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2013年绵阳二诊文科数学试题及答案


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四川省绵阳市 2013 届高三第二次诊断性模拟试题 文科数学(第一卷)
一、选择题:只有唯一正确答案,每小题 5 分,共 50 分 1、集合 P ? {1, 2} , Q ? {x | x ? 2} ,则集合 P ? Q 为 ( (A) {1, 2} 2、复数 (B) {1} ) (C) 1 (D)

i (C) {2} (D) {0,1} )

i?2 的虚部是( 1 ? 2i (A) 0 (B) 5i

3、已知 sin ? ? cos ? ? ? (A)

5 7? ,则 cos(2? ? ) 的值为( 3 2
(C) ?



4 9

(B)

2 9

2 9

(D) ?

4 9


4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( (A)8 (B)18 (C)26 (D)80

5、设 a 、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是( (A)若 a ⊥ a ⊥ ? ,则 b∥? b, (C)若 a ⊥? , ? ⊥ ? ,则 a ∥? (B)若 a ∥? , ? ⊥ ? ,则 a ⊥? (D)若 a ⊥ a ⊥ ? ,b⊥ ? ,则 ? ⊥ ? b, )

)

6、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则此函数的解析式为( (A) f ( x) ? 2sin(

?
3

x? ) 3

?

(B) f ( x) ? 2sin( (D) f ( x) ? 2sin(

?

(C) f ( x) ? 2sin( x ?

?

3

)

?

6 6

x ? 1)
2

y

x? ) 6
O 1 4

?

x

-2

7、对一切实数 x,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
2



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(A) (??,?2) 8、定义运算 a ? b ? ?
y

(B) [?2,??)

(C) [?2,2]

(D) [0,??)

?a ( a ? b) 1 ,则函数 f ( x ) ? x ? ( x ? 0) 的图象大致为( x b (a ? b) ?
y y y



1

1 1
x

1 1 (B)
x

1 1 (C)
x

O

O

O

O

(A)

1 (D)

x

9、已知 O 为平面上的定点, A 、 B 、C 是平面上不共线的三点,若 (OB ? OC ? 2OA) ? (OB ? OC ) ? 0 ,则?ABC 是( ) (A)以 AB 为底边的等腰三角形 (C)以 AB 为斜边的直角三角形

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ?

(B)以 BC 为底边的等腰三角形 (D)以 BC 为斜边的直角三角形

1, 3? 10、已知关于 x 的方程 ?2 x 2 ? bx ? c ? 0 ,若 b,c ? ?0,2, ,记“该方程有实数根 x1 , x2 且满足 ?1 ? x1 ? x2 ? 2 ”
为事件 A,则事件 A 发生的概率为( (A) ) (C)

1 4

(B)

3 4

7 8

(D)

15 16

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 11、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 3 ? 3 ? 2n ,则 an ? .

12、某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7, 那么从高三学生中抽取的人数应为 . 13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果主视图、侧视 图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视图对应的四边形为正方形, 那么这个几何体的体积为 . 主视图 侧视图

5) 14、设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 2b ? (4, ,则 cos ? 等 于 .
15、设 m 是一个正整数,对两个正整数 a、b,若 a ? b ? km(k ? Z , k ? 0) ,我 们称 a、b 模 m 同余,用符号 a ? b(Modm) 表示; 在 6 ? b(Modm) 中,当 俯视图

b ? N ,且 m ? 1 时, b 的所有可取值为 m



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三、解答题:总分 75 分 16、 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3, 且 AB ? BC ? 6 , AB与BC 的 夹角为 ? . (Ⅰ )求 ? 的取值范围; (Ⅱ )求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos 2 ? 的最大值.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

17、 (本题满分 12 分)三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC , ?ACB ? 90? , AC ? CB ? 2 . (Ⅰ )求证:平面 PAB ? 平面 ABC ; (Ⅱ )当 ?PCB ? 60? 时,求三棱锥 A ? PCB 的体积. P

B

A

C

18、 (本题满分 12 分) 设函数 y ? f ? x ? 满足:对任意的实数 x ? R, 有 f ?sin x ? ? ? cos 2 x ? cos x ? 2 sin x ? 3.
2

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(Ⅰ )求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ )若方程 f ? x ? ? 2a x ?

1 有解,求实数 a 的取值范围. 2

19、 (本题满分 12 分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产一千件,需要另投入 2.7 万元. 设 该 公 司 年 内 共 生 产 该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R( x) 万 元 , 且

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10 ? . R( x) ? ? 108 1000 ? ? 2 , x ? 10 ? x 3x ?
(I)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式; (Ⅱ )年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

20、 (本题满分 13 分)

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设数列 ?an ? 为单调递增的等差数列, a1 ? 1 ,且 a3 , a6 , a12 依次成等比数列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ )若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;
a

(Ⅲ )若 cn ?

2an

?2 ?
an

2

? 3 ? 2an ? 2

,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

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21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3

(Ⅰ )求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (Ⅱ )若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围; (Ⅲ )试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存 在,说明理由.

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四川省绵阳市 2013 届高三二诊模拟试题 文科数学参考答案
一、选择题:1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C

二、填空题:11、 ?3 ? 2n?1 ( n ? N * ) 12、10 13、 三、解答题: 16、解: (I)由题意知

4 3 3

14、

4 5

15、2,3,4

AB ? BC ?| AB || BC | cos ? ? 6. …………1 分

? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? ??? | AB || BC | sin(? ? ? ) ? | AB || BC | sin ? 2 2 ? ? 1 ??? ??? 1 ? | AB || BC | cos ? tan ? ? ? 6 tan ? ? 3 tan ? .???? 4分 2 2 ? 3 ? S ? 3 3, 即3 ? 3 tan ? ? 3 3. S? ?1 ? tan ? ? 3. 又 ?? ? [0, ? ],?? ? [ , ]. ???? 6分 4 3
(II) f (? ) ? sin
2

? ?

? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos 2 ? ? 1 ? sin 2? ? 2 cos 2 ?
?
4 ).
…………9 分

? 2 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 ? 2 sin( 2? ?

? ? ? 3? 11? ?? ? [ , ],? 2? ? ? [ , ]. 4 3 4 4 2 ? 3? ? ?当2? ? ? , 即? ? 时, f (? )最大, 最大值为3. ????12分 4 4 4
17、证明: )作 PO ? 平面 ABC 于点 O ,∵PA ? PB ? PC , (Ⅰ ∴OA ? OB ? OC ,即 O 为 ?ABC 的外心 又∵?ABC 中, ?ACB ? 90? 故 O 为 AB 边的中点 所以 PO ? 平面 PAB 即证:平面 PAB ? 平面 ABC . ....6 分 ... PA ? PB ? PC , ?PCB ? 60? ,∴?PCB 为正三角形 (Ⅱ )∵ ∵ AC ? CB ? 2 , ∴PA ? PB ? PC ? 2 ∴OA ? PO ?

2
1 S ?ABC ? PO 3

∴ 三棱锥 A ? PCB 的体积 VA? PCB ? VP ? ACB ?

1 1 1 1 2 2 .………….12 分 ? ? AC ? BC ? PO ? ? ? 4 2 ? 3 2 3 2 3

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18、解:⑴ f ?sin x ? ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 ? sin 2 x ? 2 sin x ? 3 ? sin 2 x ? 2 sin x ? 3 所以 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 3?? 1 ? x ? 1?. ⑵ 当x? ① …………………5 分

1 ?1? 时, f ? ? ? 0. 不成立. 2 ?2? 1 1 1 1 3 时, x ? ? 0, 令 t ? ? x, 则 x ? ? t , 0 ? t ? . 2 2 2 2 2
2

② ?1 ? x ? 当

?1 ? ?1 ? ? ? t ? ? 2? ? t ? ? 3 7 2 ? ?2 ? 2a ? ? ? t ? ? 3, t 4t
因为函数 h?t ? ? t ?

7 8 4 ? 3? ?3? ? 3 在 ? 0, ? 上单增,所以 2a ? h? ? ? ? ? a ? ? . 4t 3 3 ? 2? ?2?

③ 当

1 1 1 1 1 ? x ? 1 时, x ? ? 0, 令 t ? x ? , 则 x ? ? t , 0 ? t ? . 2 2 2 2 2
2

?1 ? ?1 ? ? ? t ? ? 2? ? t ? ? 3 7 2 ? ?2 ? 2a ? ? ? t ? ? 3, t 4t
因为函数 h?t ? ? t ?

7 ? 1? ?1? ? 3 在 ? 0, ? 上单增,所以 2a ? h? ? ? 0 ? a ? 0. 4t ? 2? ?2?
……………………12 分

综上,实数 a 的取值范围是 ?? ?,0?.

19、解: (I)当 0 ? x ? 10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

x3 ? 10 ; 30

1000 ? 2.7 x . 3x

∴ 年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式为

? x3 ?8.1x ? 30 ? 10, 0 ? x ? 10, ? W ?? ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?
(Ⅱ )当 0 ? x ? 10 时,由 W ? ? 8.1 ?

…………………6 分

x2 ? 0? 0 ? x ? 9, 10

即年利润 W 在 (0,9) 上单增,在 (9,10) 上单减

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∴ 当 x ? 9 时, W 取得最大值,且 Wmax ? 38.6 (万元) . 当 x ? 10 时, W ? 98 ? (

1000 100 时取“=” ? 2.7 x) ? 98 ? 2 900 ? 38 ,仅当 x ? 3x 9

综 上 可 知 , 当 年 产 量 为 9 千 件 时 , 该 公 司 在 这 一 品 牌 服 装 的 生 产 中 所 获 年 利 润 最 大 , 最 大 值 为 38.6 万 元. …………………12 分 20、解:(Ⅰ )

a12 a6 a12 ? a6 6d ? ? ? ? 2. ? 1 ? 5d ? 2?1 ? 2d ? ? d ? 1.? an ? n. …….4 分 a6 a3 a6 ? a3 3d
an

(Ⅱ )∵bn ? an ? 2

? n ? 2n

∴S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

2Sn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1

相减,得 ? S n ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1

?

2(1 ? 2n ) ?n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 1? 2
…………………….13 分

∴S n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 .







2n 2n ?1 1 1 cn ? ? n ? n ? n ?1 ? n . n n ?1 n 2 n ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 1 2 ? 1 2n



1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 Tn ? ? 0 ? 1 ??? 1 ? 2 ? n ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n . ………13 分 ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? 2 2 ?1
21、解: ) f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) ? 1 ? ?1 , (Ⅰ
2 2

即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,?? ? ;------------3 分

? k ? ?1 ? ---------------------------------------------------------5 分 ? ? ?1 ? k ? 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 或 x 2 ? 4 x ? 3 ? 1 得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2 ,?? ;-------------------------------7 分 (Ⅲ )设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x 2 , y 2 ) , x1 ? x 2 , 1 3 2 2 则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) , 3 2 3 2 2 化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (? x1 ? 2 x1 ) , 3 2 3 2 2 而过 B ( x 2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
(Ⅱ )由(1)可知, ? 1

?

?

?

?

由于两切线是同一直线,

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则有: x1 ? 4 x1 ? 3 ? x 2 ? 4 x 2 ? 3 ,得 x1 ? x 2 ? 4 ,----------------------11 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x 2 ) ? x 2 ? 12 ? 0 3 2 2 即 (4 ? x 2 ) ? 4 ? x 2 ? 12 ? 0 , x 2 ? 4 x 2 ? 4 ? 0 得 x 2 ? 2 ,但当 x 2 ? 2 时,由 x1 ? x 2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。
所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点. --------------------------------14 分

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