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数学的故乡与人类文明的发源地


数学的故乡与人类文明的发源地
引言 纵观数学学科的发展,不由得让人联想:它就像一枝巍然挺立的大树,它从 大地汲取养分,有树干而分枝,由树枝而分杈,由树杈而分叶,枝繁叶茂。它们 时而相互交汇,时而相互分离,在分离中发展,在发展中交汇。时至今日,有些 分支似乎已经没有了再次交融的机会,而有些分支似乎仍然有着再次相会的可 能。从远处眺望,它盘根错节,你中有我,我中有你。 数学

发展的历史告诉我们, 社会的需求和理论彼此之间的渗透把数学推向前 进, 并揭示出这些理论所反映的现实世界中各种关系的丰富多彩。 如果追溯本源, 这棵大树的幼芽只是最简单的算术和几何,各分支的变化始终脱离不了“数”与 “形”的概念。 那么, 这棵大树的故乡在哪里呢?这要从人类社会的发展来说起。人类社会 已经经历了大约一百万年以上的发展历史了。在这漫长的岁月中,只有五、六千 年人类才脱离了原始社会阶段,进入了有着人类智慧标记的时代。 数与形的最初概念可以追溯到旧石器时代。 穴居的人类已经能够制造工具并 开始使用火。他们为了采集食物而狩猎、捕鱼,在这种集体化、社会化的劳动中 他们需要联系、交流,于是简单的语言就产生。随着生产力的发展,渔猎品收获 日夜增多,人们为了分配和储藏,便形成了数的概念。到了旧石器时代的后期, 人类又发明简单的记事的形式, 考古学家在这一时期的许多洞穴中发现了不少形 象十分生动的动物壁画。这一古代艺术反映了当时人类对于图形的初步认识。 大约在一万年前,亚非欧一些地区进入了新石器时代。这时,社会生产力发 生了重大变革是畜牧业和农业的出现, 生产工具已有了磨制石器和石木结合的复 合工具,特别是到了后期,由于金属工具的出现,使社会生产力有了更大规模的 发展。农业实践促进了人类对于气候、季节、和历法的认识;并在交换产品中由 计数而引申到记数和计算方法的出现;由房屋建筑、冶金、制陶、纺织、运输而 发展了人们对于度量和几何图形的认识。 也正是在这一时期,在那些需要兴建水利工程的大河流域和商业发达的地 区,数学的萌芽诞生了,它们也是人类文明的发源地。东亚的黄河、长江流域, 南亚的印度河、恒河流域,西亚的幼发拉底河、底格里斯河流域,濒临里海、波 斯湾的伊朗, 位于南欧、 伸入地中海的希腊, 以及美洲、 非洲和稍后崛起的西欧, 都对人类文明的发展做出了贡献。 1.埃及 埃及是人类最早的文明发源地之一。它位于尼罗河两岸,一部分是夹在两个 高原中间的狭长谷地,叫做上埃及,一部分是尼罗河三角洲,叫做下埃及。大约 在公元前 4000 年南北两个不同的王国为了占有全埃及而进行了长期的争夺。到 了公元前 3200 年,完成了南北的统一,建都在下游的孟菲斯。 尼罗河定期泛滥,通常每年的七月开始,淹没全部谷地,到了十一月洪水逐 渐退落,土地上遗留着肥沃的淤泥。正月,人们在松软的土壤里播种,湿润的土 地很容易耕垦, 并有丰富的收成。 人们在长期的农业生产中积累了许多天文知识。 例如在遇到天狼星和太阳同时出没之时, 尼罗河洪水将至之兆。 经过多年的观察, 他们发现这种现象 365 天重复一次,于是规定 365 天为一年,这比真正的回归年

少了 6 小时左右。 一般的历史学家都认为埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后的重新测量。 其说 出自希罗多德。 希罗多德是古希腊的大历史学家, 他在公元前 5 世纪出访过埃及, 根据他收集的资料和从祭司那里得到的报道, 希罗多德记载到: “第十九王朝 (公 元前 1300 年)的法老在全埃及居民中间把埃及土地作了一次划分。他把同样大 小的正方形的土地分配给所有的人,而要土地持有者每年向他缴纳租金,作为他 的主要收入。 如果河水冲跑了一个人分得的土地的任何一部分,这个人就可以到 国王那里去把发生的事情报告给他; 于是国王便派人前来调查并测量损失地段的 面积;这样今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想,正是有了 这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊人又从那里学到了它。 ” 古埃及的宗教深信人死后在保存其尸体不腐和具备生活的一切用品的条件 下,还可以继续活着。于是,他们将尸体加工制成木乃伊;而坟墓作为死者的住 所,建筑得越坚固越好。特别是法老的坟墓更应该是永久不坏的建筑了。所以每 一个法老上任后就开始为自己修建陵墓。 从第三王朝开始,坟墓的基本形状是石砌的长方体。到第四王朝以后,就改 为举世闻名的金字塔。最古老的埃及金字塔是公元前 2700 年左右建造的左塞王 阶梯金字塔,它坐落在萨卡拉附近,采用了自下而上逐层缩小的形状建造。人们 推测这个金字塔是由一位著名的埃及宫廷医生、建筑师英霍特普设计的。 宏伟的吉萨金字塔建于公元前 2600 年左右,它显示了埃及人极其精确的测 量能力。更值得一提的是胡夫金字塔建有一个正方形塔基,每边长 230 米,相对 误差不超过 0.01%。胡夫金字塔是用了大约 200 多万块平均重达 2 吨以上的石块 砌成的,塔高 146 米,内部墓室和墓道布局十分复杂。特别值得一提的是它的高 度的十亿倍恰好等于地球到太阳的距离;其底边与高度之比的二倍近似地等于 3.14159,这是直到公元三世纪时人们才得到的圆周率 ? 的最好精度。穿过塔的 子午线,恰好把地球上的陆地与大海分为均匀的两半;而塔的重心,恰好坐落在 各大陆的引力中心上。 尽管大金字塔的方位正确, 但直到现在人们还未发现古埃及人是如何知道勾 股定理的迹象。 也许是由天文观测得到的,但如何解释他们的计算如此精确呢? 历史学家们猜测古埃及人也象古代的中国人一样,知道边长是 3:4:5 的三角形 必定是直角三角形的道理。这一说法相当流行,但它是没有根据的,因为作直角 也还可以采用其他的方法。 在十七世纪, 许多欧洲探险队到埃及挖掘古物,他们在尼罗河西岸罗塞塔发 现一块石碑, 上面刻有三种文字: 希腊文、 埃及的草体文、 埃及的古体象形文字。 根据这一线索, 法国学者商博良逐步揭示了象形文字的秘密,而我们对古代埃及 数学的认识也就得益于用象形文字写成的纸草书。 纸草书是由一种纸莎草植物制成的,纸莎草生长在尼罗河沿岸边,高大约 3 米,草茎经过剖、剥、亚等工序,可粘成供书写的用的纸。这种纸草在公元前和 公元后的数千年中曾行销地中海沿岸, 为古埃及和古希腊文化传播做出了较大的 贡献。现存的古埃及纸草书关于数学的主要有两种,一种是莱因特纸草书,发现 在埃及古都底比斯的废墟中,1858 年由英国人莱因特在卢克索购得,后藏于伦 敦博物馆。该纸草书长 550 厘米,宽 33 厘米,是古埃及一位阿默士的僧侣于公 元前 1700 年左右所著,是一本实用计算手册式的题目汇编集,共有 85 道题。另 一种叫莫斯科纸草书,由俄罗斯收藏者于 1893 年获得,1912 年转为莫斯科博物 馆所有。该纸草书长 544 厘米,宽 8 厘米,约写于公元前 1850 年,共有 25 个数

学题目。 埃及人很早就用 10 进记数法,但却不知道位值制。所谓位值制就是一个数 码表示什么数,要看它所在的位臵而定。例如 67 和 76 使用两个相同的数码,但 67 中的 6 放在十位上,表示 60,76 中的 6 放在个位上就表示 6。用 10 进位值制 记数法,1,2,……,9,0 十个数码可以将任何数表示出来。但埃及的记数法 却不是这样的,每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。 在这种记数法的基础上,埃及的算术主要是加法,而乘法就是加法的重复。 例如 111X13,先将 11 乘以 2,再乘以 4,再乘以 8,然后将与 1,4,8 的积加起 来: 1 11 2 22 4 44 8 88 有趣的是, 这种基于 “倍乘” 的算法曾在不同的世纪, 不同的民族中出现过。 例如俄罗斯农民乘法就是用“倍乘” 、 “平分”与加法来代替乘法的。 占有特别重要地位的是埃及人的分数算法。 他们把所有的分数都化为单分子 2 1 分数,除 之外,所有分数的分子都是 1。这种“单位分数”用 来表示。在莱 3 n 2 因特纸草书上用了很大篇幅来记载 型的分数分解成单分子分数的结果。例如 n 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 4 28 97 56 679 776 29 24 58 174 232 更为复杂一些的分数,例如 13 1 1 1 ? ? ? 21 3 4 28 这种分数算法使得埃及算术带有一种冗长的、十分费事的特点,实际上妨碍 了数学进一步发展。这种分解需要一定的计算技巧。 纸草书还有一些几何计算问题。例如,莱因特纸草书给出了计算圆形土地面 1 积的方法: 圆面积等于直径减去它的 , 然后在平方。 所给例子直径是 9 个单位, 9 1 减去它的 ,剩下 8 , 8 的平方是 64 ,这就是圆的面积。这相当于使用了 9

? =3.16049,误差是很小的。
古埃及数学最辉煌的成就可以说是四棱锥台体积公式的发现。 在莫斯科纸草 书上有这样一道题:正四棱台上底边长 2,下底边长 4,高 6,体积为
1 (4 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 ) ? 6 ? ? 56 3 这正好是将上底边长 a ? 2 ,下底边长 b ? 4 ,高 h ? 6 代入公式 h V ? (a 2 ? ab ? b 2 ) 3 的结果。 上面的叙述是现代人加以推测整理的结果,实际上纸草书没有说明上、下两

个面是正方形。 当然, 古埃及人在计算方面也有错误的地方。例如他们把等腰三角形的面积 用底乘腰的一半计算,这显然是错误的。 总之,古埃及人的数学知识已经很丰富了,且达到较高的水平。但上升为系 统理论还有待进一步的发展。

2.巴比伦 巴比伦是指公元前 1894 年在亚洲西部两河流域建立的巴比伦王国,首都是 巴比伦,位于现在伊拉克境内,巴格达以南约 100 公里处。两河流域的两河是指 底格里斯和幼发拉底河,在古代它们分别流入波斯湾,后长期淤积,汇成现在的 阿拉伯河再流入大海。 两河流域早在一万年以前就有人居住了。约公元前 3000 年开始出现奴隶制 城邦,公元前 2400 年由苏美尔人统一了该地区,大约过了 100 年建立了阿卡德 王国。约公元前 1894 年建立巴比伦王国,首都巴比伦是当时西亚最大的商业和 政治中心。到了公元前 800 年左右,亚述帝国崛起,统治了两河流域。过了不到 200 年迦勒底人又建立起新巴比伦王国。重新建设的巴比伦城是当时世界上最豪 华的城市,其中的“空中花园”被列为世界七大奇迹之一。公元前 539 年,新巴 比伦王国又灭于波斯帝国。从此,锦延数千年的两河流域文明汇入伊朗文明中。 现代人对当年两河流域的了解是通过对出土文物泥板的解密得到的。 当时的苏美尔人创造了一种刻在泥板上的楔行文字,这种泥板也称为泥板 书,以后传给巴比伦人和波斯人。他们用削尖的木笔在软泥板上刻写,然后烧或 晒干,使其坚硬如石。 公元前 3000 年,苏美尔商人就知道使用账单、收据、票据等物,这时期没 有任何一个地区象他们那样熟悉商业数学。 在一切古代民族中, 天文学总是发达较早的一门科学。这一方面是由于农业 的需要,另一方面与古人相信迷信天象和人事的凶吉有关,从而有了占星之术。 占星者时时注意日月星辰的运行,便有可能逐渐发现其中的规律,于是产生了天 文学。 苏美尔和巴比伦的占星祭司们经常在庙宇塔顶的平台上进行天象观察, 积累 了丰富的知识,他们开始把恒星和行星分辨开来,给五个行星以特殊的名称,将 天空分为星座, 并创造了最早的阴历。 这种阴历以春分为岁首, 第一个月是以 “公 牛”来命名的,由此可知这种历法的建立必在春分点位于金牛座之时。每一个阴 历年包含 12 个朔望月,比回归年少 11 天,这误差是用闰月来纠正。 到了迦勒底王国时期, 学者们测定了五大行星的周期,并发现了驰名古今的 预测日、 月食的 “沙罗周期” , 即一个沙罗周期相当于 223 个朔望月或 6585.3211 天,合 18 年 11 月,粗略地讲,某年某日有日食发生,那么 18 年 11 月以后也将 有类似的日食发生。当然,食象与见食地点是相当差异的。这是天文学方面的伟 大发现。 一个星期有 7 天;圆周为 360 度,每度 60 分,每分 60 秒;一小时也有 60 分,每分也有 60 秒。这在今天已经习以为常,但很少有人去查问它的来历,实 际上我们是沿袭了远古巴比伦的立法了。 巴比伦人采用 60 进制记数法。 为什么要用 60 作为进位的基数呢?后人猜测 认为巴比伦人最初以 360 天为一年,将圆周分为 360 度,太阳就每天行一度;又

圆内恰好可以连续作 6 条等于半径长的弦,每一条弦所对应的弧为 60 度,基数 60 或者由此而来。另一种意见认为巴比伦人很早就知道每年有 365 天,所以前 面的说法是不可信的。60 这个数字的选择是因为它是许多简单数字 2、3、4、5、 6、10、12 等的倍数,而 60 为 12 的 5 倍,12 为一年包含的月数,5 为一只手的 手指数目。 这种 60 进位制是在出土的泥板上发现的,这些泥板大约是公元前 2300 至 1600 年的遗物,上面记有 1 2 到 60 2 的平方数表和 1 3 到 323 立方数表。平方表前 7 个数字是 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 第 8 个数以后是 1.4 ? 8 2 , 1.21 ? 9 2 , 1.4 ? 102 ,

2.1 ? 112 等等。如果不是按照 60 进制去理解的话,怎么也解释不通。写成 60 进
制,问题就迎刃而解了: 1.4 ? 1 ? 60 ? 4 , 1.21 ? 1 ? 60 ? 21 ? 81 巴比伦人已经由算术向代数过渡,虽然他们没有现代形式的数学符号,但是 从文字的叙述中可以体会到代数的萌芽思想, 如用现代符号表示已有各种类型的 二次方程, 根据其具体演算步骤可知他们已获得了二次方程求根公式,不过他们 没有负数概念,因此只承认二次方程的正根,而忽略负根。巴比伦人还知道了相 当于

?x ? y ?2 ? x 2 ? 2xy ? y 2 和 ?x ? y ??x ? y ? ? x 2 ? y 2
的事实。 由此能顺利地处理许多问题,例如解二次方程的过程中就利用了这两个 公式。 巴比伦人对几何问题也进行了大量研究,取得很多成绩。从公元前 15 世纪 泥板上所列题目人们知道,这个时期的人已经会计算矩形、直角三角形、梯形等 图形的面积,还知道了平行六面体和柱体的体积计算方法。根据文献记载,他们 掌握了直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方的定理。 他们还知道了相似三 角形对应边成比例;计算圆面积的公式;由于水利工程等方面的需求,他们研究 过较复杂的立体形体积, 还有更复杂的楔形平载体和正四棱台的体积计算,其步 骤都是正确的。 但是巴比伦人对一些几何概念也不太清楚,例如直角三角形与一 般三角形的区别有时分不清。 巴比伦人还求出了很精确的 2 的值,在美国耶鲁大学收藏的一块泥板上面 有一个正方形,它的对角线上刻着楔形数码符号,即 1,24,51,10,表示是
1? 24 51 10 ? ? ,约等于 1.414213,相当精确。 2 60 60 603

巴比伦人是最早将数学应用于商业的。在现有的泥板中有复利问题及指数方 程。原题大意是:设利率为 20%,问何时能使本利和是本金的两倍?这导致方程

?1 ? 0.2?x ? 2
解法中先注意 3 ? x ? 4 ,在用线性内插法解,结果得 x ? 3.7870 ,与实际解的误 差小于 0.4% 。 巴比伦的数学还未形成分支,尚处于经验阶段,对于几何定理是否给予了证

明,也不能得出明确的回答,但可以认为,至少有些问题他们是经过推理的。 3.印度 古印度是指现在除尼泊尔等国之外的全部南亚次大陆, 其北部为喜马拉雅山 脉所阻,东、南、西三面分别为孟加拉湾、印度洋和阿拉伯海环绕,古印度又以 温德亚山脉划分为两部分:北面的印度河、恒河流域平原称为北印度,以南称南 印度。 本世纪以来,在印度河流域发现的所谓“哈拉帕文化”表明,约在公元前 2500 年至 1500 年之间,印度的城市文化已经达到相当高的水平。 约在公元前 1000 年初, 开始出现了奴隶制国家, 并形成了延续至今的社会等级制度——种姓制度。 公元前 5 至 4 世纪,北印度统一了摩揭陀王国,到了孔雀王朝(约公元前 324 至 185 年)的阿育王时代,基本上建成了印度历史上第一个统一的帝国,公元 1 至 5 世纪, 北印度为我国西北游牧部落大月氏人所建的贵霜帝国统治。印度的封 建社会约形成于公元 7 世纪,到了 16 世纪莫卧儿帝国衰落时,开始产生了资本 主义的萌芽。 印度在历史上屡次遭受外族的侵略, 公元前 500 年左右波斯王大流士征服一 部分土地。 公元前 326 年马其顿王亚历山大侵入旁遮普,因而早期的印度数学就 受到巴比伦和希腊的影响。 后来又受到中国的影响。当然他们也有很多独特的创 造,最为人所熟知的就是数码的书写和零号的发明。 印度数学创造的现代十进位位值制记数法在历史上却被称为 “阿拉伯数码” , 这实在是个历史误会。 由迄今为止所收集到的古印度数码表可以看出,与现在的 “阿拉伯数码”类似的印度数码。早在公元 4、5 世纪就已经稳步地发展了,但 是 10 以及 10 的倍数度要用独立的符号表示,这自然不包含位值制的成分了。直 到公元 6 世纪,位值制才在印度基本确定下来。最早的刻板纪录见于公元 595 年,其中 346 这个日期便是用十进位位值制记载的。 印度大大地晚于中国使用这种先进的记数法, 却被认为是这种记数法的发源 地,似乎有点夺人之美,不过与这种记数法密不可分的“阿拉伯数码” ,却实实 在在应当被称为“印度数码” 。古印度数码由于每一个均可以一笔连书,较之中 国数码便于书写, 因此, 当公元 6 世纪印度确立了使用这种数码的十进位位值制 记数法后,很快就传到了阿拉伯国家。它最早见于公元 662 年叙利亚一位主教 塞〃西波克的著作中。而传入欧洲,则最早出现在公元 976 年的一本西班牙手抄 本中,经由阿拉伯人传至欧洲,这种数码逐渐形成了现在通用的形式。 零号“0”也是古印度人的发明,因为它最早出现在印度东部与中国南部接 壤的、被确认为是公元 9 世纪后期的一块碑文上。但据近来史学家们的考证,在 印度支那(柬埔寨)和东南亚(印尼的苏门答腊) ,载有零号的碑文要比上述纪 录早 200 年。零号在西方的使用大约在公元 11 世纪。 印度的数学与占星术有关,而占星术又与宗教、农业密不可分。他们的数学 书籍带有浓厚的宗教气味, 将计算方法和结果用语句难懂的诗歌写出来,以致后 人不得其解。 在举行宗教仪式的祭坛的建筑法规中,有一种“绳子的规则” ,它包含着某 些可以追溯到公元前 5 世纪或更早时期的印度数学知识。 其中有勾股定理和勾股 数并有不可通约量的迹象。还有单位正方形对角线的长度的近似值 1 1 1 1? ? ? 3 3 ? 4 3 ? 4 ? 34

这个数值等于 1.414215686,是 2 相当好的近似值。又给出了

? ? 4?1 ? ?

? ?

1 8

1 1 1 ? ? ? ? ? 18 3 ? 2 2 8 ? 29 8 ? 29 ? 6 8 ? 29 ? 6 ? 8 ?

2

?

?

这个数值等于 3.088。这个数比 ? ? 3 好不了多少。但在印度的耆那教经典中可 以找到较好的 ? ? 10 ? 3.162。 《太阳的知识》 是印度第一本完整保留下来的重要科学书, 大约写于 5 世纪。 它总结了早期印度的三角学。 这本书和希腊托勒密的著作有一显著的差异,就是 造表不取全弦而取半弦, 相当于现在的正弦线, 后来发展成为三角函数的 “正弦” 。 印度数学的全盛期是在公元五世纪至公元十二世纪。 首先,印度人在算术方面的成就比较突出,他们建立了分数、无理数和负数 运算法,在自然数级数求和方面也取得了很好的结果。 其次, 印度人用缩写文字和一些符号来描写运算,对解决代数学问题起了很 大的作用。 其三, 三角学在经过希腊的盛衰之后从又在印度得到发展。与希腊人的作法 类似,印度人也把圆分成 360 度或 360〃60 等分,但他们不像希腊人那样,把直 径分成 120 等分, 而是将半径分成 120 等分作单位。印度数学家阿耶波多对印度 三教学的发展起了重要的作用,他对三角法作了改进,第一,他把半弦与全弦所 对的弧的一半相对应,这样处理正弦的观点为之后所有数学家所采用;第二,他 仍把圆周 21600 等分定为单位, 但也用同样的单位去度量半径,由 2? ? 21600 得 R ? 3437 .776 ? ,这里 ? 取 3.1416 ,取半径近似 R ? 3438 值。阿耶波多的方案里, 30 度弧的正弦为相应的半根弦长,其值为 1719。通过这种方法他得到了半弦弦 长表,实际上相当于正弦表。因此,印度人的三角法原则上同我们现在一样。三 角法是由于天文学而兴起, 印度的三角法也是天文学的副产品,印度的数学家都 是在天文学研究中采用三角法的。他们除了使用上述的正弦外,还在计算中使用 了相当于我们现在的余弦和正矢的三角量, 其中余弦也为我们现在所用余弦值的 R 倍。其外,他们已经知道了一些三角关系式。 其四,印度人的几何学历史相当悠久, 《吠陀》是印度最古老的文献,里面 记载古印度的数学内容, 特别是在几何方面。 印度圣坛的造法是很有学问的, 《吠 陀》经中有“圣坛建筑法典” ,要求圣坛的平面一般为方、圆、半圆等形状,面 积也有限定,因而就出现了化圆为方,化方为圆的等积变换问题。他们采用的方 法十分粗糙,结果中暗含的圆周率值相当于 ? ? 3.004,3.0883,3.0885,有时也 取 ? ? 10 。印度人早期凭经验概括出一些面积和体积公式,有等腰梯形面积、 等腰三角形面积、直角三角形面积、棱形面积、四边形面积、圆环面积、直棱柱 体积、圆柱体积、棱锥体积、圆锥体体积、正四棱台体积、球体体积等。 可以说,印度的数学在当时取得了全面的发展。 4.中国 中国地处亚洲东部, 濒临太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化 的摇篮, 也是人类文明最早发源地之一。中国古代的四大发明对世界文明的进步 起了巨大的作用, 在数学方面也曾在一些领域取得遥遥领先的地位,创造过许多

纪录。 中国大约从一万年前进入新石器时代, 在浙江的河姆渡发现了七千年前的居 住遗址, 在陕西的半坡发现了六千年前的村落遗址以及其他许多新石器文化遗址 的发现,反映出中国在新石器时代中后期已逐渐形成文化高峰。前 21 世纪出现 了中国历史上奴隶制社会的鼎盛时代,前 11 世纪姬发灭亡了商朝而建立周朝, 到前 771 年的周朝史称西周,以后便是春秋时代。 数学在中国萌芽以后, 得到较快的发展,至少在六七年前已经形成了一些几 何与数目概念。 例如在河姆渡遗址中发现的房屋木质隼卯结构呈长方形,还发现 规则的木筒, 说明当时有圆柱概念。在稍晚一些新石器时代出土的陶器上有长方 形、菱形、三角形、圆、正方形、直角、平行线等各种规则的几何图形。在四川、 湖北、 安徽等许多沿长江流域的四五千年前的新石器时代晚期遗址中都发现大小 不等的空心陶球,大都有孔,而且有些两孔成对、位于同一球径的两个端点,还 有些孔与孔之间有线联接。 由此推测,当时中国人已经掌握了较多关于与球有关 的指示。从各种陶器的花纹中也可看到等分圆周和等分角的事实。 中国人在六七千年前已经对数目概念有了相当的认识。 在半坡出土的陶器上 有规则排列的点,有的几行平行排列,有的由一个、二个直到八个或九个成一垛 形排列。这样的点群大量出现,说明当时人们已掌握了较大的数目。 特别重要的是当时有了十进制的数字符号和用算筹来记数。 这些数字符号不连续, 10 以前缺 2、 3、 4 和 9。 显然是应该有这四个符号的, 只是现在没有发现而已或没有保留下来。从这些符号可以看出:1 和 10 之类的 符号容易混淆, 因此需要改变。 在山东城子崖四千多年前的遗址中出土的陶器上 有如以下数学符号 其中 12 为合书、20、30 的书写已不是两个竖线、三个竖线,而是把下端连 接了起来,这样就能得到同两个竖线、三个竖线的写法截然分开,实际上也是合 书。 算筹是什么时候开始使用的,现已经无法考证。从开始的粗糙竹制算筹到后 来的用骨、玉造的精细算筹,想必经过了漫长的岁月。我们从司马迁的《史记》 中记载的“夫运筹策帷幄之中,决胜于千里之外,吾不如子房?”可以推算,算 筹的运用在当时已经相当纯熟的地步了,它不会晚于公元前 3 世纪,大概可以推 到战国初期(公元前 5 世纪) 。 用算筹表示数目,有纵横两种方式 古书缺字都用□来表示,数字间的空位,自然也可以写成用□来表示。在书 写时, 字体常写成行书, 而方块也就自然划成了圆圈了。 以Ο作零号, 最早在 《大 明历》中看到,如 403 写作“四百Ο三” 。到了秦九韶的《数书九章》就大量使 用Ο号。 算筹后来发展成珠算,直到今天还盛行不衰。古代西方也出现过某种算盘, 但除了少数国家之外,都被淘汰了。中国的算盘为什么经久不衰,这和中国广泛 使用口诀有关。汉语一字一音,极便于编成容易背诵的口诀。有了一套口诀,算 盘才得以发挥它的作用。 最流行的口诀莫如“九九” ,算法口诀或乘法表。现在口诀是从“一一如一” 起到“九九八十一”止。古代是倒过来的,从“九九八十一”起到“二二如四” 止。因开头两个字是“九九” ,所以乘法口诀简称为“九九” 。 中国古人对图形的认识也是很早的。例如甲骨文已有规这个字,象手执规画 圆的样子。矩由长短两尺合成,相交成直角。尺上有刻度,短尺叫勾,长尺叫股。

有时为了坚固起见,在两者之间还连上一条杆。 矩的使用是中国古代数学的特长,它不但可以用来画直线,作直角,而且可 以测量,有时还用作圆规。甲骨文也有矩字,可见起源很早,甚至可以推到传说 中的大禹治水以前。 中国数学在商代之后的一段时间内没有充分的文字记载, 到了春秋战国时期 积累了大量的数学知识, 大体包括两方面的内容,一是相当于希腊的形式逻辑思 想,一是算题和解题方法。中国的逻辑思想主要表现在墨家的《墨子》中,其中 涉及数学概念的有 17 条。 《九章算术》成书于西汉末年,作者不祥。这部书有九个章节组成的书中共 有 246 道题, 每章的内容都比较集中,大都是以某一种数学内容或问题的性质归 类分章的。每章有标题,各章的问题又根据算法的不同给出若干小标题。 《九章 算术》的内容极为丰富,包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。它 的出现使其前人的著作退居次要地位,以致失传或长期埋没,自己独放光辉达一 千多年之久, 成为中国乃至世界上的数学名著之一,是有别于希腊的另一种数学 体系的标志,影响深远。 公元三世纪是中国数学发展的重要时期, 当时的数学家在数学理论研究方面 取得了突出成果,刘徽在这方面是杰出的代表,他致力于古代数学体系的工作, 完善了数学理论基础和建立了一套完整的中算理论体系。例如,他在算术与代数 领域扩充了数系并建立数的运算理论;在几何方面他建立了完整的几何理论,包 括面积理论、体积理论和勾股比率理论;在测量数学方面他的《重差》是中国第 一部测量数学专著。 从晋初到南北朝时期,中国的数学又有了新的进展。如成书于晋代的《孙子 算经》 是一部启蒙性算术著作, 其中最价值的内容是筹算法和著名的 “物不知数” 问题。这一著名问题在书中这样叙述: “今有物,不知其数。三三数之,剩二; 五五数之,剩三;七七数之,剩二。问物几何?答曰二十三。 ”这个问题是一同 余式组,如设 N 为所求之数,就是
N ? 2(mod3) ? 3(mod5) ? 2(mod7)

《孙子算经》术文前半段是本题的解 N ? 70 ? 2 ? 21 ? 3 ? 15 ? 2 ? 105 ? 2 ? 23 《孙子算经》术文后半段是本题的一般解

N ? 70R1 ? 21R2 ? 15R3 ? 105p

( p 为正整数)

这个构造比较明显,解法本身带有一般性。 “物不知数” 问题在世界数学史上有一定地位,十九世纪七十年代德国人马 蒂生首次指出《孙子算经》的解法与十九世纪高斯的解法一致,使得中国古算这 一成果受到世界瞩目。 成书于北魏初期的数学著作《张邱建算经》也包含了不少新的数学内容。例 如在最大公约数和最小公倍数以及等差级数方面有突出的成就。 南北朝时期最有 成就的当数祖冲之和他的儿子祖恒。祖冲之精通天文历法,研究过《九章算术》 , 在圆周率方面更是取得了很大成就。他得到的圆周率为 3.1415926 ? ? ? 3.1415927 这是当时世界上最好的结果。 祖恒在刘徽的基础上圆满地解决了球体积问题。

如果说以《九章算术》的出现及刘徽、祖冲之等数学家的工作为中国初等数 学体系的形成和早期发展的话, 那么,从隋到元的 700 多年间中国的数学发展到 了顶峰,在这一时期,出现了王孝通、刘益、贾宪、秦九韶、杨辉、李治、朱世 杰等数学家。 王孝通是唐初杰出的数学家,他当过“历算博士”及“太史丞” 。据记载, 他在唐武德六年(623)及以后几年里同他人一起校对唐历算家傅仁均的《戊寅 历》 ,做了许多校订工作。他在数学方面以《缉古算经》为著称,这是一本包括 天文历法、土木工程、地窖、仓库及勾股等数学问题,用二、三次方程解决,还 有的要用四次方程解决。 刘益是北宋前期数学家,他写的《议古根源》对后人的影响非常大,他的数 学特点可以归纳为,第一,在方程系数方面进行了推广;第二,在解方程上创造 了“带益隅开方” ,即正负开方法。 贾宪是十一世纪前期天文学家楚衍的学生,据记载,他曾当过“左班殿值” 官,他著的《黄帝九章细草》和《算法敩古集》两部数学书虽早已失传,但从杨 辉的《祥解九章算法》可以窥得一些。其主要成就是,第一,建立了一种开高次 方根的方法——“增乘开方法” ;第二,发现了在西方被称为“巴斯加三角形” 的“贾宪三角形” ,即“开方作法本源”图。 秦九韶的数学成就主要集中在他的 《数书九章》 一书, 该书采用问题集形式, 为十八卷, 共 81 题, 九大类。 这九大类是大衍类 (一次同余式问题) 、 天时类 (天 文历法和气象数学问题) 、田域类(各种田亩面积计算问题) 、测望类(几何测量 问题) 、赋役类(各种赋税计算问题) 、钱谷类(征购粮食和仓库数学问题) 、营 建类(土木建筑工程数学问题) 、军旅类(军营、阵形布臵和军需供应问题) 、市 物类(商业交易和利息计算问题) 。其中许多问题与当时实际生活密切相关,可 见秦九韶研究数学是以“以拟于用”为主导思想的。 杨辉的数学著作包括《祥解九章算法》 、 《田亩比类乘除捷法》 、 《算法通变本 末》 、 《日用算法》和《续古摘奇算法》 。这些著作对于了解当时数学发展概况具 有重要意义。杨辉的著作涉及日常生活中的问题,且都比较浅显,因此他的书适 宜于初学者。 杨辉还致力于简化算法的研究, 他在 《算法通变本末》 一书中的 “求 一乘”便是一例。其思想是用“加法”代替“乘法” ,使得多位数乘法运算简化。 如果说数学在中国的南方得以发展的话, 那么在当时的中国北方数学的发展 也决不逊色于南方, 其中李治就是这方面的代表人物。李治的数学著作现存的有 《测圆海镜》和《议古演段》 。在这两部数学书中李治较为详细地介绍他的“天 元术” , 即用 “天元” 代表未知数, 术语 “立天元一” 相当于现在的 “设未知数 x ” 。 对于方程或者是在一次项旁边记一个“元”字,或者在常数项旁边记一个“太” 字,故有“有元字不记太字,有太字不记元字。 ”李治不仅在“天元术”上取得 了重大进展,在几何方面也取得深入研究。在《测圆海镜》一书中他提出了六百 多条几何“定理” ,其中一百七十条属于勾股容圆问题,基本上包括了在各种条 件下求直角三角形内切圆、旁切圆的直径和勾、股、弦及其和、差关系,这是对 于直角三角形和圆之间关系的一次较为全面的研究与总结。 朱世杰是一位集大成的数学家,他著有《算学启蒙》和《四元玉鉴》两部数 学书。 《算学启蒙》是一部较全面地介绍宋元数学的著作,全书分为三卷,共 20 门,书前有常用的数表和法则,称为“总括” ,为全书的总纲。 《四元玉鉴》对方 成理论进行了总结,在天元基础上将其发展成“四元术” ,相当于现在的四元高 次方程。

宋元时期的中国数学不仅取得了较多的发展,而且发生了总的变化,其中最 主要演算形式有算筹向笔算过渡。在秦九韶、杨辉、李治等人的著作中可以找到 笔筹联合运算甚至完全是笔算的实例,而且这种情况绝不是个别和偶然的,乃是 一种趋势,但这种过渡趋势并不完善,且后来便有珠算所代替。 5.希腊 半岛位于欧洲南部, 它同时又是巴尔干半岛的一部分。 这里海岸线曲折多弯, 岛屿星罗棋布,包围它的地中海在这里被分成两个水域,东为爱琴海,西为爱奥 尼亚海。半岛上山岭连绵,但从北部外,没有一个地点距海岸达 50 公里以上。 古希腊人就生活在这样一个近海而多山的环境中, 由于它渡海往南经克里特岛可 达埃及,往东由小亚细亚可抵巴比伦,因此受到这些文明古国的许多影响,成为 欧洲最先创造文明的地区,带动了欧洲各国文化的发展。 约在公元前两千年左右,克里特岛出现了古希腊最早的奴隶制国家。这个国 家昌盛时期所建的诺萨斯王宫遗址已被考古学家作了详尽的发掘与研究。 这座举 世闻名的古代建筑,规模宏大、结构复杂,千门万户,曲折相同,曾被希腊人当 作神话中的“迷宫” 。王宫的壁上有许多优美对称的图案。 公元前十六世纪前后, 克里特的势力开始扩张并波及到希腊本土,影响并产 生了南希腊的迈锡尼文化。公元前十二世纪初,留下了著名的“特洛伊木马”的 故事。希腊本土生产力大发展的时期,约在公元前八世纪至七世纪之间。这时的 采矿、炼铁、制陶、造船以及商业都很发达,并逐步形成了城市国家——城邦, 其中以雅典和斯巴达两城邦为最大,公元前 492 年,伊朗的波斯人入侵希腊,发 生了延续约半个世纪著名的希波之战。在这一战争中,雅典城邦迅速崛起,直到 公元前三世纪末, 雅典与斯巴达发生了历史上著名的波罗奔尼撒战争,战争的结 果使两者均走向衰落。在此前后,希腊半岛北部的马其顿王国势力日盛,很快控 制了整个希腊。并向外扩张,使埃及、叙利亚、巴比伦、小亚细亚长期处于希腊 -马其顿人的控制下。位于埃及的亚历山大城成了古希腊的科学文化中心。 公元前三世纪初, 希腊西部的意大利半岛为罗马邦城所统治。公元前三世纪 中期到公元前二世纪中期, 罗马同控制地中海的迦太基人进行了长达一百余年的 三次“布匿战争” ,同时又打败了马其顿人,此次希腊为罗马所统治。公元元年 前后,罗马帝国建立。公元四世纪末,罗马帝国分裂为东西两部分。直到公元五 世纪末西罗马帝国的衰亡, 希腊才摆脱了罗马人的奴役。东罗马帝国则到十五世 纪方被奥斯曼土耳其帝国所灭。 即使在罗马统治期间,希腊文化也起着重要的主导作用,因此,科学史常称 这一时期为“希腊文化时期” 。古希腊数学的杰出成就,大都产生于公元前六世 纪至三世纪。之后,由于雅典政治的日趋反动和罗马入侵的摧残,希腊数学同其 他科学一样,由盛而衰,到了公元十三世纪才有所回升。 从公元前 600 年起, 数学和天文学在东地中海的希腊语国家盛行了将近 1000 年。在这时期,希腊人发展了演绎逻辑推理的概念,这成了他们所作出的许多贡 献的标志,尤其是在几何学领域。希腊最早的著名的数学家是米利都的泰勒斯。 据说使他将几何学从埃及带到了希腊。他预言了公元前 585 年的一次日食,并演 示了如何用羽毛和石头相互摩擦而使羽毛带电。 他研究了几何学中有关三角形全 等的问题,并将其运用航海。另外他还证明了等腰三角形的两底角相等,圆被其 直径等分。 毕达格拉斯是一个半传说式人物。他生于爱琴海的萨摩斯岛,后来移居到希

腊海港克罗顿,并在那里创建了毕达格拉斯学派。据后来的学者们讲,这个组织 严密的学派是为了更加深入地研究数学、哲学和自然科学而建立起来的。毕达格 拉斯认为“万物皆数” ,他尤其强调算术、几何、天文和音乐的“数学艺术” 。毕 达格拉斯是拉斐尔的梵蒂冈壁画《雅典学派》中描述的希腊学者之一。 谁也不知道是什么人第一个证明了“毕达格拉斯定理” ,该定理是:以一个 直角三角形的斜边为边的正方形之面积等于以其他两边为边的正方形的面积之 和。但是毕达格拉斯三元数组却早为巴比伦人所知。 德谟克里特也对几何学感兴趣。 他用平行于底面的平面将棱锥体和圆锥体分 割成了“不可再分的”部分的方法来研究它们的性质。他最主要的贡献是第一个 提出所有物质均有不可分割的粒子——原子组成的观点。 在雅典的许多著作中, 最著名的要数柏拉图和亚历士多德,尽管在人们心目 中他们不是数学家,但他们都为亚历山大“希腊数学黄金时代”的建立做出了杰 出的贡献。 大约在公元前 387 年, 柏拉图在雅典创立了他的学园。 他在那里著书、 授课, 学园很快就成了数学和哲学研究的中心。在学园的大门上刻着这样的铭文: “不 懂几何者不得入内。 ” 柏拉图认为学习数学和哲学可以为在政府部门任职的管理 人员提供最好的训练。在《理想国》一书中,他论述了毕达格拉斯的算术、几何 和立体几何、 天文学、 音乐中的数学艺术, 并解释了它们的特点及其对 “哲学王” 的重要性。在他的《蒂迈欧》一书中,柏拉图讨论了五种正多面体。 亚历士多德 17 岁就成为了柏拉图学园的学生,他在那里生活了 20 年,直到 柏拉图去世。他对逻辑问题非常着迷,并对逻辑和演绎推理进行了系统研究。他 a 还特别给出了不能把 2 写成有理形式 的证明,其中 a , b 是整数。 b 在公元前 300 年左右, 随着托勒密一世权利的不断扩张,数学研究也扩展到 了作为希腊帝国一部分的埃及。托勒密在亚历山大创办了一所大学,在随后的 800 多年间这里变成了希腊的人才中心。位于亚历山大的著名法罗斯灯塔是世界 古代七大奇迹之一。 亚历山大最重要的数学家是欧几里得,他撰写过光学和圆锥曲线方面的著 作,但他最广为人知的著作还是《几何原本》 。 《几何原本》历来都是最有影响和 流传最广的著作,它是当时已知的数学知识的汇编,共 13 卷,内容涉及平面和 立体几何、数论以及比例理论。该书是演绎推理的典范,它从最初的几条公理和 公设出发,采用演绎法,按照逻辑和系统的顺序推导出新的命题。 阿基米德是西西里岛上的叙拉古人,他是迄今为止最伟大的数学家之一。在 几何方面, 他计算了各种立体的表面积和体积,他还列出了 13 种半正的多面体, 其各面都是正多边形,但形状却不同。通过用 96 边形来逼近圆周,阿基米德证 10 10 明了 ? 的值介于 3 和 3 之间。另外,他研究了“阿基米德螺线” ,现在通常 71 70 用极坐标方程表示为 r ? k? ( k 是常数) 。 尼多斯的欧多克斯是数学家、天文学家,他曾在柏拉图学园学习过,他通常 被认为对发展欧几里得《几何原本》第五卷(关于比例)和第十二卷(关于穷竭 法)中的理论作出了贡献。在天文学方面,他提出了太阳、月亮和行星都以地球 为中心旋转的假说,这个说法后来被亚里斯多德接受,只是在形式上稍有改动。 萨摩斯的阿里斯塔克提出了一个他择性假说——恒星和太阳保持不动, 地球 沿圆形轨道绕太阳旋转。阿里斯塔克实际上提前了 1800 年就预见了哥白尼的革

命性成果,但是在那个时代,他的假说几乎没人相信。 第一个将三角学用于解决天文问题的方法由尼西亚的依巴谷提出, 他也许是 古代最伟大的天文观测家。有时依巴谷也被称为“三角学之父” 。他发现了二分 点的进动,并构造出一个“弦表” ,可以计算角度的正弦。他还为恒星引进了一 个坐标系,并编制出已知的第一份星表。 亚历山大的托勒密发展了地球学说,建立了托勒密体系。他写过一部 13 卷 的权威性天文学著作,人们一般熟悉的是它的阿拉伯问,书名为《天文学大成》 。 该书包括对太阳、月亮和行星运动的数学描述,还包括一张弦表,列出了步长为
?1? 托勒密还出版了一部关于地图制作的标准性著作, ? ? 的从 0? 到 180? 角的正弦。 ?2?
?

名叫《地理学指南》 。他在书中讨论了各种不同的地图投影方法,并给出了世界 当时已知的 8000 个地方的经度和纬度,他编制的地图被航海家使用了好多个世 纪。

6.美洲与非洲 南北美洲和撒哈拉以南的黑非洲, 自古以来便是印第安人和黑人各民族活动 的地区。公元前一两千年,他们就在这两大区域建立了地多古代文化中心,创造 了具有鲜明的民族特色的、 光辉灿烂的印第安文化和黑人文化,只是由于十五世 纪欧洲殖民主义者的入侵才阻碍了他们进一步的独立发展。 约在公元前两三千年前, 从北美墨西哥经中美危地马拉到南美的安第斯山中 部高原、沿太平洋海岸一带地区,就已经出现了原始农业。古代印第安人从野生 植物中培育的许多重要农作物,如玉米、马铃薯、西红柿、向日葵、烟草、可可、 落花生等,早已传遍全世界。在农业经济发展的基础上,古代美洲出现了三个具 有代表性的文化中心, 这就是以今墨西哥尤卡坦半岛和危地马拉等地为中心的古 代玛雅文化, 以墨西哥山间盆地为中心的古代阿兹特克文化, 以及包括今危地马 拉、秘鲁、玻利维亚等地区的古代印加文化。 北美洲文化水平最高的民族要数玛雅族,他们曾对天象进行过精密的观察, 见,建立了自己独特的历法,他们把一年分为十八个月,每月二十天,外加五天 “忌日” ,共三百六十五天。并且每四年加一天,与我们现代的历法十分相近。 玛雅人还计算出日食的时间和月球、金星及其它行星的运动周期,许多不抱偏见 的现代学者都承认玛雅人的天文知识比中世纪的欧洲要先进得多。 玛雅人创造了 美洲唯一的古代文字——玛雅象形文字,并写了大量的有关宗教、神话、历史、 天文等文献。 玛雅文化持续了大约一千年时间,到 9 世纪时突然衰落。从他们的文化在稍 晚些时候的纪录中仍有大量记载,其中包括一些数学内容。 玛雅人通过自己的长期实践,在数学方面建立了独特的二十进位制,并用三 个简单的符号表达出自己任何一个非负整数和进行加、减运算。他们用“〃 ”表 示单位 1,用“--”表示 5,如果遇有空位,有时空着位臵,有时用一个蜗牛壳 状的符号填上,可以说已经有了“零”的记号了。在使用中,他们把“〃 ”点在 “--”之上,记法是堆垒式的。满五个“〃 ”改为一个“--” 。满 20 则进位,仍 用“〃 ” ,但要高一位。一个多位数要分层书写,高位在上低位在下,只写每一位 的倍数,由低位向高位逐步写出。

阿兹特克文化中心保留了从公元一世纪起陆续建成的城市提奥地华甘和十 五世纪前后建成的城市铁诺奇第特兰。提奥地华甘占地六平方公里,在长达两公 里的主要街道两旁, 建有数座庞大的金字塔形的庙宇。 其中最大的 “太阳金字塔” , 底边宽达 220 米,高达 64 米,和埃及最大的胡夫大金字塔占地面积差不多一样 大。经历史学家考证,印第安人的这种“金字塔”同埃及的“金字塔”没有历史 联系, 他们显示了古代印第安人的聪明和才智。铁诺奇第特兰城建在一个湖中岛 上,有三条道路与陆地相通。城内建有四十座金字塔形庙宇,最高的一座攀登 144 台阶。城内的宫殿、大厦、楼台、街道、运河参差交错,景色奇伟,使入侵 的西班牙殖民者竟以为误入天国,连声称赞为“世界的花园” 。 印加文化中心保留了公元六世纪前后建成的提阿华那柯城。 该城以宏伟的石 建筑、阶层式金字塔和太阳门石刻而闻名。太阳门用一整块高达 2.4 米、宽达 4.5 米的巨石刻成。在其他石筑城堡和庙宇中,有些巨石重达 100 吨左右,石墙 的接缝处严密得连薄刀片也难以插入,与胡夫大金字塔有着同样高超的建筑水 平。 印卡人修筑的两条长度均达两三千公里的南北大施道,不论长度或坚固程度 都超过了同期的罗马帝国的水平。 大约在公元 1500 年,印加人发明了“结绳文字” ,他们用各种颜色与形式的 绳结来记数和记事, 结绳文字都有一根主绳,上面系着许多各种颜色的打结的细 绳, 每个绳结的大小和位臵对应着十进制数中的不同的数,不同颜色也传达着不 同的信息,这种结绳文字可用于记数,还可以记录其他类型的数据,这些信息由 “印加信使”在所辖地区传递,他们训练有素,一天能走很远的路程。 黑非洲与北非的古埃及一样,曾创造过辉煌的文化。在黑非洲的一些地区, 早在公元前两千年前就已经建成了奴隶制国家。 黑非洲各国的经济在公元十世纪 前后,便已经十分繁荣,如盛产黄金的加纳,其国王的衣饰、马安与狗项圈全部 用赤金制成。一块用来做拴马桩的金块竟重达三十磅。马里国王曼萨〃穆萨在一 次参加朝圣时就挥霍了八十头骆驼所驮的金沙。据历史学家考证,在十五至十六 世纪达到全盛期的黑非洲文明古国贝宁, 它的青铜制品工艺水平被列于世界的前 茅。 7.阿拉伯 世界上最大的半岛阿拉伯半岛,东濒波斯湾,西临红海,南靠阿拉伯海,半 岛的地势自西向东倾斜,大部分为沙漠和绿洲,气候炎热,雨量稀少。居民大都 为阿拉伯人,主要以游牧也为生。公元 7 世纪初,由于默罕默德创立的“伊斯兰 教”在这一地区的迅速传播,开始建立了统一的阿拉伯国家。 13 世纪初,成吉思汗统一的蒙古国家迅速崛起,先后占领了黄河流域、中 亚西亚等广大地区,在 13 世纪中叶建立了世界史上空前未有的蒙古帝国。但到 了 14 世纪中叶,蒙古帝国便分崩离析了。 13 世纪末到 15 世纪,土耳其奥斯曼帝国兴起,先后占领小亚细亚与巴尔干 半岛。15 世纪中叶,灭亡了东罗马国家,16 世纪初,土耳其奥斯曼帝国版图东 至阿富汗,西达中国境内的两河流域,南抵波斯湾,北到阿姆河。不久,又入侵 欧洲,成为又一个横跨亚非欧的大帝国。到 16 世纪后期,奥斯曼帝国开始走向 衰落。 全面地评价这几个帝国的功过,是历史学家的任务。从数学史的角度来说, 我们只想指出它们的积极因素——促进了世界性的商业贸易发展和空前广阔的 国际性往来。

在 7 世纪至 15 世纪,中亚西亚——今乌兹别克、塔吉克、阿塞拜疆等国和 中东——今叙利亚、伊拉克、伊朗等国的科学有了较大的发展。 中亚细亚最著名的数学家是乌兹别克的穆罕默德〃伊本〃穆斯〃阿尔——化 刺子密(780-850) ,他对数学的发展产生过重大影响,表示计算方法和规则的数 学用语——“算法”便是由他的名字拉丁文译音衍生而成的, “代数”来源于他 的一部著作《归位和抵消的计算》 。书中的归位一词 al-Jabr 译成拉丁文时便成 了 Algebra。于是方程中的归位编成了整个代数学的同义词了。在很长一段时间 内,这确实反映了这门学科的实际情况。因为直到 19 世纪中叶,代数学的确仅 仅包含了方程理论。 即使近 100 年来, 这一学科除了方程外又形成了许多新方向, 以致从根本上改变了它的面貌,但作为一门关于形式运算的一般学说, “归位” 这一形式规则仍能表示出代数学的真谛。 花刺子密讨论了一次和二次方程,在二次方程中,由于只考查正系数,故需 分成三类来处理。如

x 2 ? 10x ? 39 x 2 ? 14 ? 9x x 2 ? 3x ? 4
其推理大部分是几何学的。 花刺子密的《印度记数算法》系统地介绍了十进位位值制记数法,被译成拉 丁文后, 这种先进的记数法逐步取代了不完备的希腊字母记数法和繁琐的罗马数 码字。花刺子密的著作是西方数学兴起的主要来源之一。 对于三角学作出重要贡献的叙利亚天文学家兼数学家阿尔〃巴塔尼 (858-929) 、塔吉克数学家阿布尔 -瓦法〃阿尔布兹贾尼(940-998) 、阿塞拜疆 天文学家兼数学家纳索尔丁〃图西(1201-1274)和撒马尔罕天文学家兼数学家 阿尔〃卡希(?-1429) 。 值得一提的是, 尽管自 7 世纪起十进位位值制记数法传入本地区,但是直到 10 世纪时,这一地区的一些天文学家和数学家仍然使用六十进位制。不过,他 们已经有了关于这种进位制的统一写法。例如,一个六十进位制的数
43? 602 ? 0 ? 60 ? 16 ? 8 37 ? 60 602

被记成 43;0;16;+8;37 其中用“+”号把整数位与小数位区别开来。 纳索尔丁〃图西对于数的概念抽象定义也作出了贡献。他研究了比值理论, 第一次引入了两个量比值的抽象概念。他特别地指出: “每一个(关于可公度或 无公度的量的)这样的比,都可以称为数。这数由单位来确定,正如这个比的一 项由另一项来确定一样。 ”对于数的这种崭新的理解,直到 400 年后才为牛顿所 再次提出。纳索尔丁〃图西还是《几何原本》的阿拉伯文译者和注释者,对欧氏 几何向西欧的传播起了媒介作用,他企图证明欧几里德第五公设的尝试,对非欧 几何的建立起了促进作用。 阿尔〃 卡希曾任著名的撒马尔罕天文台第一任台长, 在他所著的 《算术之钥》

一书中, 给出了十进分数的运算法则和十进小数与六十进制的互换法则,并记载 了求任意自然数的根的开方法, 用语言叙述了二项式展开,推出了系数的变换法 则。他的突出成就是在《论圆周》一书中,利用 3 ? 2 28 (? 805,306,368) 边形的周 长,推出了圆周率 ? 的多达十六位小数的值 2? ? 6.2831853071 795865 在纳索尔丁〃图西和阿尔〃卡希之前,著名的数学家还有以“海塞姆问题” 知名的伊本〃海塞姆和欧玛尔〃海亚姆(1048-1131) 。所谓“海塞姆问题” ,即 过圆所在平面上二给定点, 作二直线交于圆周上一点, 使与在该点的法线成等角。 海塞姆用一条双曲线与一圆相交解决了这个问题。海亚姆则以《代数学》一书著 名,在这本书里,他详尽地研究了一次方程的解和三次方程根的几何图解法,系 统地给出了用圆锥曲线图解二次方程根的理论, 海亚姆还把代数定义为解方程的 科学。 尽管阿拉伯数学较之一些古国的数学发展来得慢, 但后来的许多重要数学成 就却是通过阿拉伯文转译而传至欧洲, 这对文艺复兴时期以后数学的迅猛发展起 了很大的推动作用,因而在数学发展过程中占有重要地位。 8.西欧 西欧地区三面环海,地势平坦,河流众多,气候温和,森林广袤,特别适宜 于农业、畜牧业发展。约在公元五世纪西罗马帝国灭亡,欧洲便出现了一些封建 小国。但在初期的四百年,由于封建割据严重,商品流通微弱,与一些文明古国 相比, 处于十分落后的状况, 直到十一世纪, 西欧才有了明显的发展, 其中以法、 英、德、意诸国较为强大,十一至十三世纪,西欧的封建主曾多次组织“十字军” 侵略东方,从中东、北非等地掠夺了大量的财富,因此在十三、十四世纪之交经 济有了巨大发展。 但在八至十六世纪期间,欧走也先后受到蒙古帝国和奥斯曼帝 国的侵略,随之,阿拉伯数学和希腊数学在西欧得到传播。 从十二世纪开始, 东方与希腊的经典大都由阿拉伯文译成了当时西欧的共同 科学语言——拉丁文。 尽管由于宗教与文字不同的不同,初看起来这些内容似乎 很难在欧洲传播开啦, 但西欧原有的文化基础实际上就是希腊化文化及希伯来文 化。 在此之前欧洲数学的一些权威著作 《算术法则》 , 便是古希腊数学家尼寇〃 马 克《算术引论》一个粗浅的译本。而另一些教科书中的数学则多溯源于古代的东 方。由于源头相同,希腊和东方的数学还是在欧洲的呆了迅速的传播。 当时欧洲天主教教会的势力很强大。教会为了训练牧师,常附设一些学校, 著名的有巴黎大学、波罗那大学、牛津大学、剑桥大学、帕多瓦大学、那不勒斯 大学、萨拉曼大学、布拉格大学、克拉科大学、维也纳大学以及圣安德鲁大学。 这些大学主要开设古代文法、修辞、逻辑、算术、几何、天文、音乐、哲学和神 学。但所学的算术只不过是计数而已,几何也只是《几何原本》的前三卷。尽管 如此,当时这类学校对于传播科学和文化还是起了一定的作用,在大学之外,则 由自修出来的计算师讲授算术、代数和会计。 虽然所谓“阿拉伯记数法”早在公元 976 年便见于西班牙文手抄本,但它的 传播和普遍使用却经历了几个世纪之久。意大利数学家列昂纳多〃斐波纳契在 1202 年发表的《算盘全集》 ,对介绍这种记数法起了一定作用。书中还包括一次 同余式组的计算。 列昂纳多经常到东方经商,这本书中也收集了许多东方算术和 代数题。他在 1220 年发表的《几何学实习》一书中证明了方程的根不能用尺规

作图,并求出了方程多达六位的六十进制小数的近似正根,因此,他是欧洲第一 个给出三次方程的解法和第一个认识到代数与几何可以联系起来的数学家。 列昂纳多还是一位有创造性的数学家,在他的著作中除了有东方的数学外, 还包括许多古代东方不曾出现过的示例。著名的斐波纳契数列 0,1,1,2,3,5,8,13,21,……, 数列的每一项均为其前两项之和。 十四世纪以后, 欧洲各大学逐渐形成了科学中心。一些知名数学家多是教会 大学毕业的教士,如英国的托〃卜拉华丁、法国的尼〃奥雷斯姆,两人都是教士, 他们对于无理数已有相当清楚的认识。 卜拉华丁是欧洲最早研究无穷大量和无穷 小量的数学家, 奥雷斯姆则引用了分指数而著名。后者还用图表示了两个变量之 间的函数关系, 并且是函数在极值附近变化性质的最早研究者。所有这些都构成 了十七世纪形成的无穷小分析的前驱观念。 十五世纪欧洲数学家的杰出代表是德国德雷奥蒙坦,即约〃缪勒。他的代表 作是《论各种三角形》 ,这是在纳索尔丁〃图西之后 200 年来出现的第一部优秀 三角形著作。 在这部著作中, 除了还没有如同我们现在的三角学著作中各种方便 的符号而使用了字句表示外, 数学的这一学科几乎达到了完美阶段。他也是阿基 米德、阿波罗尼、海伦等人著作的主要译者之一。 十五世纪末在数学界诞生了两件有意义的事情, 一是法国数学家休凯引进了 负指数和零指数, 二是意大利数学家帕奇欧里的《算术集成》一书的发表。休 凯使用的数学符号较前已有很大的改进。 《算术集成》是印刷最早的数学书之一, 书中包括了当时所知的算术、代数和三角的几乎全部内容。 十四至十六世纪由于机械的发展、中国四大发明的传播,以及它们对于生产 的的促进, 使西欧各国的资本主义迅速产生和发展。其中尤以地处海路要塞的意 大利威尼斯、热那亚、佛洛伦萨诸商业城市发展最快。作为西欧新兴资本阶级在 意识形态领域中反封建斗争的文艺复兴,即发源于十四世纪的意大利,而后遍及 西欧各国。 文艺复兴于十六世纪达到极盛期,这也是西欧开始超越东方文明古国 的第一个世纪,从此,后来者居上,在数学史保持了长期的领先地位。 这一突破首先是从数学开始的。 古希腊和古东方人虽然解决过某些特殊的三次方程, 却并未得到三次方程的 一般解法,这个问题在几百年中几乎被认为是无法解决的,但在十六世纪,终于 为意大利数学家菲格所解决。 经过二十年后,意大利另一位数学家塔尔塔利亚也 独立得到了同样结果。这一结果被收入他们的同胞卡丹的《大法》一书中,并被 称为“卡丹公式” ,由此引发了数学史上一场有名的论战。 值得一提的是虚数在历史上最早出现在解三次方程的理论中, 而不是像如今 代数学教程中那样由二次方程理论中引出。 十六世纪的法国也为欧洲数学的发展做出了贡献,其代表人物为韦达。韦达 虽以代数方程根和系数关系的“韦达定理”而被后人所知,但他最大的贡献却是 精心制定了一套令人满意的代数符号,在他的《美妙的代数》中,由于使用了字 母作为数字的符号,从而大大推动了代数问题研究的深入。韦达计算出的 ? 直到 小数九位,并给出了用无穷乘积表达的 ? 的第一个准确的解析式

?
2

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? 2 2 2 2 2 2

他在几何与三角学中也有许多成就。例如,他在几何作图的能否问题中应用了代

数方程,确定了自变量变化到 ? ? 的三角函数,并把卡丹的三次方程解化为一个 三角解,从而避免了 0 ? a 。 内容与形式总是辩证统一的。韦达引入的新符号是数学发展的必然产物;而 新符号又大大促进了数学内容的发展。 韦达的新符号后来成了笛卡尔用代数方法 研究几何的先驱。 与韦达同时代的雷科德引入了等号“=” 。 十六世纪值得称道的数学成就还有比利时数学家斯蒂文的《十进小数》 ,这 部书充分估价了十进小数的作用,并使小数点的使用完全确定下来,这就使得这 种最早起源于中国的记数法最终臻于完善,并逐步为全世界所接受。 十七世纪在初等数学方面的一大成就就是对数的发明。 这归功于英国数学家 耐普尔,他于 1614 年首创了对数,后来,另一位英国数学家卜瑞格斯对耐普尔 建立的关系进行了改造,引入了我们现在的常用对数。 文艺复兴时代科学的发展是同资本主义的兴起分不开的, 这在数学家当中也 留下了痕迹,帕奇欧里的《算术集成》中,给出了最早的复式簿记的说明;斯蒂 文的《十进小数》则用这样一句话开始: “献给所有的文学家、测量家,以及花 毡、酒桶和其他物品的测量家;献给所有造币厂的厂长和商人,祝他们走运。 ” 结语 通过上面的介绍可以看出, 在长达几千年的数学史中, 人们长期是在所谓 “初 等数学”的范围内徘徊的。这是由于生产力的长期缓慢地发展所决定的,直到十 七世纪以前, 数学这株大树只是在故乡的沃土长出了树干和不多的主枝。十七世 纪以后, 数学有了长足的进步。 根深才能叶茂, 当我们今天欣赏这棵参天大树时, 有谁能忘却那绿叶籍以托身的树干和赖以生长的树根呢?


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