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2012年高一数学竞赛题


2012 年高一数学竞赛试题
题号 答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设集合 A ? { y | y ? a2 ? 1| a ? N}, B ? {y | y ? b2 ? 10 | b ? N} ,则 A ? B 中元素的个 数 为 A. 1 个 2. M ? {x | y ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分<

br />
( B. 2 个 C. 3 个 D. 大于 3 个



? x2 ? 6 x ? 7, x, y ? R} , N ? { y | y ? ? x2 ? 6 x ? 7, x, y ? R} ,则集合
(C )[?1, 7]

M ? N ?( )

( A)?

( B)[0, 7]

( D)[0, 4]

3.已知 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?3.1? ? 3 ,若 x0 是方程 x

? x?

? 8 的实数根,则
( )

A. 0 ? x0 ? 1 C. 2 ? x0 ? 3

B. 1 ? x0 ? 2 D. 3 ? x0 ? 4

4. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? a (0 ? a ? A) 的三个相 邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f ( x) 的单调递减区间是 A. C. ( )

?6k? ,6k? ? 3?, k ? Z ?6k,6k ? 3?, k ? Z

B.

?6k ? 3,6k ?, k ? Z

D. ?6k? ? 3,6k? ? , k ? Z

5 (2006 吉林预赛)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和直 线 BC1 所成的角均为 60° ,则这样的直线 l 的条数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 6.已知四边形 ABCD , AC 是 BD 的垂直平分线,垂足 为 E , O 为直线 BD 外一点.设向量 OB ? 5 , OD ? 3 , 则 (OA ? OC) ? (OB ? OD) A. 8 B. 16
4 2

??? ?

????

?

?

?

?

的值是



) D. ?16 ( )

C. ?8

7. a 是一个常数,函数 f ( x) ?

x ? ax ? 1 的值域不可能是 ... x4 ? x2 ? 1

A.

?1?
? 1 ?

B. ? ( a ? 2),1? ?3 ? D. ? 2 ? a, (a ? 2) ? 3

?1

?

C. ?1, ( a ? 2) ? ? 3 ? 8.若 ? ? (0,

? ?

1

? ?

?
4

) , m ? (cos ? )log2 sin? , n ? (cos ? )log2 cos? , p ? (sin ? )log2 cos? ,则 m, n, p 的
( B. m ? p ? n D. m ? n ? p )

大小关系为 A. m ? p ? n C. m ? p ? n

9(2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? A. a1 B. a2

2 ,则 ?an ? 的最大项是() n ? 4n ? 5
2

C. a3

D. a4

10 . 若 函 数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 有 两 个 不 同 的 零 点 x1 , x 2 , 3 ? x1 ? x2 ? 4 , 那 么 在

f (3), f (4) 两个函数值中
( A.只有一个小于 C.都小于 ) B.至少有一个小于 D.可能都大于

1 4

1 4

1 4

1 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每题 7 分,共 49 分. 11.在 ?ABC 中,若 S ?ABC

?

1 2 a ? b 2 ? c 2 ,那么角 C =______. 4

?

?

12.设 f ( x) ? ?

? 2? x ?log 2 x

x?0 x?0

,则 f ( f ( )) ?

1 2



13 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是

14. 已知 1 ? x ? 8 ,则函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 5 ? x ? 7 的最大值 是 最小值是



15.已知 ?ABC 三条边长分别为 a ? t ? 3, b ? ?t ? 2t ? 3, c ? 4t ,(t ? R) ,则 ?ABC 最大
2 2

内角的度数等于 16. (2006 年南昌市)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为_ 17.若 a , b 是正实数,且 a ? b ? 2 ,则

1 1 ? 的最小值是 1? a 1? b

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 15 分) 已知向量 a ? (sin x,1), b ? (sin x, cos x ? ) ,设函数 f ?x ? ? a ? b , x ??0, ? ?

?

?

9 8

? ?

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 在区间 ? 0, ? ? 上有两个不同的根 ? , ? ,求 cos(? ? ? ) 的值.

19. (本题满分 16 分)已知正实数 x , y ,设 a ? x ? y , b ? (1)当 y ? 1 时,求

x 2 ? 7 xy ? y 2 .

b 的取值范围; a

(2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求

c2 的取值范围. xy

20. (本题满分 20 分)

设 f ( x) 是定义在实数 R 上的函数, g ( x) 是定义在正整数 N 上的函数,同时满足 下列条件: (1)任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 且 f (?1) ? 5 ; (2) g (1) ? f (0), g (2) ? f (?2) ; (3) f ? g (n ? 2)? ?

*

f ?(n ? 3) g (n ? 1)? f ?(n ? 2) g (n)?

,n? N

*

试求: (1)证明:任意 x, y ? R , x ? y ,都有

f ( x) ? f ( y ) ? 0; x? y

(2)是否存在正整数 n ,使得 g (n) 是 25 的倍数,若存在,求出所有自然数 n ; 若不存在说明理由. (阶乘定义: n ! ? 1? 2 ? 3 ? ... ? n )


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