} ,都有 min{

ai bi , } bi ai

a j bj ,则 k 的最大值是 ? min{ , } ( min{x, y} 表示两个数 x, y 中的较小者) bj a j



14. ( 坐标系与参数方程选做题 ) 已知圆的极坐标方程 ρ =2cosθ ,直线的极坐标方程为 ρ cosθ -2ρ sinθ +7=0,则圆心到直线的距离为_____ C 15.(几何证明选讲选做题) 如图,以 AB ? 4 为直径的圆与△ABC E F 的两边分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60 ,则 EF ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,80 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
sin A ? 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 16、已知向量 m ? sin A,1 与 n ? 3, 图 2

A

B

?

?

?

?

第 15 题

(1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

17. 一台设备由三大部件构成, 在设备运转中, 一天之内各部件需要调整的概率分别为 0.1、 0.2、0.3,假设各部件的状态相互独立。 (1)求一天之内恰有一个部件需要调整的概率; (2)求一天之内至少有两个部件需要调整的概率; (3)用 ? 表示一天之内需要调整的部件数,求 ? 的数学期望 。

18. 如图, 已知球 O 的表面积为 48? . ,P 、 A 、B 、C 四点都在球面上,PA ? 平面 ABC ,

AB ? 2, BC ? 4, ?ABC ? 600 。
(1)证明: BA ? 平面 PAC ; (2)求二面角 O ? AC ? B 的正弦值. (3)求 VA? PBC

19. 将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1
a 2 a3 a4

a5 a8

a6 a9 a10

a7

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

记表中的第一列数 a1 , a2 , a4 , a7 ? 构成的数列为 {bn } , b1 ? a1 ? 1 . S n 为数 列 {bn } 的前 n 项和,且满足 (1) 证明数列{

2bn =1(n≥2). bn Sn ? Sn 2

1 }成等差数列,并求数列 {bn } 的通项公式; Sn (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 4 为同一个正数.当 a81 ? ? 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和. 91
(3) 设 c n ?

3n , 数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。证明: Tn ? 7 n ? bn

20. (本小题满分 14 分)已知双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 与椭圆 C2 : 点 F1 , F2 ,点 N ( 2,1) 是它们的一个公共点. (1)求 C1 , C2 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦 a 2 b2

( 2 )过点 F2 且互相垂直的直线 l1 , l2 与圆 M : x ? ( y ? 1) ? a 分别相交于点 A, B 和
2 2 2

C , D ,求 | AB | ? | CD | 的最大值,并求此时直线 l1 的方程.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a cos kπ ? ln x(k ? N* , a ? R ,且 a ? 0 ) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k ? 2012 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. (3)当 k ? 1 时,证明: 对一切 x ? (0, ??) ,都有

f ( x) ? x 2 1 2 ? x ? 成立. 2a e ex

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 三、解答题 16、解(1)因为 m // n ,所以 sin A ? (sin A ? 3 cos A) ? 3 ? 0 . 2 所以 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 0 ,即 3 sin 2 A ? 1 cos 2 A ? 1 , 2 2 2 2 2 11π . 即 sin 2 A ? π ? 1 . 因为 A ? (0, π) , 所以 2 A ? π ? ? π , 6 6 6 6 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C

1 16

10.

2 3

11. 4 12. (0,1) ? (2,??)

13.11 14.

8 5 5

15.2

?

?

?

?

故 2A ? π ? π , A ? π . 6 2 3 (2)由余弦定理,得 4 ? b2 ? c2 ? bc . 又 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc , 2 4 而 b2 ? c 2≥2bc ? bc ? 4≥2bc ? bc≤4 , (当且仅当 b ? c 时等号成立) 所以 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc≤ 3 ? 4 ? 3 . 2 4 4 当△ABC 的面积取最大值时, b ? c .又 A ? π ,故此时△ABC 为等边三角形. 3 17.解:用 Ai 表示事件:一天之内第 i 个部件需要调整(i=1、2、3) , 则 P( A1 ) ? 0.1, P( A2 ) ? 0.2, P( A3 ) ? 0.3 ,用 ? 表示一天之内需要调整的部件数,则 (1) P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A2 ? A1 ? A3 ) ? P( A3 ? A1 ? A2 ) ? 0.398 (2) P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1)

? 1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P(? ? 1) ? 0.098.
(3) P(? ? 0) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 0.504.

P(? ? 2) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 0.092.
P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 0.006
? ? 的分布列为

?
P

0 0.504

1 0.398

2 0.092

3 0.006

? E? ? 0 ? 0.504? 1? 0.398? 2 ? 0.092 ? 3 ? 0.006 ? 0.6
18.证明: (1)∵ PA ? 平面 ABC , BA ? 平面 ABC , ∴ PA ? BA , ∵ AC ? BC ? BA ? 2BC ? BAcos60 ? 12 ∴ AB ? AC ? BC
2 2 2 0 2 2 2

∴ ?BAC ? 90 ,∴ BA ? AC ,∵ PA ? AC ? A ,PA . AC ? 平面 PAC . ∴ BA ? 平面 PAC . (2)方法 1:过 O 作 OO1 ? 平面 ABC 于 O1 ,∵ ?BAC ? 90 ,∴ O1 是 ABC 截面圆 的圆心,且 BC 是直径. 4?R ? 48? ∴ R ? OA ? 2 3
2

过 O 作 OE ? AC 于 E , 连 EO1 , 由三垂线定理 知角 ?OEO1 为二面角 O ? AC ? B 的平面角.

OE ? (2 3 ) 2 ? ( 3 ) 2 ? 3 , O1 E ? 1 ,
在 RT ?OO1E 中, cos ?OEO 1 ?

1 3

所以二面角 O ? AC ? B 的正弦值大小为

2 2 . 3

方法 2:以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz (略) (3) 过 O 作 OM ? PA 于 M , 则 M 为 PA 的中点, 连结 O1 A , 则M A O O 是矩形,∴ AP ? 2OO1 .∵ OO1 ? ∴V ?
1

32 ? 12 ? 2 2 ,∴ AP ? 4 2

1 8 6 ? AP ? S ?ABC ? 3 3

19.(1)证明:由已知及 bn ? S n ? S n?1 (n ? 2) 得

2( S n ? S n?1 ) ? 1。 2 ( S n ? S n?1 ) ? S n ? S n

1 1 1 1 1 ? ? ,又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 ∴ { } 是首项为 1,公差为 的等差数列 2 S n S n ?1 2 Sn
∴ Sn ?

2 2 ,当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? ? n ?1 n(n?!)

?1, n ? 1 ? bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) , n ? 2 ?
(2)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ? ??? ? 12 ?

12 ?13 ? 78, 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 {an } 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列,因此 a81 ? b13 ? q ? ?
2

4 91

又 b13 ? ? 则S ?

2 , 所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ? 0) 行所有项的和为 S , 13 ?14

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ? ? (1 ? 2k ) (k≥3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)
n ?1 n ?3 2
∴ Tn ? 3 ?

(3). n ? 2 时, C n ? ?

3 3 4 4 n ? 1 n ?1 ?3 ? ?3 ??? ?3 2 2 2 51 2n ? 1 n ?1 Tn ? ? ?3 ∴ Tn ? 7 8 8 20.解: (1)点 N ( 2,1) 是双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 上的点,?m ? ( 2)2 ?1 ? 1 . 3Tn ? 9 ?
∴双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1,从而 F 1 (? 2,0), F 2 ( 2,0) ,∴ a ? b ,
2 2

3 2 4 3 n ?1 n ?3 ? ?3 ??? ?3 2 2 2

2 1 ? ? 1② a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1. 由①②得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所以椭圆的方程为 4 2 (2) 设圆 M 的圆心为 M ,l1 、l 2 被圆 M 所截得弦的中点分别为 E , F , 弦长分别为 d1 , d 2 , 2 2 2 因为四边形 AECF 是矩形,所以 ME ? MF ? F2 M ? 3 ,即
且 a ? b ? 2 .① 又点 N ( 2,1) 在椭圆上,则
2 2

? ? d1 ?2 ? ? ? d 2 ? 2 ? 2 4? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3 ,化简得 d12 ? d2 ? 20 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
从而 d1 ? d 2 ?
2 2 ? d12 ? d 2 ? 2 10 ,等号成立 ? d1 ? d2 ? 10 ,

?d1 ? d2 ? 10 时,?(d1 ? d2 )max ? 2 10 ,
即 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 10 . 21. 解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 ? a, ?? ? 上是增函数. (2)若 k ? 2012 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) . 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,
2 2 所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) , x 2 ? a ? a ? 4a . 2 2

?

?

?

?

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .
2 ? g ( x ) ? 0, ? ? x ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, 则? 2 即 ? 22 ? g ?( x2 ) ? 0, ? ? x2 ? ax 2 ?a ? 0,

两式相减得 a ln x2 ? ax2 ? a ? 0, 因为 a>0,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , 因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得 a ? 1 2

(*) .

(3)当 k ? 1 时, 问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e 1 1 由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e x 2 1 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '(x ) ? x ,易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 e e e e 1 2 x ? 1 时取到, 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.故命题成立。 e ex


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