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2016年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)解析版

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2016 年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题 1. (5 分) (2016?河南模拟)已知集合 A={2,3,4,6},B={2,4,5,7},则 A∩B 的子集的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 2. (5 分) (2016?河南模拟)已知复数



=4+2i(i 为虚数单位) ,则复数 z 在平面上

的对应点所在的象

限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分) (2016?河南模拟)下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B.若 p:? x0∈R,x
2

﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x ﹣x﹣1<0
2

2

C.命题“若 x ﹣1=0,则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x ﹣1≠0,则 x≠1 或 x≠﹣1” D.命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题 4. (5 分) (2016?河南模拟)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )

A.3

B.4

C.5

D.6 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,虚轴的一个端点 )

5. (5 分) (2016?河南模拟)已知双曲线 C:

为 A,若 AF 与双曲线 C 的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为( A. +1 B. C. D.

6. (5 分) (2016?河南模拟)已知(

+x ) 展开式中的常数项为 a,且 X~N(1,1) ,则 P(3<X<a)

6

4

=( ) 2 (附:若随机变量 X~N) (μ,? ) ,则 P(μ﹣?<X<μ+?)=68.26%,P(μ﹣2?<X<μ+2?)=95.44%, P(μ﹣3?<X<μ+3?)=99.74%) A.0.043B.0.0215 C.0.3413 D.0.4772 7. (5 分) (2016?河南模拟)底面半径为 ,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( ) A.6π B.12π C.8π D.16π

8. (5 分) (2016?河南模拟)若函数 f(x)=

的值域为实数集 R,则 f(2

)的取

值范围是(

) B. (﹣∞,﹣ ) C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,﹣ )
n

A. (﹣∞,﹣ )

9. (5 分) (2016?河南模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,anan+1=2 ,则 S20=( A.3066 B.3063 C.3060 D.3069 10. (5 分) (2016?河南模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤ 距离为 π,且 f(x)>1 对于任意的 x∈(﹣ A.[ , ] B.[ , ] C.[ , , ]



)相邻两对称中心之间的 )

)恒成立,则 φ 的取值范围是( D.[ , ]
2

11. (5 分) (2016?河南模拟)已知直线 l:y=k(x﹣2)与抛物线 C:y =8x 交于 A,B 两点,点 M(﹣2, 4)满足 ? =0,则|AB|=( )

A.6 B.8 C.10 D.16 12. (5 分) (2016?河南模拟)某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,其中 俯视图是边长为 2 的正三角形,则截去部分和剩余部分的体积之比为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题 13. (5 分) (2016?河南模拟)已知数列{an}、{bn}均为等差数列,且满足 a5+b5=3,a9+b9=19,则 a100+b100=______. 14. (5 分) (2016?河南模拟) 已知平面向量 , , 满足 = +m (m 为实数) , ⊥ , ? =﹣2, | |=2, 则实数 m=______.

15. (5 分) (2016?河南模拟)已知实数 x,y 满足不等式组

,则 z=|x+5y﹣6|的最大值

为______. 3 2 16. (5 分) (2016?河南模拟)已知关于 x 的方程 x ﹣ax ﹣x+1=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范 围为______. 三、解答题 17. (12 分) (2016?河南模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c﹣2acosB=b. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积为 ,且 c +abcosC+a =4,求 a.
2 2

18. (12 分) (2016?河南模拟)已知 A、B 两个盒子中都放有 4 个大小相同的小球,其中 A 盒子中放有 1 个红球,3 个黑球;B 盒子中放有 2 个红球,2 个黑球. (1)若甲从 A 盒子中任取一球、乙从 B 盒子中任取一球,求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率; (2)若甲每次从 A 盒子中任取两球,记下颜色后放回,抽取两次;乙每次从 B 盒子中任取两球,记下颜 色后放回,抽取两次.在四次取球的结果中,记两球颜色相同的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2016?河南模拟)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为正方形,延长 AB 到 D, 使得 AD=BD,平面 AA1C1C⊥平面 ABB1A1,A1C1= AA1,∠C1A1A= .

(Ⅰ)若 E,F 分别为 C1B1,AC 的中点,求证:EF∥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值.

20. (12 分) (2016?河南模拟)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,圆 Q: (x﹣2) +(y﹣

2

) =2 的

2

圆心 Q 在椭圆 C 上,点 P(0, )到椭圆 C 的右焦点的距离为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1,l2,且 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 l2 交圆 Q 于 C,D 两点, 且 M 为 CD 的中点,求△MAB 的面积的取值范围.

21. (12 分) (2016?河南模拟)已知函数 f(x)=a ﹣x(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上有两个零点 x1, x2,且 x1<x2. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 λ>0 时,若不等式 lna> 恒成立,求实数 λ 的取值范围.

x

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?河南模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,交⊙O 于 E,连接 CO 并延长,交 AE 于 G,交 AB 于 F. (Ⅰ)证明: = ? ;

(Ⅱ)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?河南模拟)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y=6,圆 C 的参数方程是 为参数) .以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 射线 OM: θ=α (0<α< ) 与圆 C 的交点为 O、 P 两点, 与直线 l 的交于点 M. 射线 ON: θ=α+ ? 的最大值. (φ

与圆 C 交于 O,Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?河南模拟)设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)<x+3; (Ⅱ)当 a>0 时,证明:f(x)≥ .

2016 年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分) (2016?河南模拟)已知集合 A={2,3,4,6},B={2,4,5,7},则 A∩B 的子集的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集,即可确定出交集的子集个数. 【解答】解:∵A={2,3,4,6},B={2,4,5,7}, ∴A∩B={2,4}, 则集合 A∩B 的子集个数为 2 =4, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2



2. (5 分) (2016?河南模拟)已知复数

=4+2i(i 为虚数单位) ,则复数 z 在平面上的对应点所在的象

限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案. 【解答】解:由 =4+2i,得 ) ,在第四象限. ,

∴复数 z 在平面上的对应点的坐标为(

故选:D. 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 3. (5 分) (2016?河南模拟)下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B.若 p:? x0∈R,x
2

﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x ﹣x﹣1<0
2

2

C.命题“若 x ﹣1=0,则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x ﹣1≠0,则 x≠1 或 x≠﹣1” D.命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题 【分析】举例说明 A 错误;直接写出特称命题的否定说明 B 错误;写出原命题的否命题说明 C 错误;由 复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明 D 正确. 【解答】解:对于 A、由 f(0)=0,不一定有 f(x)是奇函数,如 f(x)=x ;反之,函数 f(x)是奇函 数,也不一定有 f(0)=0,如 f(x)= . ∴“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的既不充分也不必要的条件.故 A 错误; 对于 B、若 p:? x0∈R,x
2 2

﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x ﹣x﹣1≤0.故 B 错误;
2

2

对于 C、命题“若 x ﹣1=0,则 x=1 或 x=﹣1”的否命题是“若 x ﹣1≠0,则 x≠1 且 x≠﹣1”.故 C 错误; 对于 D、如命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题,不妨设 p 为真命题,q 为假命题,则¬p∧q 为假命 题,¬q∧p 为真命题,则(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题;

反之,若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题,则¬p∧q 或¬q∧p 至少有一个真命题.若¬p∧q 真¬q∧p 假,则 p 假 q 真;若¬p∧q 假¬q∧p 真,则 p 真 q 假;不可能 ¬p∧q 与¬q∧p 都为真.故命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p) 为真命题. 故选:D. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查充分必要条件的判断方法,考查特称命题的否定,训练 了复合命题的真假判断方法,是中档题. 4. (5 分) (2016?河南模拟)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 T,S,n 的值,当 T= ,S=10 时满足条件 S﹣T>2, 退出循环,输出 n 的值为 5,从而得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 n=1,S=0,T=40 执行循环体,T=20,S=1,n=2 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=10,S=3,n=3 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=10,S=3,n=3 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T=5,S=6,n=4 不满足条件 S﹣T>2,执行循环体,T= ,S=10,n=5 满足条件 S﹣T>2,退出循环,输出 n 的值为 5. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是 算法这一模块最重要的题型,属于基础题.

5. (5 分) (2016?河南模拟)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,虚轴的一个端点 )

为 A,若 AF 与双曲线 C 的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为( A. +1 B. C. D.

【分析】设出 F(c,0) ,A(0,b) ,双曲线 C 的一条渐近线 y= x,运用两点的斜率公式和两直线垂直 的条件:斜率之积为﹣1,结合双曲线的 a,b,c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:由题意可设 F(c,0) ,A(0,b) , 若 AF 与双曲线 C 的一条渐近线 y= x 垂直, 可得
2

? =﹣1,
2 2 2

即为 ac=b ,由 b =c ﹣a , 2 2 即有 c ﹣ac﹣a =0, 由 e= 可得 e ﹣e﹣1=0, 解得 e= (负的舍去) ,
2

故选:C. 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件:斜率之 积为﹣1,考查运算能力,属于中档题. 6. (5 分) (2016?河南模拟)已知( +x ) 展开式中的常数项为 a,且 X~N(1,1) ,则 P(3<X<a)
6 4

=( ) 2 (附:若随机变量 X~N) (μ,? ) ,则 P(μ﹣?<X<μ+?)=68.26%,P(μ﹣2?<X<μ+2?)=95.44%, P(μ﹣3?<X<μ+3?)=99.74%) A.0.043B.0.0215 C.0.3413 D.0.4772 【分析】根据二项式定理求出 a,进而根据正态分布的对称性,结合已知中的公式,得到答案. 【解答】解: ( +x ) 展开式中通项为:
6 4

x

﹣2(4﹣r)

?x =

6r

x

8r﹣8



令 8r﹣8=0,则 r=1, 故 a= =4,

∵X~N(1,1) , 则 P(﹣1<X<3)=95.44%, 则 P(﹣2<X<4)=99.74%, ∴P(3<X<4)= (99.74%﹣95.44%)=0.0215, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线表示的几何意义,二项式定理的应用,难度中 档. 7. (5 分) (2016?河南模拟)底面半径为 ,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( ) A.6π B.12π C.8π D.16π 【分析】由题意,圆锥轴截面的顶角为 120°,设该圆锥的底面圆心为 O′,球 O 的半径为 R,则 O′O=R﹣ 1,由勾股定理建立方程,求出 R,即可求出外接球 O 的表面积.

【解答】解: 由题意,圆锥轴截面的顶角为 120°,设该圆锥的底面圆心为 O′, 球 O 的半径为 R, 则 O′O=R ﹣1, 由勾股定理可得 R =(R﹣1) +( ) ,∴R=2, 2 ∴球 O 的表面积为 4πR =16π. 故选:D. 【点评】本题考查外接球 O 的表面积,考查学生的计算能力,正确求出球 O 的半径是关键.
2 2 2

8. (5 分) (2016?河南模拟)若函数 f(x)=

的值域为实数集 R,则 f(2

)的取

值范围是(

) B. (﹣∞,﹣ ) C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,﹣ ) ,求出 loga2 的范围,则 f(2 )的取值

A. (﹣∞,﹣ )

【分析】由题意画出图形,得到 0<a<1 且 范围可求.

【解答】解:由 f(x)=

作出函数图象如图,

由图象可知,0<a<1 且 又 f(2 ∴f(2 )= )∈[﹣ ,﹣ ) .

,即 ,



故选:D. 【点评】本题考查函数的值域,考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,考查对数的运算性 质,属中档题. 9. (5 分) (2016?河南模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,anan+1=2 ,则 S20=( A.3066 B.3063 C.3060 D.3069
n



【分析】由 a1=1,anan+1=2 ,可得:n=1 时,a2=2.n≥2 时,

n

=

=2,数列{an}的奇数项与

偶数项分别成等比数列,公比为 2.利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. n 【解答】解:∵a1=1,anan+1=2 , ∴n=1 时,a2=2. n≥2 时, = =2,

∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 2. 则 S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) = + =3×1023=3069.

故选:D. 【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10. (5 分) (2016?河南模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤ 距离为 π,且 f(x)>1 对于任意的 x∈(﹣ A.[ , ] B.[ , ] C.[ , , ] )相邻两对称中心之间的 )

)恒成立,则 φ 的取值范围是( D.[ , ] ,

【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质,求得 ω=1,再根据当 x∈(﹣ 恒成立,可得﹣ +φ≥ ,且 +φ≤ ,由此求得 φ 的取值范围.

)时,sin(x+φ)>

【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤ ∵ =2π,ω=1,f(x)=2sin(x+φ) . , ) ,即 x+φ∈(﹣ +φ≥ +φ, ,且

)相邻两对称中心之间的距离为 π,

当 x∈(﹣

+φ)时,f(x)>1 恒成立, +φ≤ .

∴sin(x+φ)> 恒成立,∴﹣ 求得 ≤φ≤ ,

故选:B. 【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质,函数的恒成立问题,属于中档题. 11. (5 分) (2016?河南模拟)已知直线 l:y=k(x﹣2)与抛物线 C:y =8x 交于 A,B 两点,点 M(﹣2, 4)满足 A.6 ? B.8 =0,则|AB|=( C.10 D.16 )
2

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,直线 y=k(x﹣2)过抛物线的焦点,将直线方程代入抛物线方 程消去 y,根据韦定理表示出 x1+x2 及 x1x2 进而求得 y1y2 和 y1+y2,由 ? =0 即可求得 k 的值,由弦长

公式即可求得|AB|. 2 【解答】解:由抛物线 C:y =8x 可得焦点 F(2,0) ,直线 y=k(x﹣2)过抛物线的焦点, 2 2 2 2 代入抛物线方程,得到 k x ﹣(4k +8)x+4k =0,△>0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . ∴x1+x2= ,x1x2=4.

∴y1+y2= ,y1y2=﹣16, M(﹣2,4) , ? ═(x1+2,y1﹣4) , =(x2+2,y2﹣4) ,

=(x1+2,y1﹣4)?(x2+2,y2﹣4)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2﹣4(y1+y2)+16=0,
2

整理得:k ﹣2k+1=0,解得 k=1, ∴x1+x2=12,x1x2=4. |AB|= ? = ? =16,

故答案选:D. 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积公式、 弦长公式等基础知识与基本技能方法,考查学生的计算能力,属于中档题. 12. (5 分) (2016?河南模拟)某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,其中 俯视图是边长为 2 的正三角形,则截去部分和剩余部分的体积之比为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体为正三棱柱的一部分,其中 M,N 分别为 B1B,B1C1 的中 点,F 点在 A1C1 上,且 FC1= 出. ,则该截面为 AMNF.利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得

【解答】解:如图所示,由三视图可知:该几何体为正三棱柱的一部分,其中 M,N 分别为 B1B,B1C1 的中点,F 点在 A1C1 上,且 FC1= ,则该截面为 AMNF. × ×4=4
2

连接 MN,并延长交 CC1 的延长线于点 E,交 CB 的延长线于点 D,三棱柱的体积为 设截去的部分和剩余的部分的体积分别为 V1,V2,EC1=2,BD=1, ∴ ∴V1=3 ∴ = = ﹣ ﹣ ×2= = .VM﹣ABD= ,V2= ﹣ ×2= = .VA﹣DCE= , =3







【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 二、填空题 13. (5 分) (2016?河南模拟)已知数列{an}、{bn}均为等差数列,且满足 a5+b5=3, a9+b9=19, 则 a100+b100= 383 . 【分析】由数列{an}、{bn}均为等差数列,可得数列{an+bn}是等差数列,由已知求出数列{an+bn}的公差, 代入等差数列的通项公式求得 a100+b100. 【解答】解:∵数列{an},{bn}都是等差数列, 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d1,数列{bn}的首项为 b1,公差为 d2, ∴an=a1+(n﹣1)d1,bn=b1+(n﹣1)d2, 则 an+bn=a1+b1+(d1+d2)n﹣(d1+d2) , ∴数列{an+bn}是以 d1+d2 为公差的等差数列. 由 a5+b5=3,a9+b9=19, 得 ,

∴a100+b100=a5+b5+95(d1+d2)=3+95×4=383. 故答案为:383. 【点评】本题考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质,属于基础题.

14. (5 分) (2016?河南模拟) 已知平面向量 , , 满足 = +m (m 为实数) , ⊥ , ? =﹣2, | |=2, 则实数 m= ﹣2 . 的两边同乘以向量 便可得出 ,带入上式即可求出 m 的值. 【解答】解:在 ; ∵ ∴ ; ,且 ; 两边同乘以 得: ,而根据条件可得到

【分析】可在

∴4=0﹣2m; ∴m=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,以及向量垂直的充要条件.

15. (5 分) (2016?河南模拟)已知实数 x,y 满足不等式组

,则 z=|x+5y﹣6|的最大值



13 . ,通过图

【分析】先画出满足条件的平面区域,求出 A,C 的坐标,令 a=x+5y﹣6 得:y=﹣ x+ + 象求出|a|的最大值即 z 的最大值即可.

【解答】解:实数 x,y 满足不等式组

对应的平面区域如图:

三角形 ABC 的三边及其内部部分:

联立

?

得:A(4,3) .

联立

?

得:B(2,0) .

令 a=x+5y﹣6 得:y=﹣ x+ +



显然直线过 A(4,3)时,a 最大,此时 a=13, 直线过 B(2,0)时,a 最小,此时 a=﹣4,

故 z=|a|,故 z 的最大值是 13, 故答案为:13.

【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.也可以转化为点到直线 的距离公式求解. 16. (5 分) (2016?河南模拟)已知关于 x 的方程 x ﹣ax ﹣x+1=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范 围为 (﹣∞,1) . 【分析】分离参数 a=x 交点个数判断即可. 【解答】解:x ﹣ax ﹣x+1=0, a=x 令 y=x , ,
3 2 3 2

,利用导数判断单调性,画出图象,求解极值,利用 y=a,y=x﹣

y′=
3



x +x﹣2=0,x=1 x<0 时 y′>0, x>1 时,y′>0, 0<x<1 时,y′<0, ∴函数在(﹣∞,0) , (1,+∞)单调递增,在(0,1)单调递减, x=1 时,函数取的极小值为 1﹣1+1=1 ∴y=a,与 y=x 故答案为: (﹣∞,1) . 交点为 1 个时,a<1,

【点评】本题考查了函数的思想,运用求解零点问题,关键构造函数,利用图象交点问题求解,属于中 档题. 三、解答题 17. (12 分) (2016?河南模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c﹣2acosB=b. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积为 ,且 c +abcosC+a =4,求 a.
2 2

【分析】 (1)直接利用正弦定理,三句话内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知条件,结合 sinB ≠0,然后求角 A 的余弦函数值,即可求解; (2)利用△ABC 的面积求出 bc,利用余弦定理以及 c +abcosC+a =4,求出 b +c =8﹣3a ,然后通过余弦 定理求 a. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵2c﹣2acosB=b, ∴由正弦定理可得:2sinC﹣2sinAcosB=sinB,即:2sin(A+B)﹣2sinAcosB=sinB, ∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB,可得:2cosAsinB=sinB, ∵B 为三角形内角,sinB≠0, ∴cosA= , 又∵A∈(0,π) , ∴A= . ,且△ABC 的面积为 = bcsinA= bc,
2 2 2 2 2

(2)∵A=

∴解得:bc=1,

∵c +abcosC+a =4,cosC=

2

2



∴c +ab×
2 2 2

2

+a =4,整理可得:b +c =8﹣3a ,
2 2 2

2

2

2

2

∴a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc=8﹣3a ﹣1,整理可得:a=



【点评】本题考查正弦定理,余弦定理的应用,三角形的面积公式的应用,考查了转化思想,分析问题 解决问题的能力,属于中档题. 18. (12 分) (2016?河南模拟)已知 A、B 两个盒子中都放有 4 个大小相同的小球,其中 A 盒子中放有 1 个红球,3 个黑球;B 盒子中放有 2 个红球,2 个黑球. (1)若甲从 A 盒子中任取一球、乙从 B 盒子中任取一球,求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率; (2)若甲每次从 A 盒子中任取两球,记下颜色后放回,抽取两次;乙每次从 B 盒子中任取两球,记下颜 色后放回,抽取两次.在四次取球的结果中,记两球颜色相同的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【分析】 (1)设事件 A 为“甲、乙两人所取球的颜色不同”,由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球 的颜色不同的概率. (2)依题意 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和数学期望. 【解答】解: (1)设事件 A 为“甲、乙两人所取球的颜色不同”, 则 P(A)=1﹣ = .

(2)依题意 X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 甲每次所取的两球颜色相同的概率为 = ,

乙每次所取的两球颜色相同的概率为



P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= ∴X 的分布列为: X 0 P

=

, + = + + = , , × = ,

+

=



1

2

3

4

EX=

= .

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用. 19. (12 分) (2016?河南模拟)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为正方形,延长 AB 到 D, 使得 AD=BD,平面 AA1C1C⊥平面 ABB1A1,A1C1= AA1,∠C1A1A= .

(Ⅰ)若 E,F 分别为 C1B1,AC 的中点,求证:EF∥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值.

【分析】 (Ⅰ)取 A1C1 的中点 G,连结 FG,EG,则 EG∥A1B1,从而 GE∥ABB1A1,同理得 GF∥平面 ABB1A1,从平面 GEF∥平面 ABB1A1,由此能证明 EF∥平面 ABB1A1. (Ⅱ)连结 AC1,推导出 AC1⊥AA1,从而 AC1⊥平面 ABB1A1,再求出 AC1⊥AB,AA1⊥AB,分别以 AA1,AB,AC1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 A1B1C1 与 平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)取 A1C1 的中点 G,连结 FG,EG, 在△A1B1C1 中,EG 为中位线,∴EG∥A1B1, ∴GE?平面 ABB1A1,A1B1? 平面 ABB1A1, ∴GE∥ABB1A1,同理得 GF∥平面 ABB1A1, 又 GF∩GE=G,∴平面 GEF∥平面 ABB1A1, ∵EF? 平面 GEF,∴EF∥平面 ABB1A1. 解: (Ⅱ)连结 AC1,在△AA1C1 中, ∴由余弦定理得 = + , ﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1= , ,

∴AA1=AC1,△A1AC1 是等腰直角三角形,AC1⊥AA1, 又∵平面 AA1C1C∩平面 ABB1A1=AA1, ∴AC1⊥平面 ABB1A1, ∵AB? 平面 ABB1A1,∴AC1⊥AB, 又∵侧面 ABB1A1 为正方形,∴AA1⊥AB, 分别以 AA1,AB,AC1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AB=1,则 A(0,0,0) ,A1(1,0,0) ,B1(1,1,0) , C1(0,0,1) ,C(﹣1,0,1) ,D(0,2,0) , ∴ =(2,1,﹣1) , =(1,2,﹣1) , =(﹣1,0,1) , =(0,1,0) ,

设平面 A1B1C1 的法向量 =(x,y,z) ,



,取 x=1,得 =(1,0,1) ,

设平面 CB1D 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 a=1,得 =(1,1,3) ,

cos<

>=

=

=



∴平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值为



【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 向量法的合理运用.

20. (12 分) (2016?河南模拟)已知椭圆 C: 圆心 Q 在椭圆 C 上,点 P(0, (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0) ,圆 Q: (x﹣2) +(y﹣ .

2

) =2 的

2

)到椭圆 C 的右焦点的距离为

(2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1,l2,且 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 l2 交圆 Q 于 C,D 两点, 且 M 为 CD 的中点,求△MAB 的面积的取值范围.

【分析】 (1)求得圆 Q 的圆心,代入椭圆方程,运用两点的距离公式,解方程可得 a,b 的值,进而得到 椭圆方程; (2)讨论两直线的斜率不存在和为 0,求得三角形 MAB 的面积为 4;设直线 y=kx+ ,代入圆 Q 的方 程,运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标,求得 MP 的长,再由直线 AB 的方程为 y=﹣ x+ ,

代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式,化简整理,由换元法,结合函数的单 调性,可得面积的范围. 2 2 【解答】解: (1)圆 Q: (x﹣2) +(y﹣ ) =2 的圆心为(2, ) ,

代入椭圆方程可得 由点 P(0,

+

=1, ,即有 = ,

)到椭圆 C 的右焦点的距离为
2 2

解得 c=2,即 a ﹣b =4, 解得 a=2 ,b=2, 即有椭圆的方程为 + =1; ,

(2)当直线 l1:y= ,代入圆的方程可得 x=2± 可得 M 的坐标为(2, ) ,又|AB|=4, 可得△MAB 的面积为 ×2×4=4; 设直线 y=kx+ 可得中点 M(

,代入圆 Q 的方程可得, (1+k )x ﹣4x+2=0, , ) ,

2

2

|MP|=

=



设直线 AB 的方程为 y=﹣ x+ (2+k )x ﹣4
2 2

,代入椭圆方程,可得:

kx﹣4k =0, ,x1x2= ,

2

设(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 x1+x2=

则|AB|=

?

=

?



可得△MAB 的面积为 S= ?

?

?

=4



设 t=4+k (t>4) ,可得

2

=

=



=1,

可得 S<4,且 S>0, 综上可得,△MAB 的面积的取值范围是(0,4].

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用点满足椭圆方程,考查三角形的面积的范围,注意运用 直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及三角形的面积公式,运用换元法和函数的单 调性,属于中档题. 21. (12 分) (2016?河南模拟)已知函数 f(x)=a ﹣x(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上有两个零点 x1, x2,且 x1<x2. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 λ>0 时,若不等式 lna> 【分析】 (Ⅰ)问题等价于 lna= 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 在(0,+∞)上有 2 个解,令 F(x)= ,求出函数的导数,得到
x

函数的单调区间,求出 F(x)的范围,得到关于 a 的不等式,解出即可;

(Ⅱ) 原不等式等价于



恒成立, 令 t=

, t∈ (0, 1) , 则不等式 lnt<

在 t∈(0,1)上恒成立,令 h(t)=lnt﹣
x

,根据函数的单调性求出 λ 的范围即可.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得:a =x 在(0,+∞)上有 2 个解, 即 xlna=lnx?lna= 在(0,+∞)上有 2 个解,

令 F(x)=

,F′(x)=



∴x∈(0,e)时,F′(x)>0,F(x)递增, x∈(e,+∞)时,F′(x)<0,F(x)递减, 故 x>0 时且 x→0 时,F(x)= lnx→﹣∞, x→+∞时,lnx<x,F(x)= lnx→0, 故 F(x)的最大值是 F(e)= , 要使方程 lna= 解得:1<a< 有 2 个解,需满足 0<lna< , ;

(Ⅱ)由 lnx1=x1lna,lnx2=x2lna,

作差得:ln

=(x1﹣x2)lna,即 lna=



故原不等式等价于



恒成立,

∵0<x1<x2,∴ln



恒成立,

令 t=

,t∈(0,1) ,则不等式 lnt<

在 t∈(0,1)上恒成立,

令 h(t)=lnt﹣
2

,又 h′(t)=



0<λ≤1 时,即 λ t﹣1<0 时,h′(t)>0,h(t)在(0,1)大致, 又 h(1)=0,h(t)<0 在(0,1)恒成立,符合题意, λ>1 时,t∈(0, )上大致,在 t∈( ,1)上递减,又 h(1)=0,

∴h(t)在 t∈(0,1)不能恒小于 0,不合题意,舍去, 综上,若不等式 lna> 恒成立,只需 0<λ≤1.

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道综合题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?河南模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,交⊙O 于 E,连接 CO 并延长,交 AE 于 G,交 AB 于 F. (Ⅰ)证明: = ? ;

(Ⅱ)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

【分析】 (Ⅰ) 过 D 作 DM∥AB, 交 AC 于 M, 连接 BE, 证明



, 即可证明:

=

?



(Ⅱ)求出 DC,证明△ADC∽△ABE,可得比例线段,即可求 AD 的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:过 D 作 DM∥AB,交 AC 于 M,连接 BE, ∴ = ,∠BAD=∠ADM,

∵∠BAD=∠CAD, ∴∠CAD=∠ADM, ∴AM=MD,

∴ ∴ 同理 ∴ =

, ,



?

; ,

(Ⅱ)解:∵AD?DE=BD?CD, ∴DC= , ∵△ADC∽△ABE, ∴ ,

∴AD?AE=AB?AC, ∴AD?(AD+DE)=AB?AC, ∴AD =AB?AC﹣AD?DE=AB?AC﹣BD?DC=3× ∴AD= .
2

=



【点评】本题考查比例线段,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?河南模拟)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y=6,圆 C 的参数方程是 为参数) .以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 射线 OM: θ=α (0<α< ) 与圆 C 的交点为 O、 P 两点, 与直线 l 的交于点 M. 射线 ON: θ=α+ ? 的最大值. (φ (φ

与圆 C 交于 O,Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

【分析】 (I)直线 l 的方程是 y=6,利用 y=ρsinθ 可得极坐标方程.圆 C 的参数方程是 为参数) ,利用 cos φ+sin φ=1 可得普通方程,进而化为极坐标方程.
2 2

(II)由题意可得:点 P,M 的极坐标方程为: (2sinα,α) ,

.可得

=

.同

理可得:

=

,即可得出.

【解答】解: (I)直线 l 的方程是 y=6,可得极坐标方程:ρsinθ=6. 圆 C 的参数方程是
2 2

(φ 为参数) ,可得普通方程:x +(y﹣1) =1,
2

2

2

展开为 x +y ﹣2y=0.化为极坐标方程:ρ ﹣2ρsinθ=0,即 ρ=2sinθ. (II)由题意可得:点 P,M 的极坐标方程为: (2sinα,α) , ∴|OP|=2sinα,|OM|= ,可得 = . .

同理可得: ∴ ? =

=

= .当

. 时,取等号.

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、 诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?河南模拟)设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)<x+3; (Ⅱ)当 a>0 时,证明:f(x)≥ .

【分析】 (I)当 a=1 时,不等式 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|=

.由 f(x)<x+3,可得:

,或

,或

,解出即可得出.

(II)当 a>0 时,f(x)=|2x+a|+|x﹣ |=

.利用单调性即可证明.

【解答】解: (I)当 a=1 时,不等式 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|=



由 f(x)<x+3,可得: 解得: ,或

,或

,或



,或 .



∴不等式 f(x)<x+3 的解集为:

证明: (II)当 a>0 时,f(x)=|2x+a|+|x﹣ |=



当 x> 时,f(x)> +a. 当 x<﹣ 时,f(x)> + . 当 时, + ≤f(x)≤ +a. = ,当且仅当 a= 时取等号.

∴f(x)min= + ≥

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力, 属于中档题.


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