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北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法(2)

时间:2011-12-22


北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》 第一章《推理与证明》
§4 数学归纳法

数学归纳法(2) 数学归纳法(2)
1 法门高中姚连省制作

数学归纳法(2) 数学归纳法(2)

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一、教学目标:1、使学生了解归纳法 理解数学归纳的原理 教学目标: 、使学生了解归纳法, 与实质。 与实质。 2、掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证 、掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法” 明简单的与自然数有关的命题。 明简单的与自然数有关的命题。 3、培养学生观察 分析 论证的能力 进一步发展学生的抽象 、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程 体会类比 的数学思想。 的数学思想。 4、努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、 4、努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑 氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率。 氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率。 5、通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法 先猜想 、通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想 后证明), 激发学生的学习热情, 后证明 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识 和科学精神。 和科学精神。 教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点:明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 教学难点:明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 教学方法:探析归纳, 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程
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递推依据

递推基础

数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是: 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当 n 取第一个值 n0 如 n0 = 1或2等)时结论正确; ) ( 等 时结论正确; “找准起点,奠基要稳” 找准起点, 找准起点 奠基要稳” (2)假设时 n = k ( k ∈ N ?且k ≥ n0 ) 结论正确,证明 ) 结论正确, n = k + 1 时结论也正确. 用上假设,递推才真” 时结论也正确. 用上假设,递推才真” “用上假设

注 意: 一定要用到归纳假设; 1、一定要用到归纳假设; 、
2、看清从k到k+1中间的变化。 、看清从 到 + 中间的变化 中间的变化。
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证明中需要注意的问题

(1)在第一步中的初始值不一定从 取起,证明 在第一步中的初始值不一定从1取起 在第一步中的初始值不一定从 取起, 时应根据具体情况而定. 时应根据具体情况而定
练习1:欲用数学归纳法证明 试问n的第 练习 欲用数学归纳法证明2n>n2,试问 的第 欲用数学归纳法证明 试问 一个取值应是多少? 一个取值应是多少 逐一尝试,可知初始值为 答:对n=1,2,3,…,逐一尝试 可知初始值为 对 逐一尝试 可知初始值为n=5.
练习2:用数学归纳法证明 练习 用数学归纳法证明3n>n2. 用数学归纳法证明 此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3k>k2成立 时 此题在第二步的证明过程中在假设 的基础上,当 的基础上 当n=k+1时, 时
3 k +1 ? ( k + 1) 2 = 3 ? 3 k ? ( k 2 + 2 k + 1) > 3k 2 ? ( k 2 + 2 k + 1) = ( k ? 1) 2 + k 2 ? 2 要说明此式大于零 则必须 要说明此式大于零,则必须 则必须k≥2.故在 故在
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证明的第一步中,初始值应取 和 两个值 两个值. 证明的第一步中 初始值应取1和2两个值 初始值应取

(2)在第二步中 证明n=k+1命题成立时 必须用到n=k 在第二步中,证明 命题成立时,必须用到 在第二步中 证明 命题成立时 必须用到 命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之 命题成立这一归纳假设 否则就打破数学归纳法步骤之 间的逻辑递推关系,造成推理无效 间的逻辑递推关系 造成推理无效. 造成推理无效

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练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 (1).当n=1时,左边 1 ? 2 左边= 当 时 左边 = 1 2,

1 1 1 n + +L+ = 1? 2 2 ? 3 n ? ( n + 1) n + 1
右边= 右边

1 1 = 1+1 2

(2).假设 假设n=k时命题成立 即 假设 时命题成立

那么n=k+1时, 1 时 那么 1 1 1 1 ? ) 左边 = (1 ? ) + ( ? ) + L + ( 2 2 3 k +1 k + 2 1 k =右边 右边, 右边 = 1? = k + 2 ( k + 1) + 1 命题也成立. 即n=k+1时,命题也成立 时 命题也成立 对一切自然数,命题均正确 由(1)(2)知,对一切自然数 命题均正确 知 对一切自然数 命题均正确.

1 1 1 k + + ??? + = 1? 2 2 ? 3 k ? (k + 1) k + 1

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(3)在证明 在证明n=k+1命题成立用到 命题成立用到n=k命题成立时 要 命题成立时,要 在证明 命题成立用到 命题成立时 分析命题的结构特点,分析 分析“ 分析命题的结构特点 分析“n=k+1时”命题是什 时 并找出与“ 时命题形式的差别.弄清应 么,并找出与“n=k”时命题形式的差别 弄清应 时命题形式的差别 增加的项. 增加的项 练习: 练习:
1.已知: 已知: 等于( 1 1 1 ,则 f (k +1) 等于( C ) f (n) = + +...+ 3n+1 n+1 n+2
1 f (k) + 3(K +1) +1
1 1 1 1 f (k) + + + ? 3K +2 3K +3 3K +4 K +1

A:

B: f ( k ) +

1 3K + 2

C:

1 1 D: f (k) + 3K +4 ? K +1
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1 1 1 1 例1:已知数列 ,4×7 ,7×10 ,L ,(3n - 2)(3n +1),L 已知数列 1×4

根据计算的结果,猜想 计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果 猜想 Sn 根据计算的结果
1 1 解:当n = 1时,s1 = = 1×4 4 1 2 当 = ? n = 1时,s2 = s1 + 4×7 7 1 3 ? n = 1时 , s3 = s 2 + 当 = 7×10 10 1 4 = 当 ? ? ?时 , s 4 = s3 + ? 10×13 13 n 猜想: 猜想:s n = 3n +1

的表达式,并用数学归纳法进行证明 的表达式 并用数学归纳法进行证明. 并用数学归纳法进行证明

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例2:是否存在常数a、b,使得等式: 2:是否存在常数a b,使得等式: 是否存在常数 使得等式
12 22 n2 an2 + n + +… + = 1 ?3 3 ?5 (2n - 1 )(2n + 1) bn + 2

对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a ? b = ?1 a =1 n=1,2,并整理得 解:令n=1,2,并整理得{10a ? 3b = ?2 ,∴{b = 4.

以下用数学归纳法证明: 以下用数学归纳法证明:

12 22 n2 n2 + n + + …+ = (n ∈ N * ). 1? 3 3 ? 5 (2n ?1)(2n +1) 4n + 2

点拨:对这种类型的题目,一般先利用n 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数, 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立. 法证明它对一切正整数n都成立.

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(1)当n=1时 由上面解法知结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确 假设当n=k时结论正确, (2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 + k + +… + = . 1 ?3 3 ?5 (2k - 1)(2k + 1) 4k + 2

则当n=k+1时 则当n=k+1时, n=k+1

12 22 k2 ( k + 1 )2 + +… + + 1 ?3 3 ?5 (2k ? 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k2 + k ( k + 1 )2 k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )+ 2 ( k + 1 )2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3 k + 2 ( k + 1 )2 +( k + 1 ) . = = 4k + 6 4 ( k + 1 )+ 2

故当n=k+1时 结论也正确. 故当n=k+1时,结论也正确. n=k+1 根据(1) (2)知 对一切正整数n,结论正确. (1)、 n,结论正确 11 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

例3.对于n∈N*用数学归纳法证明: .对于 ∈ 用数学归纳法证明:
1 ? n + 2 ? ( n ? 1) + 3 ? (n ? 2) + ? ? ? + (n ? 1) ? 2 + n ?1 = 1 n(n + 1)( n + 2) 6

分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” 分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” 有几项? f (k ) = 1 ? k + 2 ? (k ? 1) + 3 ? (k ? 2) + ? ? ? + (k ? 1) ? 2 + k ? 1 有几项? f ( k + 1)是什么,它比 f (k ) 多出了多少,是首要问题。 是什么, 多出了多少,是首要问题。

事实上f(k+1)不但比f(k)多一项,而且前k项 中每一项分别比f(k)中多了1,2,3,4……k f(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k
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证明: 证明:设f(n)= 1 ? n + 2 ? ( n ? 1) + 3 ? ( n ? 2) + ? ? ? + ( n ? 1) ? 2 + n ?1 (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立 当 = 时 左边= ,右边= ,
1 (2)设当 =k,时等式成立,即 f (k) = k(k +1)(k + 2) 设当n= 时等式成立 时等式成立, 设当 6

则n=k+1时, 时 f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…… +[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1) =f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)
1 1 = k ( k + 1)( k + 2 ) + ( k + 1)( k + 1 + 1) 6 2 1 )(2) ∴由(1)( )可知 )( = ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 ) 时等式都成立。 当n∈N*时等式都成立。 ∈ 时等式都成立 13 6

练习、求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n练习、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1) (2n
证明: n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边, =1+1=2, 1=2, 证明:① n=1时:左边=1+1=2,右边=21?1=2,左边=右边,等 式成立。 式成立。 时有: ② 假设当n=k((k∈N )时有: 假设当n=k((k∈N (k+1)(k+2)…(k+k)=2 (2n(k+1)(k+2) (k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时: 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2)
(2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) (k+k)? =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) k+1

(2k= 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1) 2 (2k 1)(2k+1)?2 (2k[2(k+1)右边, = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边, 1 [2(k+1) 1]=右边 n=k+1时等式也成立 时等式也成立。 ∴当n=k+1时等式也成立。 可知,对一切n∈N ,原等式均成立 原等式均成立。 由 ①、②可知,对一切n∈N ,原等式均成立。
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课 堂 小 结

①归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方法; 归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方法; 数学归纳法的科学性:基础正确;可传递; ②数学归纳法的科学性:基础正确;可传递; 数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论; ③数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论; 数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、 ④数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、不可行的 缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足, 缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种 科学方法,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 科学方法,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 由有限到无穷. 由有限到无穷. 数学归纳法的基本思想: 数学归纳法的基本思想: 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用 有限” 运用“ 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性 运用“有限” 的手段来解决“无限” 的手段来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心: 数学归纳法的核心 在验证命题n=n0正确的基础上 证明命题具有传递性 而第二 正确的基础上,证明命题具有传递性 证明命题具有传递性,而第二 在验证命题 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程 所以说数 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法, 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限 15 到无限的飞跃。 到无限的飞跃。

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: ① ② ③ 明确首取值n 并验证真假。(必不可少) 。(必不可少 明确首取值n0并验证真假。(必不可少) “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 n=k时命题正确 分析“n=k+1时 命题是什么,并找出与“n=k 时 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标, 明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的 方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等, 方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等, 用上假设。 并 用上假设。 可明确为: 可明确为:
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重点:两个步骤、一个结论; 重点:两个步骤、一个结论; 注意:递推基础不可少, 注意:递推基础不可少, 归纳假设要用到, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉。 结论写明莫忘掉。

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作业
1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 平面内有n条直线,其中任何两条不平行, 不过同一点, 不过同一点, 个区域. 证明这n条直线把平面分成f(n) f(n)= +n+2)/2个区域 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.

2.是否存在常数 、b、c使得等式 是否存在常数a、 、 使得等式 是否存在常数 n(n + b)(n + c) 2 2 1×2 2×3 1×2 + 2×3 + L + n(n +1)= a ? 都成立,并证明你的结论。 对一切 n ∈ N 都成立,并证明你的结论。

五、教后反思: 教后反思:
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