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高中数学 选修1-2 3.独立性检验


3.独立性检验
教学目标 ________ 1.了解分类变量、列联表、随机变量 K . 2.了解独立性检验的基本思想和方法. 教学过程 一、知识要点. 1.分类变量:变量不同的值表示个体所属的类别不同. 2.列联表:两个分类变量的频数表. 3.随机变量: K 2 ?
2

班级 ____ 姓名

n(ad ? bc) 2

2 , P( K ? 6.635 ) ? 0.010(小概率事件) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

4.独立性检验:运用统计分析的方法确定分类变量的关系. (1)要判断“两个分类变量有关系” ; (2)假设结论不成立,即“ H 0 :两个分类变量没有关系” ; (3)确定一个判断规则的临界值 k0 :当 K 2 ? k0 时,认为“两个分类变量有关系” ,否则 认为“两个分类变量没有关系” ; ( k0 是根据允许误判概率的上限来确定的) (4)按照上述规则,误判概率为 P( K 2 ? k0 ) .

k0

0.455 0.50

0.708 0.40

1.323 0.25

2.072 0.15

2.706 0.10

3.841 0.05

5.024 0.025

6.635 0.010

7.879 0.005

10.82 0.001

P( K 2 ? k0 )
(5)拓展: ① 令 W ?|

a c n(a ? b)(c ? d ) ? | ,则 K 2 ? W 2 ? ; a?b c?d (a ? c)(b ? d )

② 令 w0 ?
2

k0 ?

(a ? c)(b ? d ) ; n(a ? b)(c ? d )
2

③K ? k0 等价于 W ? w0 ,所以 P(W ? w0 ) 等价于 P( K ? k0 ) ; ④ 可以用 P(W ? w0 ) 来作为判断依据.

二、例题分析. 例 1:研究吸烟与患肺癌的关系. 1.确定研究对象:吸烟与患肺癌的关系.

2.采集数据——列联表: 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

(1)由列联表可直观的了解:吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异.. (2)常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.(见教科书 P 11 图) 3.独立性检验: (类似于反证法) (1)假设 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系. 把表中数据用字母代替,得 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 患肺癌 总计

a c

b

a?b

d
b?d

c?d
a?b?c?d

a?c

若“吸烟与患肺癌没有关系” ,则

a c 不吸烟不患肺癌 ? .即“ a?b c?d 不吸烟总数

?

吸烟不患肺癌 ” 吸烟总数

得 ad ? bc ? 0 ,所以 | ad ? bc | 越小,说明吸烟与患肺癌关系越弱,反之越强. (2)构造随机变量 K ?
2

n(ad ? bc) 2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

2 (3)科学研究表明: P( K ? 6.635 ) ? 0.010. 即“当 K ? 6.635时,事件发生的概率为

0.010(小概率事件——几乎不可能发生) ” (4)根据所采集的数据算得:在 H 0 成立的情况下, K ? 56.632,远远大于 6.635,所以
2

我们断定 H 0 不成立,即“吸烟与患肺癌有关系”.误判概率不超过 P( K 2 ? 6.635 ) ? 0.010.

作业:为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,数据如 下 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 总计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 总计 205 134 339

吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关?试用独立性检验的思想说明理由.


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