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§2.3幂函数

时间:2015-09-20


《§2.3 幂函数》

一、课标要求:
⑴ 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像,了解幂函数的图象和性质它们的变化情况。 ⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研 究幂函数的图象和性质.并能进行简单的应用. ⑶ 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二、教学重难点:
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质, 体会图象的变化

规律. 三、设计思路:
创设情境 问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

四、教学过程:

环 节

教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5) ,思考下列 问题:

师生双边互动 生:独立思考完 成引例.

创 设

1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征? (答案) 师:引导学生分 析归纳概括得 出结论.

情 境

1. (1)乘以 1; (2)求平方; (3)求立方; (4) 开方; (5)取倒数(或求-1 次方) . 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 y ? x ? 的函数,其中 x 是自变量,是 ? 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师生:共同辨析 这种新函数与 指数函数的异 同. 师:说明: 幂函数的 定义来自于实 践,它同指数函 数、对数函数一 样,也是基本初 等函数,同样也 是一种“形式定 义”的函数,引 导学生注意辨 析. 生:利用所学知 识和方法尝试 作出五个具体 幂函数的图象, 观察所图象,体 会幂函数的变 化规律.

y ? x ? ( a ? R)
的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x ; ( 3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x 3 . 探
1 2





1 列表(略) [解] ○ 2 图象 ○



师:引导学生应 用画函数的性 质画图象,如: 定义域、奇偶 性.

师生共同分析, 强调画图象易 犯的错误.

环 节

教学内容设计 材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象 上凸;

师生双边互动 师:引导学生观 察图象,归纳概 括幂函数的的 性质及图象变 化规律.









生:观察图象, 分组讨论,探究 ? ? 0 时, (3) 幂函数的图象在区间 (0,??) 上 幂函数的性质 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 和 图 象 的 变 化 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 规律,并展示各 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 自 的 结 论 进 行 交流评析,并填

材料三:观察与思考 观察图象,总结填写下表:
y?x
1

表.

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 师:引导学生回 顾讨论函数性 质的方法,规范 解题格式与步 骤. 并指出函 数单调性是判 别大小的重要 工具,幂函数的 图象可以在单 调性、奇偶性基 础上较快描出.

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1)1.5 , a (2) (2 ? a 2 )
? 2 3
1 .5

,2

?

2 3

2

[例 3] 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作 出它的图象,并根据图象说明函数的单调性. 生:独立思考, 给出解答,共同 讨论、评析. 环 节 呈现教学材料 师生互动设计

1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂 的值的大小: (1) 2.3 , 2.4 ;
6
6

3 4

3 4

(2) 0.315 , 0.355 ; (3) ( 2 )
? 1

?

3 2

尝 试 练 习

, ( 3)
? 1 2

?

3 2



(4) 1.1 2 , 0.9



2.作出函数 y ? x 的图象,根据图象讨论这 个函数有哪些性质,并给出证明. 3.作出函数 y ? x ?2 和函数 y ? ( x ? 3) ?2 的图 象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 3 .
3 2

3 2

规律 1:在第一 1.如图所示,曲线是幂 函数 y ? x 在第一象限内的 图 象 , 已 知 探 究 与 发 现
?

象限,作直线

? 分别取

x ? a(a ? 1) ,
它同各幂函数 图象相交,按交 点从下到上的

1 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图 2
象依次为: .

2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你 能发现什么规律? (1) y ? x
?3

顺序,幂指数按 从小到大的顺 序排列.

和y?x

?

1 3



5

4

(2) y ? x 4 和 y ? x 5 .

规律 2:幂指数 互为倒数的幂 函数在第一象 限内的图象关 于直线 y ? x 对 称. 作 业 回 馈 环 节 1.在函数 y ?

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 2 x
C.2 D.3

中,幂函数的个数为: A.0 B.1

呈现教学材料 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) , 试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体 通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速 率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3) 已知 (2) 中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口 的平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 ( y 亿) , 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界 人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解 析式.

师生互动设计

课 外 活 动 收 获 与 体 会

利用几何画板探索一般幂函数 y ? x ? 的图象 随 ? 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数 的奇偶性、单调性之间的关系? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些 方面?

五、例、习题选

A组
1.下列所给的函数中是幂函数的是 A. y ? ? x3 B. y ? x ?3 ( ) D. y ? x3 ?1

C. y ? 2 x2

2.下列函数中既是偶函数又在 ? ??,0? 是增函数的是(
4 3



A. y ? x 3

B.

y ? x2
?1 ?

C. y ? x ?2

D. y ? x

?

1 4

3.函数 y ? x 在区间 ? , 2 ? 上的最大值是 ?2 ?

?2

(

)

A.

1 4

B.-1

C.4

D.-4

4.当 x∈(1,+∞)时,幂函数 y= x 的图象恒在 y=x 的下方,则α 的取值范 围是( ) A.0<α <1 B.α <1 C.α >0 D.α <0

a

5.若α ∈(-1,0),则下列不等式中正确的是 A. 2 > 2
?
??

(
?

)
??

> 0.2

?

B. 0.2 > 2

>2

?

C. 2

??

> 0.2 > 2

?

?

D. 2 > 0.2 > 2

?

?

??

6.幂函数 y ? x m , y ? xn , y ? x p 的图象如下图所示,则( A.m>n>p C.n>p>m B.m>p>n D. p>n>m

)

7.函数 y ? x m n, m ? N , 且n, m互质 的图象如图所视,则(

n

?

?



A.m 为奇数,n 为偶数 B.m,n 均为奇数,

n ?1 m

n ?1 m n C.m 为奇数,n 为偶数 >1 m n D.m 为偶数,n 为奇数 ? 1 m
8.幂函数的图象一定不经过 ( ) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第四象限 四象限 9.若 x ? 81 ,则 x=______.
4

D.第一、

3.8 , -1.9 10.试用“>”号连接下列各数大小: 4.1 ,

2 5

-

2 3

-

3 5



11.已知 27 ? ? ?

?1? ? 3?

2 x ?1

,则 x 的取值范围是_________________.

12.若幂函数的图象过点 ?

?1 ? , 2 ? ,则该函数的解析式为 ?2 ?

.

13.比较下列各组中两个值的大小。
2 3
2

(1) 2.2

?

, 1.8 3

(2) ? ?1.7 ?

?

1 5

, ? ?1.9 ?

?

1 5

(3) 1.3 4 , 1.3

?

3

?

4 5

? 2-x ? 1, ( x≤0) ? , 若 f(x0 )>1 ,求 x 0 的取值范。 14. f(x)= ? 1 2 ? ? x ,(x>0)
15.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2,8) (1)求此函数的解析式。 (2)判断此函数的单调性,并证明。

参考答案:
1、B 2、C 3、C
2 2

4、B
3

5、B

6、 C

7、A
-1

8、 C

9、 ±3 , 10、 4.15 >3.8 3 >-1.9 5 , 11、 (-?,-1) ,4. y=x
? 2 3
2 3

13.(1) 2.2

> 1.8

(2) ? ?1.7 ?

?

1 5

< ? ?1.9 ?

?

1 5

(3)1.3

?

3 4

> 1.3

?

4 5

14. (-?,-1) ? (1,?) 15.(1) f(x)=x ,(x∈R) (2)递增,证明(略)
3

B组

1.如图,函数

的图象大致是(

).

2.函数 y ? x 与 y ? x 3 的图象(
3

1

). (B)关于 x 轴对称 (D)关于直线 y=x 对称

(A)关于原点对称 (C)关于 y 轴对称
1 ? 1 1

3. a ? 1.2 2 , b ? 0.9 2 , c ? 1.12 的大小关系是( (A)c<a<b (C)b<a<c
3

).

(B)a<c<b (D)c<b<a

4.

?? -3 ?2 ? 2 ? ? ?3?3 ? ?27 学生甲: ? ? ?? -3 ? ? ? 9 ? ? 3 学生乙: ? ?
2 3 2 3 2 3 2 2







?

? 27

A.甲对,乙不对 C.甲、乙都对

B.甲不对,乙对 D.甲、乙都不对 )

5.下列函数中,值域为(-∞,+∞)的是(

(A)y=2

x

(B)y=x
1

2

(C)y=x

-2

(D)y=log ax (a>0, a≠1)

6.函数 y ? x n ( n ? N , n ? 2 )的图象只可能是(



7.考虑如下四个判断:

(iv)已知 100 =50,10 =2,则 2a+b=1. 其中正确的有 A.0 个 个 ( ) B.1 个 D.3 个 C.2

a

b

8.下列函数中既是单调递增,又是奇函数的是( A.y = x-1 B. y ? x 3
2


3

C. y ? x 5

D. y ? x 5

2

?1? 9.求函数 f ? x ? ? ? ? ?3?
10 . 函 数
2

1-x

的定义域
1 2



y ? ( x ? 3 x ? 1)

的定义域是

x ? ? 0,1 ? , 那 么 函 数 的 值域

_________________. 1 11.函数 y= x 的值域是 3 ?1 12.已知 f ( x ) 为幂函数,且

.

f (?3) ? 9 ,则 f (3) ? ____________.

x x 13. 求函数 y ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 x ? ? ?1, 2? 的最大、 最小值及相应的 x 的值.

?

?

14.函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c 对一切 x ? R 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,且

f ? 0? ? 3 ,试比较 ?1.8 ? 与 ? 2.3? 的大小
b c

15.幂函数 y ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m2 ? 2 m ? 2

当 x ? ? 0, ??? 时,y 随 x 的增大而减

小,求实数 m 的值。

参考答案:
1、D 2、 D 3、D 4、B 5、 D 6、C 7、 A 8、 C

9、 (-?,1)

10、 (1, 5)

11、 (-∞, 0)∪(0, +∞) 12、 9

13.当 x=1时,ymin =-1;当x=2时,ymax =3. 14. 由 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 得

b ? 1 ? b ? 2 对;由 f ? 0? ? 3 ,得 c=3 2

2 3 所以 1.8 ? 2.3 ,即 ?1.8 ? < ? 2.3? y ? x m ? m ? 1 ? 1 x
b c

?

2

?

m2 ? 2 m ? 2

15.由幂函数 y ? x? 的形式得 m ? m ? 1 ? 1 得 m=2 或-1,
2

当 m=-1 时, y ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m 2 ? 2 m ?2

为 y ? x ,不合题意。

当 m=2 时, y ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m2 ? 2 m ? 2

-2 为 y ? x ,符合题意。

所以,m =2


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