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2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 试题类型:A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学详细解析
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.

4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ?
2

3 3 3 3 ( ?3, ? ) ( ?3, ) ( ,3) (1, ) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 (A)
【答案】D 【详细解答】 A ? {x |1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? } ,? A ? B ? {x |

3 2

3 ? x ? 3} 2

【试题评析】考察集合运算和简单不等式解法,属于必考题型,难易程度:易. (2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = (A)1(B) 2 (C) 3 (D)2 【答案】B 【详细解答】由题意知: x ? y ? 1 ,? x ? yi = 1 ? i ?

2

【试题评析】考察复数相等条件和复数的模,属于必考题型,难易程度:易. (3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = (A)100(B)99(C)98(D)97 【答案】C 【详细解答】解法 1: S9 ?

a1 ? a9 a ?a 9 ? 9a5 ? 27 ,? a5 ? 3 ? d ? 10 5 ? 1 2 10 ? 5

?a100 ? a10 ? (100 ?10)d ? 8 ? 90 ? 98 .
解法 2: S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 27 ,即 a1 ? 4d ? 3 ,又 a10 ? a1 ? 9d ? 8 ,解得 2

a1 ? ?1, d ? 1 ,?a100 ? a1 ? (100 ?1)d ? ?1 ? 99 ? 98
【试题评析】考察等差数列的基本性质、前 n 项和公式和通项公式,属于必考题型,难易程度:易. (4)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

【答案】B 【详细解答】小明可以到达车站时长为 40 分钟,可以等到车的时长为 20 分钟,则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是 P ?

20 1 ? ,故 B 选项正确. 40 2

【试题评析】考察几何概型的概率计算,第一次考察,难易程度:易.

(5)已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 m2 ? n 3m2 ? n

(A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) 【答案】A 【详细解答】由题意知: m ? n ? 3m ? n ? 4 ,解得 m ? 1 ,? ?
2 2 2

?1 ? n ? 0 ,解得 ?1 ? n ? 3 ,故 A 选项 ?3 ? n ? 0

正确. 【试题评析】考察双曲线的简单几何性质,属于了解层次,必考题,难易程度:易. (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是

28? ,则它的表面积是 3 (A) 17? (B) 18? (C) 20? (D) 28?
1 (如右图所示) ,故 8

【答案】A 【详细解答】该几何体为球体,从球心挖掉整个球的

4 3 7 28? 7 1 2 2 ?r ? 解得 r ? 2 ,? S ? ? 4? r ? 3 ? ? r ? 17? ,A 选项正确. 3 8 3 8 4
【试题评析】考察三视图还原,球的体积表面积计算,经常考察,难易程度:中等. (7)函数 y ? 2 x2 ? e 在 [?2, 2] 的图像大致为
x

(A)

(B)

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(C) 【答案】D

(D)

【详细解答】解法 1(排除法) : ? f ( x) ? 2 x2 ? e 为 偶 函 数 , 且
x

f (2) ? 8 ? e2 ? 8 ? 7.4 ? 0.6 ,故选 D..
解法 2:? f ( x) ? 2 x2 ? e 为偶函数,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 4x ? e x ,作
x

y ? 4 x 与 y ? ex (如图 1) ,故存在实数 x0 ? (0,1) ,使得 f ' ( x0 ) ? 0
且 x ? (0, x0 ) 时, f ' ( x0 ) ? 0 , x ? ( x0 , 2) 时, f ' ( x0 ) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 , 2) 上递增,故选 D.
【试题评析】本题结合导数利用函数奇偶性,综合考察函数解析式与函数图像 之间的关系,常规题型,属于必考题,难易程度:中等.这类题型的最佳解法应 为结合函数的性质,选取特殊点进行排除.

0 ? c ? 1 ,则 (8)若 a ? b ? 1,
c c c c (A) a ? b (B) ab ? ba (C) a logb c ? b loga c (D) log a c ? logb c

【答案】C

c? 【详细解答】解法 1(特殊值法) ,令 a ? 4, b ? 2,

1 ,易知 C 正确. 2

? 解法 2:当 ? ? 0 时,幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上递增,故 A 选项错误;当 a ? 1 时, a 越大对数函数

f ( x) ? loga x 的图像越靠近 x 轴,当 0 ? c ? 1 时, loga c ? logb c ,故 D 选项错误; abc ? bac 可化为
a a ? ( ) c ,由指数函数知,当 a ? 1 时, f ( x) ? a x 在 (0, ??) 上递增,故 B 选项错误;a logb c ? b loga c 可 b b
化为 log
1

c ? log 1 c ,?1 ? b a ? b b ? a b ,故 C 选项正确.
ab

1

1

1

ba

【试题评析】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质,属于常考题型,难易程 度:中等. 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的,最好采用特殊值法验证排除. (9)执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 ,则输出 x,y 的值满足
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x 【答案】C 【详细解答】 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 时,框图运行如下: 1、 x ? 0,y ? 1 ,n ? 2

1 ,y ? 2,n ? 3 2 3 3、 x ? ,y ? 6,n ? 3 ,故 C 选项正确. 2
2、 x ? 【试题评析】考察算法中的循环结构,必考题型,难易程度:易. (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的标准线于 D、E 两 点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 【答案】B (B)4 (C)6 (D)8

【详细解答】排除法:当 p ? 4 时,不妨令抛物线方程为 y 2 ? 8x ,当 y ? 2 2 时, x ? 1 ,即 A 点坐标为 (1, 2 2 ) ,所以圆的半径为 r ? 3 ,此时 D 点坐标为(-2, 5 ) ,符合题意,故 B 选项正确. 解法 2:不妨令抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,D 点坐标为( ?

p , 5) ,则圆的半径为 r ? 2

p2 ?5, 4

r2 ? 8 ?

p2 ? 3 ,即 A 点坐标为( 4

p2 p2 ,所以 (2 2) 2 ? 2 p ?3,2 2 ) ? 3 ,解得 p ? 4 , 4 4

故 B 选项正确. 【试题评析】考察抛物线和圆的简单性质,必考题型,难易程度:中等. (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a ? 平面 ABCD=m, a ? 平面 ABA1B1=n, 则 m、n 所成角的正弦值为 (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

【答案】A 【详细解答】令平面 a 与平面 CB1D1 重合,则 m = B1 D1,n= CD1 故直线 m、 n 所成角为 60 o ,正弦值为

3 2

【试题评析】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算,必考题型,难易程度:中等.

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? x+ ? )( ?? 0 , ? ? 12. 已知函数 f ( x ) ? sin(

?
2

),x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对称

轴,且 f ( x ) 在 ? (A)11 【答案】B

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?
(C)7 (D)5

(B)9

【详细解答】解法 1(特殊值验证法)令 ? ? 9 ,则周期 T ? 上递减,恰好符合题意,故选 B. 解法 2:由题意知 T ?

2? 9 ? ? ? 5? ,区间 [ ? , ] 刚为 T ,且在 [ , ] 9 4 4 4 36 36

1 ? 5? 2? 2? ( ? )? ? 9 ,故选 B. ,所以 ? ? 2 4 36 9 T

【试题评析】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质,属于必考题型,难易程度: 偏难.

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24) 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . 【答案】 ?2 【详细解答】解法 1(几何法)由向量加法的几何意义知 a ? b ,故 a ? b ? m ? 2 ? 0 ,所以 m ? ?2 ; 解法 2(代数法) (m ? 1) ? 9 ? m ? 1 ? 1 ? 4 ,解得 m ? ?2
2 2

?

?

? ?

【试题评析】考察向量运算,必考题型,难易程度:易. (14) (2 x ? 【答案】10
r r 5? r 【详细解答】 Q Tr ?1 ? C5 (2 x)5?r ( x )r ? C5 2 x 5? r 2

x )5 的展开式中,x3 的系数是

.(用数字填写答案)

,令 5 ?

r 4 5?4 ? 3 ,解得 r ? 4 ,?C5 2 ? 5 ? 2 ? 10 . 2

【试题评析】考察二项式定理展开式中指定项问题,必考题型,难易程度:中等. (15)设等比数列错误!未找到引用源。满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 ??? an 的最大值为 【答案】64 【详细解答】由 a1+a3=10,a2+a4=5 解得 a1 ? 8, q ?

1 1 1 ,? an ? 8( ) n ?1 ? ( ) n ? 4 , 2 2 2

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1 1 n ? a1a2 ??? an ? ( )?3?2?1?????( n?4) ? ( ) 2 2

2

?7 n 2 ,所以当

n ? 3 或 4 时, a1a2 ??? an 有最大值 64

【试题评析】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题,必考题型,难易程度:中等. (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。 【答案】 216000 【详细解答】将题中数据分类整理如下表: 产品 A(件) B(件) 甲(kg) 1.5 0.5 乙(kg) 1 0.3 工时 5 3 利润(元) 2100 900

150 90 600 限制条件 设生产 A 类产品 x 件,B 类产品 y 件,两类产品利润和为 z 元,则 x , y 的限制条件如下:

?1.5 x ? 0.5 y ? 150 ? x ? 0.3 y ? 90 ? ? ,目标函数为 z ? 2100 x ? 900 y ,可行域的顶点坐标分别为 (0, 200),(60,100),(90,0) , ?5 x ? 3 y ? 600 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
代入目标函数可得 zmax ? 2100 ? 60 ? 900 ?100 ? 216000 【试题评析】考察线性规划的应用题,数据较为繁杂,加上平时本类题型训练不够充分,容易出错,由于 数据较大本题的可行域较为难作,故采用方程联立求点代入法,注意点 (75,75) 不适合第二个不等式,应舍 去,很少考的题型,难易程度:偏难. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分为 12 分)

? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7,? ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

【详细解答】 ( I ) 由 2cos C (a cos B+b cos A) ? c 得 2cos C (sinA cos B+sinB cos A) ? sin C , 即

cos C?

? 1 ,又 C ? (0, ? ) ,? C ? ; 3 2
1 3 3 a 2 ? b2 ? 7 1 2 2 ,? ab ? 6 , a ? b ? 13 ? , S? ABC ? ab sin C ? 2ab 2 2 2
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(II) cos C ?

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?a ? b ? a2 ? b2 ? 2ab ? 5 ,所以 ? ABC 的周长为 5 ? 7 .
【试题评析】解三角形主要考察三大定理:正弦定理、余弦定理、内角和定理,采用的策略是化统一:统 一成纯边或纯角问题即可,可概括为一句话: “三大定理化一统” ,与数列轮流放在第 17 题考察,难易程度: 中等偏易. (18) (本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为 正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90? ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60? . (I)证明平面 ABEF ? EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【详细解答】 (I)? AF ? FE, AF ? FD ,? AF ? 面FECD ,又? AF ? 面ABFE , 所以平面 ABEF ? EFDC; (II) 方法 1 (向量法) 以 E 为坐标原点, EF, EB 分别为 x 轴和 y 轴建立空间直角坐标系 (如图) , 设 AF ? 2 ,
? o 则 FD ? 1 ,因为二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ,即 ?EFD ? ?FEC ? 60 ,

易得 B(0, 2, 0) , A(2, 2,0) , C ( , 0,

1 2

3 ), 2

??? ? ??? ? ??? ? 1 3 ? EB ? (0, 2, 0), BA ? (2, 0, 0), BC ? ( , ?2, ) , 2 2
设平面 EBC 与平面 ABCD 的法向量分别为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 和

??

?? ? n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
?? ??? ? ?n1 ? EB ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (0, 2, 0) ? 2 y1 ? 0 3 ? 令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 0, z1 ? ? , ? ? ?? ??? 1 3 1 3 3 ) ? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0 ?n1 ? BC ? ( x1 , y1 , z1 ) ? ( , ?2, ? 2 2 2 2

?? 3 ? n1 ? (1, 0, ? ) 3 ?? ? ??? ? ?n2 ? BA ? ( x2 , y2 , z2 ) ? (2, 0, 0) ? 2 x2 ? 0 3 ? 由 ? ?? ,令 z2 ? 2 ,则 x2 ? 0, y2 ? , ? ??? ? 1 3 1 3 2 ) ? x2 ? 2 y2 ? z2 ? 0 ?n2 ? BC ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ( , ?2, ? 2 2 2 2 ?? 3 ? n1 ? (0, , 2) 2

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3 3 2 3 (1, 0, ? ) ? (0, , 2) ? ?? ?? ? 2 19 3 2 3 , ? cos ? n1 , n2 ?? ? ?? 19 1 3 2 19 1? ? ?4 ? 3 4 3 2
所以二面角 E-BC-A 的余弦值为 ?

2 19 . 19

解法 2(几何法)将此五面体补成一个直三棱柱 BCM-ANF(如右图所示) , 过点 E 作 EG ? BM 于 G 点,则 EG ? 面ABMN ,过点 E 作 EH ? BC 于

H 点,则 ?EHG 为二面角 E-BC-M 的平面角. 设 AF ? 2 ,则 FD ? 1 ,因为
二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ,即 ?EFD ? ?FEC ? 60 ,
? o

3 2? 1 3 3 19 BE ? EM 2 ?2 3, ,? BM ? ,? EG ? CM ? , EM ? ? ?4 ? BM 2 2 4 2 19 19 2

BC ? 1 ? 4 ? 5 ,? EH ?

BE ? EC 2 ?1 2 , ? ? BC 5 5

?GH ? EH 2 ? EG 2 ?

4 12 4 ? ? 5 19 5 ? 19
4 5 ? 19 ? 2 19 2 19 5

GH ? cos ?EHG ? ? EH

所以二面角 E-BC-A 的余弦值为 ?

2 19 . 19

【试题评析】本题的几何体为不规则几何体,补形构造成规则几何体运用传统几何法,做辅助线,按照经 典的求二面角或距离的步骤:一找二证三求完成或建系运用坐标法解决,整体运算不小,属于必考题,难 度中等. (19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易 损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪个? 【详细解答】 (I)这 100 台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 时的频率为分别为 机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 时发生的概率分别为

1 2 1 1 , , , ,故 1 台 5 5 5 5

1 2 1 1 , , , ,每台机器更换与否相互独立, 5 5 5 5

X ? 16,17,18,19, 20, 21, 22 ,故两台机器更换易损零件个数及对应概率如下表:
1 ) 5 1 16( ) 25 2 17( ) 25 1 18( ) 25 1 19( ) 25
8(

1 ) 5 2 9( ) 5 1 10( ) 5 1 11( ) 5
8( 所以求 X 的分布列为:

2 ) 5 2 17( ) 25 4 18( ) 25 2 19( ) 25 2 20( ) 25
9(

1 ) 5 1 18( ) 25 2 19( ) 25 1 20( ) 25 1 21( ) 25
10(

1 ) 5 1 19( ) 25 2 20( ) 25 1 21( ) 25 1 22( ) 25
11(

X p

16

17

18

19

20

21

22

1 25

4 25

6 25

6 25

5 25

2 25

1 25

11 1 17 1 ? , P( X ? 19) ? ? ,所以 n 的最小值为 19 25 2 25 2 1 4 6 6 5 2 1 (III) EX ? 16 ? ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 21? ? 22 ? ? 18.2 25 25 25 25 25 25 25 5 2 1 故至少购买 19 件,若买 19 件时费用期望为 200 ?19 ? 500 ? , ? 1000 ? ? 1500 ? ? 4040 (元) 25 25 25 2 1 ? 1000 ? ? 4080 (元) 若买 20 件时费用期望为 200 ? 20 ? 500 ? 25 25 所以应选用 n ? 19 .
(II) P( X ? 18 ) ? 【试题评析】本题以实际问题为背景,以频率作为概率,综合考察柱状图(初中内容) ,列举法求概率,离 散型随机变量的分布列,期望。审题较为费劲,特别是第三问带有创新性与平时训练题型不同,不冷静分 析难以找到突破口。属于必考题,偏难. 20. (本小题满分 12 分) 设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B
2 2

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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求 四边形 MPNQ 面积的取值范围. 【详细解答】 (I)圆心为 A(?1, 0) ,圆的半径为 AD ? 4 ,? AD ? AC ,

??ADC ? ?ACD ,又? BE / / AC ,??ACD ? ?EBD ? ?ADC ,
? BE ? ED , EA ? EB ? AD ? 4 .
所以点 E 的轨迹是以点 A(?1, 0) 和点 B(1, 0) 为焦点, 以 4 为长轴长的椭圆, 即 a ? 2, c ? 1 ? b ? 3 ,

所以点 E 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(II) 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? 1 , MN ? 3 , PQ ? 8 , 此时四边形 MPNQ 面积为 12 ; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 联立得: 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1? k

2

8k 2 2 4k 2 ? 12 ( ) ?4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

12(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2
1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 1 ? 0 k

直线 PQ 方程为 y ? ?

所以圆心 A(?1, 0) 到直线 PQ 的距离为 d ?

2 1? k 2

,? PQ ? 2 16 ? d ? 4
2

3 ? 4k 2 1? k 2

S四边形MPNQ ?

1 1 12(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 1? k 2 4k 2 ? 4 MN ? PQ ? 4 ? 24 ? 12 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 1? k 2

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? 12 1 ?

1 ? (12,8 3) 3 ? 4k 2

综上可知四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12,8

3)

【试题评析】本题以圆为背景,综合考察椭圆定义,椭圆方程,直线与椭圆关系等知识点,题型常规,计 算量偏大,最后求范围时需考虑极限知识,属于必考题型,偏难. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ?1) 错误!未找到引用源。有两个零点.
x 2

(I)求 a 的取值范围; (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 错误!未找到引用源。的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【详细解答】 (I) f ( x) ? e ? ( x ? 2)e ? 2a( x ?1) ? ( x ?1)(e ? 2a)
' x x x x ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e ,此时函数 f ( x ) 只有一个零点,不符合题意舍去; ' ' ②当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ? x ? 1 ,由 f ( x) ? 0 ? x ? 1 ,

所以 f ( x ) 在 (??,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增,

? f ( x)min ? f (1) ? ?e ? 0 ,又 f (2) ? a ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上只有一个零点,
当 x ??? 时, e ? 0 ,此时, f ( x) ? ?? ,所以函数 f ( x ) 在 (??,1) 上只有一个零点
x

此时函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。有两个零点. ③当 ?

e ' ? a ? 0 时,0 ? ln(?2a) ? 1 , 由f ( x) ? 0 ?x ?1 或 x ?l n (2 ?) a 2

, 由f ( x) ? 0 ? l n ( 2? ) a?x 1?
'

所以 f ( x ) 在 (??,ln(?2a)) 和 (1, ??) 上递增,在 (ln(?2a),1) 上递减,

? f ( x)极小值 ? f (1) ? ?e ? 0 , f ( x)极大值 ? f (ln(?2a)) ? (ln(?2a) ? 2)(?2a) ? a(ln(?2a) ?1)2 ? 0
此时函数 f ( x ) 至多一个零点,不符合题意,舍去; ④当 a ? ?

e ' x x x 时, f ( x) ? e ? ( x ? 2)e ? 2a( x ?1) ? ( x ?1)(e ? e) ? 0 恒成立,此时函数 f ( x ) 至多一个零 2

点,不符合题意,舍去 ⑤当 a ? ?

e ' ' 时, ln(?2a) ? 1 ,由 f ( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ln(?2a) ,由 f ( x) ? 0 ? 1 ? x ? ln(?2a) 2

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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 所以 f ( x ) 在 (??,1) 和 (ln(?2a), ??) 上递增, f ( x ) 在 (1,ln(?2a)) 上递减,

? f ( x)极大值 ? f (1) ? ?e ? 0 ,因为 f ( x) 在 (1,ln(?2a)) 上递减,所以 f ( x)极小值 =f (ln( ?2a)) ? 0
此时函数 f ( x ) 至多一个零点,不符合题意,舍去. 综上可知 a ? (0, ??) . (II)由(I)若 x1,x2 是 f ( x ) 错误!未找到引用源。的两个零点,则 a ? 0 ,不妨令 x1 ? x2 ,则 x1 ? 1 ? x2 要证错误!未找到引用源。 x1 ? x2 ? 2 ,只要证 x1 ? 2 ? x2 ,? x2 ? 1 ,?2 ? x2 ? 1 ,当 a ? 0 时, f ( x ) 在

(??,1) 上递减,
且 f ( x1 ) ? 0 , f (1) ? 0 所以,只要证 f (2 ? x2 ) ? 0 ,

f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? a(1 ? x2 )2 ,又 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)ex2 ? a( x2 ?1)2 ? 0 ? f (2 ? x2 ) ? ?x2e2?x2 ? ( x2 ? 2)ex2
令 y ? ? xe
2? x

? ( x ? 2)ex ,( x ? 1)
e2 ? e2 x , ex

y ' ? ?e2? x ? xe2? x ? e x ? ( x ? 2)e x ? ( x ? 1)
2 2x '

. ? x ? 1 , ? x ?1 ? 0 , e ? e ,? y ? 0

? y ? ? xe2? x ? ( x ? 2)e x 在 (1, ??) 上递减,当 x ? 1 时, y ? 0
? x ? 1 , y ? 0 ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 成立,

? x1 ? x2 ? 2 成立.
【试题评析】本题以导数为背景,综合考察函数的零点、单调性、极值最值等知识点和分类讨论、数形结 合等数学思想方法,是具有鲜明特色的全国卷压轴题,重点知识重点考察,不回避热点,第二问需要构造 函数结合第一问结论加以解决,属于必考题型,难度较大. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图, △ OAB 是等腰三角形,∠AOB=120° .以 O 为圆心,错误!未找到引用 源。OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与 ⊙O 相切;
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为错误!未找到引用源。 (t 为参数,a>0).在以坐标 原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上, 求 a. (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? 2x ? 3 . (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。 【详细解答】

? ? x ? 4 , x ? ?1 ? 3 ? (I) f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 3 ? ?3x ? 2 , ? 1 ? x ? 2 ? 3 ? ?x ? 4 , x ? ? ? 2
作出 y= f(x)的图像如右图所示; (II)①当 x ? ?1 时, f ( x) ? x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 3 或 x ? 5

? x ? ?1
②当 ?1 ? x ?

1 3 时, f ( x) ? 3x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 或 x ? 1 , 3 2

3 1 ? ?1 ? x ? 或 1 ? x ? 2 3
③当 x ?

3 时, f ( x) ? ?x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 3 或 x ? 5 2

3 ? ? x ? 3或 x ? 5 2
综上可知,不等式∣f(x)∣﹥1 的解集为 (??, ) ? (1,3) ? (5, ??) .

1 3

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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 【试题评析】绝对值问题主要考察两个方面知识:一是绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ,主要证 明绝对值不等式及含绝对值代数式最值问题;二是解含多个绝对值不等式问题,主要采取零点讨论法,再 分段解决即可,属于选做必考题,难易程度:偏易. (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? 2x ? 3 . (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。 【详细解答】

? ? x ? 4 , x ? ?1 ? 3 ? (I) f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 3 ? ?3x ? 2 , ? 1 ? x ? 2 ? 3 ? ?x ? 4 , x ? ? ? 2
作出 y= f(x)的图像如右图所示; (II)①当 x ? ?1 时, f ( x) ? x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 3 或 x ? 5

? x ? ?1
②当 ?1 ? x ?

1 3 时, f ( x) ? 3x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 或 x ? 1 , 3 2

3 1 ? ?1 ? x ? 或 1 ? x ? 2 3
③当 x ?

3 时, f ( x) ? ?x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 3 或 x ? 5 2

3 ? ? x ? 3或 x ? 5 2
综上可知,不等式∣f(x)∣﹥1 的解集为 (??, ) ? (1,3) ? (5, ??) . 【试题评析】绝对值问题主要考察两个方面知识:一是绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ,主要证 明绝对值不等式及含绝对值代数式最值问题;二是解含多个绝对值不等式问题,主要采取零点讨论法,再 分段解决即可,属于选做必考题,难易程度:偏易.

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