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上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷)


上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷(理卷)
2014.1 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. lim

n2 ? 1 ? ___________. n?? 2n 2 ? n
x ? 0 的解是_

__________. x ?1

2. 不等式

3.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________. 4.已知 tan ?、 ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_______. tan 5.甲校有 3600 名学生, 乙校有 5400 名学生, 丙校有 1800 名学生.为统计三校学生某方面的 情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数 是___________. 6.已知函数 f ( x) ?

1 2
x

?1 4
x

的反函数为 f

?1

( x) ,则 f ?1 (12) ? ___________.

7.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i (a ? R), z1 ? z2 是 实数,则 z1 ? z2 =___________. 8.二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中,含 x 3 的项的系数是___________. 9.在锐角 VABC 中, AC ? 4, BC ? 3 , 三角形的面积等于 3 3 , AB 的长为___________. 则 10. 已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12? ,则圆锥侧面积等于___________. 11. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者, 若用随机变量 ? 表示选出 的志愿者中女生的人数,则随机变量 ? 的数学期望 E? =_____(结果用最简分数表示). 13. 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 有为有序三元 组.如果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1 ,且 A I B I C ? ? ,则称有序 三元组 ( A, B, C ) 为最小相交.由集合 {1, 2,3, 4} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交 的有序三元组的个数为
*

1 x


*

14. 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,对任意 n ?N* 都有 f [ f ( n)] ? 3n ,且 f ( x) 是增 函数,则 f (3) ?

-1-

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a, b ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是( )

1 1 (C) a 2 > ab < a b 16. 方程 log 5 x = sin x 的解的个数为( )
(A) a 2 > b2 (B) (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(D) 2a > 2b

17.已知函数 f ( x) ?

x2 ,则 x2 ?1
?1? ? 1 ? f ? ? ?L ? f ? ?? ? 3? ? 2013 ? ? 1 ? f? ?? ? 2014 ?

?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? ?2?
( )

1 1 (D) 2013 2 2 18. 如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于 uuu r uur uur u 圆内一点,若 OC ? mOA ? nOB ,则( )
(A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (A) 0 ? m ? n ? 1 ; (B) m ? n ? 1 ; O

1 2

1 2

A C

(C) m ? n ? ?1 ; (D) ?1 ? m ? n ? 0 ; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , SD ⊥ 平 面 , ABCD SD ? AD ? 2 (1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

B

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D (分贝) 由公式 D ? a lg I ? b ( a、b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2 D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I 1 , I 2 , I 3 满足的 等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10
?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说
-2-

话,声音能量为 10

?12

W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪. 21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图, A( 设

3 1 一个动点从点 A , ) 是单位圆上一点, 2 2

y

出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一 周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P .设

A O x

P ( x, y )















y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

??? ??? ? ?

1 ? x2 1 ? x2 ?a 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? . 1 ? x2 1 ? x2
(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 前 n 项的和分别为 S n 、 Tn 、 U n .
*

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 5 ? ?

已知集合 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n ? 2n ? 2 ,求数列 {cn } 的通项公式;
n

(2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2

n

(1 ? n ? k , n ? N * ) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合

条件的数列对( {an } , {bn } ) ,并说明理由; (3)若 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对
*

( {an } , {bn } )有偶数对.

-3-

上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷答案(理卷)
2014.1 一、填空题. 1.

1 2

2. 0 ? x ? 1 (或 (0,1) ) 8. -126 9.

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6. log 2 3

7. 4 2 11. (理) 二、选择题 15. D

13

10. 15? 14.6

4 7

12. 1< a <4

13. 96

16. B

17. D

18. B

三、解答题 19.解:(1)连接 BD,∵ SD ⊥平面 ABCD

AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分 又四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分

(2)设 SA 的中点为 E ,连接 DE 、 CE , ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ?CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得:DE= 2 ,CE= 6 ,CD=2,则 CD⊥DE.

cos ?CED ?

3 3 , ?CED ? arccos 3 3

所以所求二面角的大小为 arccos 20.解: (1)? D1 ? 2 D2 ? 3D3

3 .………12 分 3

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I 1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3
? I1 ? I 2 ? I 3
2 3

…………………………2 分

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分

-4-

(2)由题意得 ?

?? 13a ? b ? 30 ?? 12 a ? b ? 40 ?a ? 10 ? ?b ? 160

………………………………………8 分

………………………………………10 分

? 100 ? 10 lg I ? 160 ? 120
10 ?6 ? I ? 10 ?4
?6 ?4

………………………………………………………13 分

答:当声音能量 I ? (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. ………………………………14 分 21、解: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

?
2

2? ? ? , 12 3

所以,点 B 的坐标是(0,1) ……………………………………………………2 分 又 t 秒时, ?XOP ?

?
6

?

?
6

t

………………………………………………………4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
(2)由 A ?

??? ? ? ? 3 1? 3 1? , ? , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2?, ? ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos ? t ? ? ? ,sin ? t ? ? ? ? ,…………………………8 分 ? 6? 2 6 ? 2? ?6 ?6 ? ?

??? ??? 3 ? ? 3 ? ? 1 1 ?? ?? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 6? ?6 ?6

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,? sin ? t ? ? ? ? ? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ? 0, ? 2

??? ??? ? ?

? 3? ? ?

………………………………14 分

22、解:易知 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x) 为偶函数.
-5-

(1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? ………………………2 分 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ? 0 时 f ? x? ?

1 ? x2 1 ? x2 ? 最小值为 2. 1 ? x2 1 ? x2

………………………4 分

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? (2) a ? 1 时, f ? x ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ? ? 0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1, 0? 时, f ? x ? 递减; ………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ? ? 0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

?0

所以 x ? ? 0,1? 时, (3) t ?

f ? x ? 递增; ……………………………………………10 分

? 2 5 2 5? 1 ? x2 1 a 1 , ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 5 ? 3 1? x t 3 ? 5

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上, 恒有 2ymin ? ymax . ①当 0 ? a ? ……………………………………………………………11 分

1 3

1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2ymin ? ymax 得 a ? , 3 15 1 1 从而 ? a ? ; …………………………………………………………………12 分 15 9 1 1 a 1 ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ;……………………13 分 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
-6-

由 2ymin ? ymax 得 ④当 a ? 1 时, y ? t ?

7?4 3 7?4 3 1 ?a? ,从而 ? a ? 1 ; …………………14 分 9 9 3

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3 5 5 由 2ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;……………………………………………15 分 3 3 1 5 综上, ? a ? . …………………………………………………………………16 分 15 3
23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4

n ? 2 时, cn ? U n ? U n ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式
故, cn ? ?

?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

…………………………………………………………4 分

(2) a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4 ,

n ? 2 时, an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? ( Sn ? Tn ) ? ( Sn?1 ? Tn?1 )
? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1
……………………6 分 当 k ? 4 时, a1 ? b1 ? 4 , a2 ? b2 ? 4 , a3 ? b3 ? 6 , a4 ? b4 ? 10

{a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 } = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一) : ① 6,12,16,14;2,8,10,4
k ?1



16,10,8,14;12,6,2,4

…………………8 分

当 k ? 6 时, ak ? bk ? 2 ? 2

? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1) k ?1

1 ? ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck2?1 ? ? ? Ckk?12 ? Ckk?1

1 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck2?1 ) ? k 2 ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn } )不存在. 另证: ak ? bk ? 2 ? 2
k 0
k ?1

………………………………10 分

? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
1 2 k ?1 1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

当 k ? 6 时, 2 ? Ck ? Ck ? Ck ? ? ? Ck

(3)令 d n ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N )
*

…………………12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k} ,得

{4k ? 2 ? a1 , 4k ? 2 ? a2 , ?, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 , ?, 4k ? 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ……………………16 分

-7-

假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d 2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 a2 ? 2k ? 3 ,

b2 ? 2k ? 1 ,均为奇数,矛盾!
故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。 ……………………18 分

-8-


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