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2012届高三数学复习课件(广东文)第3章第2节


☆星火益佰☆精品课件

1.下列叙述中正确的是 ? B   ①若a 2=4,则log a 4=2;

?

②已知a ? 0,a ? 1,b ? 0,则log a=log 1 b;
a

③设a、b、c都是不等于1的正数,则log a b?log b c?log c a=1; 1 ④log

( a2 ?1) ? 0; 2 ⑤已知a ? 0,a ? 1,若log a ? 0,则a ? 1. A.①②③ B.②③ C.①③⑤ D.①④⑤

解析:①中,a 2=4,a可以为-2,但此时log a 4无意义; ④中,a +1 ? 1恒成立,故log ( a2 ?1)
2

1 1 ? 0或log1 无意义; 2 2

⑤中应为0 ? a ? 1,故选B.

? 1 x ( x ? 4) ?( ) 2.已知函数f ( x)= ? 2 , 则f (2+log 2 3)的值为 ? D ? (x +1) ( x ? 4) ?f 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 6 12 24

?

解析:因为3<2+log 2 3<4,3+log 2 3>4, 1 3+log2 3 所以f (2+log 2 3)=f (3+log 2 3)=( ) 2 1 1 3 1 log23 1 log2 3 1 =( ) ?( ) = ?2 = . 2 2 8 24

则? B

1 1 0.3 3.(2009? 津卷)设a=log 1 2,b=log 1 ,c=( ) , 天 2 3 2 3

?

A.a<b<c C.b<c<a

B.a<c<b D.b<a<c

4.方程x

log a x



x

4

x

a2

(a ? 0, 且 ? 1)的解集为{ a,a4}

解析:显然x ? 0,故方程两边都为正,两边取以a为底的 x 9 2 对数,得 log a x?log a x=log a 2 ,即 log a x= log a x-2, a 2 1 2 可化为2 log a x-9 log a x+4=0,所以 log a x= 或4. 2 1 由log a x= =log a a,得x= a; 2 由log a x=4=log a a 4,得x=a 4 .
9 2

1 ax+b 5.若点(2, )既在函数y=2 的图象上,又在它的反函数 4 12 10 ? 的图象上,则a= 7 , b 7 .
1 解析:因为点(2, )在函数y=2ax+b的反函数的图象上, 4 1 根据反函数与原函数图象的对称关系,所以点( , 2) 4 1 1 ax+b 在函数y=2 的图象上.把点(2, )与( ,)分别代入 2 4 4 12 ? ? 2 a ?b 1 ? ?a ? ? 7 ?2 4 ,解得 ? 函数解析式y=2ax+b,得 ? . ? ? 1 a ?b ?b ? 10 4 ?2 ?2 ? 7 ?

对数与对数运算

2lg 2 ? lg 3 例题1:求值: ; 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3
2 lg 2 ? lg 3 解析:原式= 1 ? lg 0.6 ? lg 2 2 lg 2 ? lg 3 = =1. 1 ? lg 2 ? lg 3 ? 1 ? lg 2

反思小结:对数运算法则既要熟练,又要灵活,除了 牢记法则和简单恒等式外,还要掌握一些最基本的运 算方法,如 log a b=log n a n b ? log a n b n ? log 1
a

1 loga b ,a b

? log a a b ? b等,掌握运算规律

a 拓展练习: ?1?已知 lg a ? lg b ? 2lg(a - 2b),求 log 4 的值; b log ? 2? 设 log 2 3=a, 3 7=b,用含a,b的式子表示 log 42 56.

解析: ?由lg a+lg b=2 lg(a-2b), ?1 得a 2-5ab+4b 2=0. a 令t= ,则有t 2-5t+4=0, b 解得t=4或t=1(不符合题意) a a 所以 ? 4, 则 log 4 ? 1. b b

lg 3 ? 2 ?由log 2 3=a,利用换底公式可得 ? a, lg 2 lg 3 即 lg 2 ? . a 同理可得 lg 7=b lg 3. lg 56 lg(7 ? 8) 从而 log 42 56= ? lg 42 lg(7 ? 6) lg 3 b lg 3 ? 3( ) lg 7 ? 3lg 2 ab ? 3 a ? ? ? . lg 7 ? lg 2 ? lg 3 b lg 3 ? lg 3 ? lg 3 ab ? a ? 1 a

对数与对数运算

9 例题2:已知 log a b ? 2logb a ? , 且a ? b ? 1.试比较 2 a - a与b-2b的大小,并说明理由.
9 1 9 解析:由已知log a b+2log b a= ,可得log a b+2? = , 2 log a b 2 1 所以2 ? log a b ? -9log a b+4=0,解得log a b= 或log a b=4. 2 又a ? b ? 1,故log a b ? 1,因此应舍去log a b ? 4.
2 1 1 2 2b 2 b 2 从而得log a b= ,故a =b,即a=b .所以b =? b ? =a b . 2

故要比较a-a与b-2b的大小,只要比较a-a与a-b的大小. 因为a ? 1,a ? b, 故-a ? -b, 所以a-a ? a-b,即a-a ? b-2b .

反思小结:高考试题中,对对数运算的考查历来非常 重视,出现频率相当高,所以对这部分内容,同学们 应加强训练,务求在遇到这类试题时,能快速准确地 作答.

拓展练习: 定义在R上的函数f ? x ? 满足f ( x+4)=f ? x ?, 1 | x-m| 当2 ? x ? 6时,f ? x ?=( ) ? n, f (4) ? 31. 2 (1)求m, n的值; 比较f (log 2 m)与f ? log 2 n ?的大小 (2)

解析: ?因为f ( x+4)=f ? x ?, ?1 所以f ? x ?以4为周期, 1 |2-m| 1 |6-m| 所以f ? 2 ?=f ? 6 ? ,所以( ) ? n ? ( ) ? n, 2 2 所以 | 2-m | = | 6-m | ,所以m=4. 又因为f ? 4 ?=31, 1 |log2 4-4| 所以( ) +n=31,所以n=30. 2

1 1 1 2 ? 因为f (log 2 m)=( )|log2 4-4|+30=( ) 2+30=30+ , ? 2 2 4 1 |log2 30-4| f ? log 2 n ?=( ) +30 2 1 log2 30 4 16 =( ) ?2 +30=30+ 2 30 8 1 8 =30+ ,而 < , 15 4 15 所以f (log 2 m)<f ? log 2 n ?.

对数函数的图象与性质

1 2 例题3:已知函数f ? x ?=log ( x -ax+2a)在(1,+?)上 2 是减函数,求实数a的取值范围.

解析:设u=x -ax+2a ? 0,则y=log 1 u.
2

因为y=log 1 u ? u ? 0 ? 是减函数,
2

2

故要使函数u=x 2-ax+2a是增函数, a 而其增区间为[ ,+?), 2 a 则 ? 1,得a ? 2. 2 又函数u=x 2-ax+2a ? 0 ? x ? 1?, 所以只需u ?1?=1-a+2a ? 0, 即a ? -1. 综上,得实数a的取值范围是[-1, 2].

反思小结:复合函数的单调性问题,先分解成两个 具体函数,再对具体函数分别进行单调性研究是数 学的一种常规转化方法,本质上是换元法的思 想.由于对数的真数必须是正数,因此对真数换元 后,要考虑新变量是正数的条件,否则会扩大解的 范围,造成求解错误. 本题中u=x2-ax+2a>0(x∈(1,+∞))是基础掌握得好 与差的判别点.

拓展练习:函数f ? x ?=log a ( x 2-ax+2)(a ? 0,且a ? 1) 在(2,+?)上恒为正数,求实数a的取值范围.
解析: u=x 2-ax+2 ? 0 ? x ? 2 ?, 设 得u ? 2 ?=4-2a+2 ? 0,则a ? 3. a 3 因为 ? ? 2, 2 2 所以函数u=x 2-ax+2在(2,+?)上是增函数. 于是,当0 ? a ? 1时,函数y=log a u是减函数, 所以f ? x ?=log a ( x -ax+2)在(2,+?)上是减函数.
2

因为0 ? a ? 1,所以4 ? 6-2a ? 6, 所以y ? log a (4-2a+2)=log a (6-2a) ? 0,不合题意; 当a ? 1时,函数y=log a u是增函数, 所以f ? x ?=log a ( x 2-ax+2)在(2,+?)上是增函数, 只需f ? 2 ?=log a (6-2a) ? 0, 5 得6-2a ? 1,所以a ? . 2 5 故实数a的取值范围是(1, ] 2

利用对数函数的性质比较实数的大小

例题4: ?已知log a 5 ? log b 5,比较a、b的大小; ?1

? 2 ? 设f ? x ?=log a (1-x),g ? x ?=log a (1+x)(其中a ? 1), 在公共定义域下,比较f ? x ? 与g ? x ?的大小关系.
1 1 解析: ? 当a ? 1,b ? 1时, ? , ?1 log 5 a log 5 b 即 log 5 b ? log 5 a,所以b ? a ? 1; 1 1 当0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1时, ? ,即 log 5 b ? log 5 a, log 5 a log 5 b

所以0 ? a ? b ? 1;当a ? 1, 0 ? b ? 1时符合题意.

? 2 ?函数f ? x ? 与g ? x ?的定义域公共的部分是(-1,1).
1? x 因为f ? x ?-g ? x ?=log a ? a ? 1? , 1? x 1? x 1? x 所以,当-1 ? x ? 0时, ? 1;当x=0时, =1; 1? x 1? x 1? x 当0 ? x ? 1时,? 0 ? 1. 1? x 于是,当x ? (-1, 0)时,f ? x ? ? g ? x ?; 当x=0时,f ? x ?=g ? x ?;当x ? ? 0,1? 时,f ? x ? ? g ? x ?.

反思小结:比较对数的大小,有三种具体情况:① 同底数,不同真数,利用对数函数的单调性进行判 断;②同真数,不同底数,利用对数换底公式转化 为同底的对数;③不同底数,也不同真数,利用指 数、对数互化或寻找中间量进行判断.(1)中是同真 不同底的两个对数,用对数换底公式比较简便;(2) 题是函数值大小的比较,一般方法是作差,寻找自 变量的取值范围或临界点,再作判断

拓展练习: ?已知m,n ? 0且m、n都不为1. ?1 若log n 2 ? log m 2 ? 0,试比较m、n的大小; 2 ?比较log 0.7 0.8,log1.1 0.9, 0.9三个数的大小. 1.1 ? 解析: ? 当m ? 1,n ? 1时,不符合要求; ?1
1 1 当0 ? m ? 1, 0 ? n ? 1时, ? ? 0, log 2 n log 2 m 即 log 2 m ? log 2 n ? 0, 所以0 ? m ? n ? 1.

? 2 ? 观察数的特点,
知0 ? log 0.7 0.8 ? 1, 1.1 0.9 ? 0,1.10.9 ? 1, log 于是 log1.1 0.9 ? log 0.7 0.8 ? 1.10.9.

反函数

例题5: 已知函数f ? x ?=a x+k的图象过点A ?1,3?,它的 反函数y=f -1 ? x ?的图象过点B ? 2, 0 ?,求函数f ? x ?的 解析式.
解析: 因为点A ?1,3? 在函数f ? x ?=a x+k的图象上, 所以3=a+k . 又点B ? 2, 0 ? 在它的反函数y=f -1 ? x ?的图象上, 所以2=k+1,得k=1,故a=2. 所以f ? x ?=2 x+1.

反思小结:函数与反函数的关系,它的代数意义是 定义域和值域对换,几何意义是图象上点的横、纵 坐标对换,也就是图象关于直线y=x对称.本题中 将点B(2,0)转化成点(0,2),该点就在原函数的图象 上了.

拓展练习:已知点P ?1, 2 ? 在f ? x ?= ax ? b的图象上, 又在它的反函数图象上,求函数f ? x ?的解析式.
解析: 因为点P ?1, 2 ? 在f ? x ?= ax ? b的图象上, 所以2= a ? b . 所以1= 2a ? b . ① ② 又点P ?1, 2 ? 在f ? x ?=的反函数图象上, 由①②解得a=-3,b=7,所以f ? x ?= ?3x ? 7 .

1.对数的概念 对数的定义从运算的角度理解,是指数运算的逆运算. 当a ? 0,且a ? 1时,a b=N 是正数.对式子a b=N 两边 取以a为底的对数,得到log a a b=log a N ? b=log a N . 反之,对式子b=log a N 两边取以a为底的指数,得到 a b=alog a N ? a b=N .在作指数与对数的转换时,可以 通过运算来获得.在相互转化时必须注意:底数和真数 都是正数,如(-2) 2=4,不能转化为2=log (-2) 4,又如 (-2)3=-8都不能进行这种转化;对于含参数的指数式, 如a 2=4,不能无条件地转化为2=log a 4.

2.对数的运算性质 首先要牢记基本恒等式(log a 1=0, a a=1, a a b=b, log log a log a b=b),其次要掌握根据对数的基本运算所得到的 1 性质(log a b=-log 1 b=-log a ),要灵活利用"1" 进行 b a 10 对数式的转化(lg 2=lg =1-lg 5). 5

3.对数函数的图象与性质

?1? 对数的定义是说明性定义,只有形如y=log a x(a ? 0,
且a ? 1)的形式才是对数函数,有两层含义:一是真数 是正数,二是底数a ? 0,且a ? 1.

? 2 ? 对数函数y=log a x(a ? 0,且a ? 1)的单调性由底数a的
大小决定.当0 ? a ? 1时,y=log a x是(0,+?)上的减函 数;当a ? 1时,y=log a x是(0,+?)上的增函数.

? 3? 对数值的符号:当a,b都大于1,或a,b都在0与1之间
时,log a b ? 0;当a,b中一个大于1,另一个在0与1之间时,

? 4 ? 对数函数的图象分布规律:在x轴的上方,随着底数的
由小到大,图象自左向右分布(在x轴下方的情况反过来).

log a b ? 0.

4.有关反函数 只有对应法则是一一对应的函数才存在反函数,如函数 y=x 2,由于其对应法则不是一一对应的,所以该函数不 存在反函数,但函数y=x 2 ( x ? 0)或函数y=x 2 ( x ? 0),它 们都存在反函数,因为它们的对应法则都是一一对应的, 它们的反函数分别为y= x ( x ? 0),y=- x ( x ? 0).对数 函数y=log a x(a ? 0,且a ? 1),将对数式两边取指数运算, 得到a y=x,交换x,y得到它的反函数是y=a x ( x ? R ).同 样可以将指数式两边取对数运算得到指数函数的反函数 是对数函数.掌握了这些关系,解决问题就方便了.如函 数f ? x ?的反函数是y=log 2 x,求f ? 4 ?,只需将x=4看成是函 数y=log 2 x的函数值,所以4=log 2 x,得x=16,即f ? 4 ?=16.

1 1 1.(2010?   辽宁卷)设2 =5 =m,且 ? =2,则m=(    ) a b A. 10 B. 10 C. 20 D. 100
a b

1 1 解析:因为 + =log m 2+log m 5=log m10=2, a b 2 所以m = 10. 又因为m ? 0,所以m= 10.答案:A

  2010? 2.( 四川卷)2log510+log5 0.25=(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析: 510+log 5 0.25 2log =log 5100+log 5 0.25 =log 5 25 =2. 答案:C

  010? 3.(2 天津卷)设a=log 5 4,b=? log 5 3? ,c=log 4 5,
2

则(    ) A.a ? c ? b C.a ? b ? c

B.b ? c ? a D.b ? a ? c

解析: 0 ? log 5 3 ? log 5 4 ? 1, 因为 所以0 ? ? log5 3? ? log 5 3 ? log 5 4 ? 1 ? log 4 5.
2

故b ? a ? c. 答案:A

选题感悟:对数函数是高考函数内容命题的核心知识, 既可用来考查函数知识掌握的程度,又是考查基础知 识和基本能力的重要题型.一般来说以选择题和填空 题考查基本概念,难度中档或以下,若以解答题形式 出现,则能力要求自然就高了.


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