nbhkdz.com冰点文库

全国高中数学联赛模拟试题1答案


第一试 一 1. ? 1354 ? 2.
3 3. 6

4. 2 5.
9? 16 6. 0

7. 248 8 337 二 9.

? 原不等式成立

10 . 设 A ( x1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ? y 12 ? 2 px 1 ? 则? 2 ?

y 2 ? 2 px 2 ? 设直线 AB 的解析式 l : x ? my ? b 带入抛物线方程中得: y ? 2 pmy ? 2 pb ? 0由韦达定理得:
2

? y 1 ? y 2 ? 2 pm ? ? y 1 y 2 ? ? 2 pb ? PA ? PB , 直线 PA 与直线 PB 的斜率乘积为 ? ? y 0 ? y1 x 0 ? x1 ? y0 ? y2 x0 ? x2 ? ?1 ? y 0 ? y1 y
2 0 2 1

?1
2

?

y0 ? y2 y0
2

? ?1

?
2

y

?

y2

2p ? 2p ( y 0 ? y 1 )( y 0 ? y 2 )

2p

2p

2p

? ? 1 ? y 0 ? y 0 ( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 2 p ? 0
2

带入韦达定理得: ?b ? y
2 0

2 pb ? y 0 ? 2 pmy

0

?2p

2p

? my 0 ? 1 y0
2

? 直线 AB 的方程 l : x ? m ( y ? y 0 ) ? 即直线 AB 过定点 Q ( y0
2

?1

2p

2p

? 1, ? y 0 ), 又 ? PH ? AB (除去 P 点和 P 关于 x 轴的对称点)

? H 在以 PQ 为直径的圆上

? H 的轨迹方程: ( x ? x 0 )( x ? x 0 ? 1) ? ( y ? y 0 )( y ? y 0 ) ? 0 ( x ? x 0 )

11 . 我们先来证明一个引理 :

?x , y ? 1 .当 xy ? 0时,x ? y ? x ? y ? max ? x , y ? ? min ? x , y ? x ? y ? x ? y ? max ? x , y ? ? min ? x , y ?
对于任意 x , y ? R , 都有: x ? y ? x ? y ? max 2 .当 xy ? 0时 , x ? y ? x ? y ? max x ? y ? x ? y ? max 所以对于任意 下面证明本题: f ( ? k ) ? ak ? f (0) ? c f ( k ) ? ak a ? ?b ?
2 2

?x ,

? x , y ? ? min ? x , y ? y ? ? min ? x , y ?

x , y ? R , 引理都成立

? bk ? c

? bk ? c
2

f (? k ) ? f (k ) ? 2 f (0) 2k f (k ) ? f (? k ) 2k f (k ) ? f (? k ) ? 2 f (0) 2k
2

c ? f (0)

? a ? b ? c ?

?

f (k ) ? f (? k )

2 k ? f (0)

?

f (k ) ? f (? k ) ? k f (k ) ? f (? k ) 2k
2

? 1 ? ? ? 2 ? 1? ? f (0) ?k ?

又由引理得 f (k ) ? f (? k ) ? k f (k) f (? k ) ? ? ( k ? 1) max ? ? ? ( k ? 1) max

? f (k ) , ? f (k ) ,

f ( ? k ) ? ? (1 ? k ) min

? f (k ) , f ( ? k ) ? ? ( k ? 1) min ? f ( k ) ,

f ( ? k ) ?, f ( k ) f ( ? k ) ? 0 f ( ? k ) ?, f ( k ) f ( ? k ) ? 0 f ( ? k ) ? ? (1 ? k ) min

? 0 ? k ? 1,所以 f ( k ) ? f ( ? k ) ? k f ( k ) ? f ( ? k ) ? ( k ? 1) max ? ( k ? 1) t ? (1 ? k ) t ? 2 t ? f (k ) ? f (? k ) ? k f (k ) ? f (? k ) 2k
2

? f (k ) ,

? f (k ) ,

f (? k ) ?

t ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? ? f (0 ) ? 2 ? ? 2 ? 1 ?t ? ? 2 ? 1 ?t k ?k ? ?k ? ?k ?

2t 2 2t 2 ? 2 ? 即 a ? b ? c ? ? 2 ? 1 ? t , 当 f ( x ) ? 2 x ? t 或 f ( x ) ? ? 2 x ? t 时满足条件且取等号 k k ?k ? ? 要求的最大值就是 ? 2 ? ? 2 ? 1 ?t ?k ?

二试 一.

二. 先证明一个引理: 设 a , b 为正整数 ( a ? b ), p 为质数。
k k ?1 ? ? ? ? a1 p ? a 0 ? a ? a k p ? a k ?1 p 设? k k ?1 ? b ? b k p ? b k ?1 p ? ? ? b1 p ? b 0 ?

( a i 可以为 0,但不全为

0, i ? ?0 ,1, ? k ?

记 S ( n ) 为 n 在 p 进制下各个数位数码和 如: S ( a ) ? a k ? a k ? 1 ? ? ? a 1 ? a 0 P ( n ) 为 n 含 p 的次幂数,如: 引理 C
b a bk b k ?1 b0

P (a ) ? k

? C a k C a k ?1 ? C a 0 (mod p )
0 a

( 这里规定 C 0 ? 1, C b ? 0 ) 下面证明引理: ? p C p ( i ? 1, ? p ? 1) ? ( x ? p ) ? (1 ? x )(mod p )
i a a

? (x ? p) ? (x ? p
a

ak

)

pk

(x ? p

a k ?1

)

p k ?1

? (1 ? x )(mod p )
b b b

比较同余式两边

b 的系数得: 题

C

b a

? C a kk C a kk ??11 ? C a 00 (mod p )

引理证毕,下面回到本 我们先求 C
k 2012

中不能被 2 整除的数

取 a ? 2012, p ? 2, b ? k , 2012 的二进制表示为: 1111101100 设 k 的二进制表示为: 有引理得:
k

t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10
t1 t t t t t t t t t

C

k 2012

? C 1 C 1 2 C 1 3 C 1 4 C 1 5 C 0 6 C 1 7 C 1 8 C 09 C 01 0

为了使 C 2012 不被 2 整除,则 t 6 ? t 9 ? t 10 ? 0 其余数位可取
k

1, 2,所以共有 1885 个

2 ? 128 个
7

? C 2012 中的偶数有

三. (1) 令 x ? x x -1 a a -1 由题设条件 ? a, ,y ? y y -1 b b -1 xyz ? 1得: ? b, z z -1 ,z ? c c -1 ? c, 则

abc ? ( a - 1)( b - 1)( c - 1)即 a ? b ? c - 1 ? ab ? bc ? ca , 所以 a ? b ? c ? ( a ? b ? c ) - 2 ( ab ? bc ? ca )
2 2 2 2

? ( a ? b ? c ) - 2 ( a ? b ? c - 1)
2

? ( a ? b ? c - 1) ? 1 ? 1
2

所以

x

2 2

?

y

2 2

?

z

2 2

?1
2

( x - 1)

(y - 1)

( z - 1)
2

( 2 ) 令 ( x , y , z ) ? (k 是正整数,则

k ( k - 1)

,k -k ,

k -1 k
2

),

( x , y , z ) 是三元有理数组 k,

x, y, z 都不等于 1,且对于不同的正整数 三元有理数组 x
2 2

( x , y , z ) 是与不相同的。此时:
2 2

? k
2

y

?

z

2 2

(x - 1) ?

( y - 1) ?

( z - 1)
2

(k - k )
2

2 2

( k - k ? 1)
2 4 3

2

( k - k ? 1)

?

( k - 1)
2

2 2

( k - k ? 1)

?

k - 2 k ? 3k - 2 k ? 1
2

( k - k ? 1)
2

2

?1

证毕

四. 考虑 2 n 个点的情况 设这 2 n 个点分别为 , 设有 2 n 个点时,有 v 1, v 2 , v 3 , ? v 2 n a n 种方法

设 v 1与 v k 相连( 1 ? k ? n ) 则此弦两边各剩下 ( k ? 1) 和 ( n ? k ? 1) 个点, 2 2

各有 a k , a n ? k 种连接方法 所以 a n
? 1

?

?aa
k k ?1

n

n ? k

且 a 0 ? a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a 3 ? 5 , a 4 ? 14 , a 5 ? 42 , a 6 ? 132 , a 7 ? 429 a 8 ? 1430 , a 9 ? 4862 , a 10 ? 16796 , a 11 ? 58786 , a 12 ? 208012 所以有 208012 种方法


2015全国高中数学联赛预赛模拟题1

2015全国高中数学联赛预赛模拟题1_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 1 1.已知函数 y ? sin 2 x ,则最小正周期为___. 1 (1 ...

2015年全国高中数学联赛模拟试题11

2015年全国高中数学联赛模拟试题11_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题...

2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 4 x2 1.不...2014 模拟卷(1) 第 2 页共 5页 2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案 1...

全国高中数学联赛模拟试题(一)

全国高中数学联赛模拟试题(一)(命题人:吴伟朝) 第一试一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,...

全国高中数学联赛模拟试题(一)

全国高中数学联赛模拟试题(一)(命题人:吴伟朝) 第一试一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,...

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)

历年全国高中数学联赛试题答案(76套题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。历年精华,不用等待,动手吧 1988 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 16 日上午 8∶00...

全国高中数学联赛模拟试题

全国高中数学联赛模拟试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。一. 全国高中数学联赛模拟...参考答案 一填空题 1. ?0,1? 2 令 t=sinx, t ? ?? ? ? 3 1? ,...

2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)

2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严 格...

全国高中数学联赛集训试题(1)及参考答案

全国高中数学联赛集训试题(1)及参考答案一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是( ( A) (-∞...