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2.3 幂函数 课件


第1课时

函数的生活实例
问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 需要付的钱数 p = w 元, 这里p是w的函数. y?x

问题2:如果如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 2 S = a2 , 这里S是a的函数. y?x
问题3:如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V = a3 ,这里V是a

的函数. y?

x

3

问题4:如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形 1 1 的边长a = S 2 , 这里a是S的函数. y ? x2 问题5:如果t 秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速 ?1 度v = t ?1 km/s, 这里v是t的函数. y?x 思考3:若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 ? 表示,则它们的函数关系式将是: y ? x

一般地,函数 y = xα 叫做幂函数, 其中x是自变量,α是常数. 说明: (1)y = xα 中,x前面的系数是1,并且 后面也没有常数项; (2)要确定一个幂函数,只需要知道常 数α的值即可.

试一试 例1 判断下列函数是否为幂函数. (1) y = x4 1 (2) y ? 2 x (3) y = -x2 (5) y = 2 x2 (6) y = x3+1

(7) y ? 1
(8) y ? 1 x

(4) y ? x

1 2

例2 在同一平面直角坐标系内作出幂函
2 3 1 2 ?1

数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象:

展示

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

所有的幂函数都 经过定点(1,1).

-3

性质初探
思考4:注意到所 有的幂函数图像都 过哪个定点,这是 偶然还是必然?

性质初探 思考5:这些函 数的对称性如何? 你能总结出规律 吗?

当α为奇数时,幂函数是奇函数; 当α为偶数时,幂函数是偶函数.

性质初探 思考6:在第一 象限内,哪些函 数是增函数,哪 些函数是减函数? 你能总结出规律 吗? 当α >0 时,幂函数是增函数; 当α <0 时,幂函数是减函数.

观察图象,将你发现的结论填在下表中
解析式

y?x
y
(1,1) o x

y?x
y

2

y?x
y
o

3

y?x
y
(1,1) o

1 2

y?x
y
o

?1

图 象

(1,1)

(1,1) x

(1,1) x

o

x

x

定义 域

R R

R

R R

值 域
奇偶 性 单调 性 定 点

?0, ??)
偶函数
(??, 0) 减 (0, ??) 增

?0, ??) ?0, ??)
非奇非偶
[0, ??) 增

(??,0)∪(0, ??) (??,0)∪(0, ??)

奇函数
R上 增函数

奇函数
R上 增函数

奇函数
(??, 0) 减 (0, ??) 减

(1,1)

例3 已知幂函数y=f(x)过(2, 2 ), 求这个幂函数的解析式

性质再探 幂函数的单调性 思考7:当α >0时,在第一象限内,幂函 数是增函数,增长趋势却各不相同,你 想知道它的规律吗?

当α >1 时,幂函 数增长先慢后快, 是“激增型”; 当 0<α <1 时, 幂函数增长先快后 慢,是“缓增型”.

思考8:当α <0时,幂函数是减函数, 观察下列幂函数在第一象限内的图像, 你能发现它的规律吗?
函数图象向上与y 轴无限地接近,向 右与x轴无限地接 近,且在直线x =1 的右侧,α越小, 函数图像越接近x 轴.
3

2

1

y?x y ? x ?1
y ? x ?2
0 1 2 3

?1 2

0

幂函数的性质:
α的范围 在第一象 限内的图 像 单调性
在[0,+∞)上单调增

0<α<1

α=1

α>1

α<0

在(0,+∞) 上单调减

奇偶性

当α为奇数时,幂函数是奇函数; 当α为偶数时,幂函数是偶函数.

统一性质 过定点(1,1),在(0,+∞)上均有定义.

沙场练兵 练习1 比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 和 1.7 ?2? (2) ? ? ?3?
2 5 2 ? 3 1 3 1 3 2 ? 3

< < >

?? ? 和? ? ?6?
2 ? 3

(3) 4.1 和 3.8

注意:利用幂函数的增减性比较两个数的大小,当不能直 接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比 较上述两个数的大小.

练习2 如图,幂函数 y ? x (i=1,2,3, 4,5)在第一象限内对应的图像分别是C1, C2,C3,C4,C5,则 ? i 的大小如何排 列?

?i

C5<C4<C2<C1<C3

能力提升 如果函数 f ( x ) ? (2 m ? m ) x 是幂函 数,并且是奇函数,求满足条件的实数 m的值.
2 m

小结
(1) 幂函数的定义;
一般地,函数 y = xα 叫做幂函数,其中x是 自变量,α是常数.

(2) 幂函数的性质; (3)幂函数的简单应用.

作业:

谢谢大家!


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