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函数的定义域和值域、解析式和分段函数


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考点 4

函数的定义域和值域、解析式和分段函数 【考点分类】

热点一 函数的定义域和值域
1,【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误!未找到引用源。的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.( 0,1]

D.[0,1] ( )

2.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1,0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定 义域( A. (?1,1) ) B. (?1, ? )

1 2

C. (?1,0)

D. ( ,1)

1 2

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 】设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为 ( ) (A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) (??, ?1] ? [1, ??) (D) (??, ?1) ? (1, ??) ( )

4.【20 12 年高考(江西理) 下列函数中,与函数 y= 】

3

1 定义域相同的函数为 x
D.

A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C.y=xex

sin x x
x

5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】函数 f ( x) ? 1 ? 2 ? A. (?3, 0] B. (?3, 1] C. (??, ?3) ? (?3, 0] D. (??, ?3) ? (?3,1]

1 的定义域为( x?3



6.【2013年全国高考新课标(I)理科】若函数f(x)=(1-x )(x +ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是

2

2

______. 7. 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 【 (安徽卷文科) 函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. 】
8.【2012 年高考(广东文) (函数)函数 y ? 】

1 x

x ?1 的定义域为__________. x

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】函数 f ( x) ? ?

?log 1 x, ? 2 ? 2x , ?

x ?1
的值域为_________.

x ?1

【方法总结】
求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为 零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求

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了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法.

热点二

函数的解析式

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 】定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当

0 ? x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.
11.【2012 年高考(安徽理) 下列函数中,不满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的是 】





A. f ( x) ? x

B. f ( x) ? x ? x

C. f ( x) ? x ??

D. f ( x) ? ? x

12.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】已知函数 数 a ? ____________.

f ( x) ? x ? 1 ,若 f (a) ? 3 ,则实

13.【2012 年高考(上海理 ) 已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 】
2

g (?1) ? _______ .

【方法总结】
函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;

?1? (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解 ?x ?
方程组求出 f(x).

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热点三 分段函数
?-x2+2x ? 14.【2013 年全国高考新课标(I)理科】已知函数 f(x)=? ? ?ln(x+1)

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

) A、 (-∞,0] B、 (-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0]

? x 2 ? 1( x ? 1) 15.【2012 年高考(江西理) 若函数 f ( x ) ? ? 】 ,则 f ( f (10)) =( ) ?lg x( x ? 1)
A.lg101 B.2 C.1 D.0

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16.(2012 年高考(福建理) 设函数 D( x) ? ? )

?1, x为有理数 ? ?0, x为无理数 ?

,则下列结论错误的是(



A. D( x) 的值域为 ?0,1? B. D( x) 是偶函数 C. D( x) 不是 周期函数 D. D( x) 不是单调函数 17.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】

?2 x3 , x ? 0, ? ? ? ?? ? 已知函数 f ? x ? ? ? ? 则f ? f ? ? ? ? ________ ? ? 4 ?? ?? tan x, 0 ? x ? , ? 2

.

【方法总结】
对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量 的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函 数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.

【考点剖析】

一.明确要求
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.

二.命题方向
1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点. 2.本节是函数部分的基础,以考查函数的定义域、值域为主,求函数定义域是高考的热点,而求函数 值域是高考的难点. 3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题的形式出现.

三.规律总结

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一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的 方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a, 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; b), ②若 y=f(g(x)) 的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时, 应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函 数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f:A→B 的三 要素是两个集合 A、B 和对应关系 f.

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】函数 f ( x ) ? ln
(A)(0,+∞) (B)(1,+∞) (C)(0,1)
1 x ? x 2 的定义域为( x ?1

)

(D)(0,1) ? (1,+ ? ) )

2. 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】函数 y ? ln(2 ? x ? x 2 ) 的定义域是(
A. (-1,2) C. (-2,1) B. (??, ?2) ? (1, ??) D. [?2,1)

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? 3. 【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】已知函数 f ? x ? ? ? x 2 , 则 f ? f ? ? ? 的值是( ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
A. 9 B.



1 9

C. ?9

D. ?

1 9
的定义域为( )

4. 【北京四中 2012-2013 年度第二学期高三年级期中数学测试】函数
A. B. C. D.
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5. 【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】

2 log5 ( ? 1) x 函数 f ( x) ? 的定义域是( 1? x



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D. (1, 2)

A.(0,1]

B. [1, 2)

C. (0,1)

6. 【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称
这些函数为“同族函数” ,那么函数解析式为 y=x2,值域为(1,4)的“同族函数”共有( A、7 个 B、8 个 C、9 个 D、10 个 )

7. 【2013 届河北省重点中学联合考试】函数 f(x)= a x ? 2 (a>0,且 a≠1)的定义域为{x|x≤-
= .

1 },则 a 2

? x ? 1, x ? 0 8. 云南玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考】 【 已知函数 f ( x) ? ? x , f ( f (0) ? 3) ? 则 ?e , x ? 0

,

?log 1 x, x ? 1 ? 9.【东北三校 2013 届高三 4 月第二次联考】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (2)) ? ?1 ? 2 x , x ? 1 ?

.

? x 2 ? 3x 10.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f ( x) ? ? ?lg x
二.能力拔高

x ? 5, x ? 5,

则 f ( f (10)) 的值为

.

11.【江西省宜春市 2013 届高三四月模拟考试】函数 f ( x) ? log 2 ( x ?1 ? 1) 的值域为(
A.R C. (??, 0) ? (0, ??) B. (0, ??) D. (??,1) ? (0, ??)
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2 x ? 3( x ? 0) ? 12. 【内蒙古赤峰市 2013 届高三最后一次仿真统考】 已知 f ( x) ? ? , f () 等于 则 2 ( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2)( x ? 0)
A.1 B.2 C.0 D.-1



13.【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数.若对于 x ? 0 ,都有
f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ,且当 x ? ? 0, 2 ?时,f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? , 则 f ? 2012 ? ? f ? ?2013? ? (
A.1 B.2 C. ?1 D. ?2 )

? ?1, x ? 0, 14.【云南师大附中 2013 届高三适应性月考卷(三) 】已知函数 f ( x ) ? ? 2 则满足 ? x ? 1, x ? 0,
不等式 f (3 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围为(
2

) C. (-3,1) D. (-3,- 3 )

A. ? ?3, 0 ?

B. (-3,0)

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a x ? 2 的值域为_________.

15.【天津一中 2012—2013 学年高三数学一月考】函数 f(x)=ax+

? x , x ? x2 , 16. 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】对任意两个实数 x1 , x2 ,定义 max ? x1 , x2 ? ? ? 1 1 若 ? x2 , x1 ? x2 .

f ? x ? ? x 2 ? 2 , g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ? ? 的最小值为



? x 2 ? 1, x ? 0 17. 【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f ? x ? ? ? ,则满足不等式 x?0 ?1,
f ? 2 ? x 2 ? ? f ? x ? 的 x 的取值范围是
.

18. 【湖南师大附中 2013 届高三第六次月考】设函数 f ( x) ? x ? a ? ax, 其中 a 为常数若函数 f (x) 存在最小值的
充要条件是 a ? A, 则(1)集合 A ? _______;(2)当 a ? A 时,函数 f (x) 的最小值为_________.
? ? 1,x∈[0,1] ? x-3,x∈(-∞, 0)∪(1, +∞) ?

19. 【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】已知 f (x)=?
则 x 的取值集合为 .

,若 f [f (x)]=1 成立,

20.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】设 g ( x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若
f ( x) ? 2 x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [?1,3] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为________.

三.提升自我

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? 1? x2 0 ? x ?1 ? 21. 【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三下学期 6 月适应性考试】已知 f ( x) ? ? ?? 1 ? x 2 ?1 ? x ? 0 ?
0 ?| m |? 1,0 ?| n |? 1, mn ? 0 ,则使不等式 f (m) ? f (n) ? 0 成立的 m 和 n 还应满足条件是(
A. m ? n ? 0 B. m ? n ? 0 C. m ? n ? 0 D. m ? n ? 0 )



x 22. 【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】 函数 f ( x) 的定义域为 D, 若对任意的 x1 、 2 ? D , x1 ? x2 当
时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在 D 上为“非减函数” .设函数 g ( x) 在 [0,1] 上为“非减函数” ,且满足 以下三个条件: (1)g (0) ? 0 ; (2)g ( ) ?

x 3

1 (3) g ( x) ; g (1 ? x) ? 1 ? g ( x) ,则 g (1) ? 2

、g (

5 )? 12



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23. 【上海市 2013 届高考虹口二模卷】已知函数

f ( x) ?

x2 ?( a ?1) x ?2 a ? 2 2 x2 ? ax ?2 a 的定义域是使得解析式有


意义的 x 的集合,如果对于定义域内的任意实数 x,函数值均为正,则实数 a 的取值范围是
y=g(x) y=g(x) y=h(x) 图① x1 图② x2 y=h(x)

24. 【山东省枣庄市 2013 届高三第一次模拟考试】

函数 f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为



25. 【上海市 2013 届高考闵行二模卷】设 f (x)是定义在 R 上的函数,若 f (0)= 1 ,且对任意的 x?R,满足 f (x+2)-f 8
(x)≤3x, f (x+4)-f (x)≥10?3x,则 f (2014)= .

【考点预测】

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1. 若函数 f ( x) 对任意的 x ?R 都有 f ( x ? 3) ? ? f ( x ? 1) ,且 f (1) ? 2013 ,则 f [ f (2013) ? 2] ? 1 ? ( A. ?2013 2.函数 y ? B. ?2012 C. 2012 D. 2013



ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为______________.

? 1 x ( ) ? 1, ( x ? 0) ? 3.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,对于下列命题: ?? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) ?

①函数 f ( x) 的最小值是 0;②函数 f ( x) 在 R 上是单调递减函数; ③若 f ( x) ? 1, 则x ? ?1 ;④若函数 y ? f ( x) ? a 有三个零点,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 ; ⑤函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称.其中正确命题的序号是______. (填上 你认为所有正确命题的序号) .

y

O

2

x

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4.设 OA ? ? x, a ? x ? , OB ? ? x,2 ? , x ? ?1,2 ? ,且 OA ? OB ,则函数 f ( x) ? log a

1 a

x ? 1 的最大值为

.

ax 5. 定义: ? m ? 表示大于或等于 ? m ? 的最小整数( m 是实数) .若函数 f ( x) ? x (a ? 0, a ? 1) ,则 a ?1
函数 g ( x) ?? f ( x) ?

1 1 ? ? ? f (? x) ? ? 的值域为____. 2 2


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