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2.1.1指数与指数幂的运算(一)


2.1.1

根式

复习引入
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%. 那么,在2001~ 2020年,各年的GDP可望为2000年的多 少倍?

复习引入
问题1 据国务院发展研究

中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%. 那么,在2001~ 2020年,各年的GDP可望为2000年的多 少倍? 提问:正整数指数幂1.073x的含义是什么? 它具有哪些运算性质?

(1) 整数指数幂的概念:

a ? ______ ( n ? N ),
n

?

a ? ______ (a ? 0),
0

a

?n

? ______ (a ? 0, n ? N ).

?

(2) 运算性质:

a ? a ? ______ (m, n ? Z ),
m n

(a ) ? ______ ( m, n ? Z ),
m n

(ab) ? _______ (n ? Z ).
n

问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减,大约每经过5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半 衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系

P?

t 1 5730 ( ) .

2

问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减,大约每经过5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半 衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系

1 P?( ) 2
1 提问: ( ) 2 什么?
6000 5730

t 5730

.
1 ( ) 2
100000 5730

1 , ( ) 2

10000 5730

的意义是

讲授新课
根式:
(1)求:

①9的算术平方根,9的平方根;
②8的立方根,-8的立方根; ③什么叫做a的平方根?a的立方根?

(2)定义 一般地,若xn=a (n>1, n∈N*),则 x叫做a的n次方根.
n

a 叫做根式,

n 叫做根指数, a 叫做被开方数.

例如:27的3次方根表示为

-32的5次方根表示为
a6的3次方根表示为

例如:27的3次方根表示为

3

27,

-32的5次方根表示为
a6的3次方根表示为

例如:27的3次方根表示为

3

27,
5

-32的5次方根表示为
a6的3次方根表示为

? 32,

例如:27的3次方根表示为

3

27,
5

-32的5次方根表示为 ? 32,
a6的3次方根表示为
3

a ,

6

例如:27的3次方根表示为

3

27,

-32的5次方根表示为 5 ? 32,
a6的3次方根表示为 16的4次方根表示为
3

a ,

6

例如:27的3次方根表示为

3

27,
5

-32的5次方根表示为 ? 32,
a6的3次方根表示为
3

a ,

6

16的4次方根表示为 ? 4 16,

例如:27的3次方根表示为

3

27,

-32的5次方根表示为 5 ? 32,
a6的3次方根表示为
3

a ,
4

6

16的4次方根表示为 ? 16,

即16的4次方根有两个,
4 ? 16. 一个是 16, 另一个是

4

它们的绝对值相等而符号相反.

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数.

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数.

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数.

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作:

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ? n a .

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ? n a . ②当n为偶数时:正数的n次方根有 两个(互为相反数).

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ? n a . ②当n为偶数时:正数的n次方根有 两个(互为相反数). 记作:

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ?
n

a.

②当n为偶数时:正数的n次方根有 两个(互为相反数).
记作: x ? ? a .
n

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ? n

a.

②当n为偶数时:正数的n次方根有 两个(互为相反数).
记作: x ? ? a . ③负数没有偶次方根.
n

(3)性质 ①当n为奇数时:正数的n次方根为 正数,负数的n次方根为负数. 记作: x ? n a . ②当n为偶数时:正数的n次方根有 两个(互为相反数). 记作: x ? ? a .
n

③负数没有偶次方根. ④0的任何次方根为0.

注:

当a ? 0时, a ? 0, 表示算术根,
n

所以类似4 16 ? ?2的写法是错误的 .

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时,

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时, a ? a;
n n

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时, a ? a;
n n

当n为偶数时,

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时, a ? a;
n n

? a ( a ? 0) 当n为偶数时, a ?| a |? ? ?? a(a ? 0).
n n

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时, a ? a;
n n

? a ( a ? 0) 当n为偶数时, a ?| a |? ? ?? a(a ? 0).
n n

② 当n为任意正整数时,

(4)常用公式
n

a 表示a 的n次方根, 等式 a ? a
n n n n n n

一定成立吗?如果不一 定成立,那么 a 等于什么?
① 当n为奇数时, a ? a;
n n

? a ( a ? 0) 当n为偶数时, a ?| a |? ? ?? a(a ? 0).
n n

② 当n为任意正整数时,( a ) ? a.
n n

例1 求下列各式的值:

(1) ( 3)

3

( ?8 ) ;
3

( 2)
4

( ?10) ;
2

4

(3 ? ? ) ;

( 4)

(a ? b) (a ? b).
2

例2 求下列各式的值:

(1) ( 2)
(3)

7

( ?2 ) ;
7

4

( 3a ? 3) ;
4

3

(?8) ? (3 ? 2) ? (2 ? 3 ) .
3 4 4 3 3

例3 求出使下列各式成立的x的取值范围:

1 1 3 (1) ( 3 ) ? ; x?3 x?3

(2) ( x ? 5)( x ? 25) ? (5 ? x ) x ? 5 .
2

例4 计算: ( 3 ? 2)

2006

( 3 - 2)

2007

.

课堂小结
1.根式的概念; 2.根式的运算性质: ① 当n为奇数时, a ? a;
n n

当n为偶数时,

n

? a ( a ? 0) a ?| a |? ? ?? a(a ? 0).
n

② 当n为任意正整数时,( a ) ? a.
n n

课后作业
1.阅读教材P.48-P.50; 2.《习案》作业十四.

思考题:
1. 化简 :
8

b ? (a ? b) ? (a ? b) (a ? 0, b ? 0).
8 8 8 7 7
2 2 2

2. 若x ? 6 x ? 8 ? 0, 化简 : x ? 4 x ? 4 ? x ? 6 x ? 9 .

3. 已知10 ? 2,10 ? 3, 10 ? 5, 3a ? 2b? c 求10 的值.
a b c

4. 计算 5 ? 2 6 .

3 5 例4 已知 ? ? x ? , 化简: 2 2

4 x ? 12 x ? 9 ? 4 x ? 20 x ? 25 .
2 2


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