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2.2.2 双曲线的简单几何性质


重庆二外

第二章 圆锥曲线与方程
2.2.1 双曲线的简单几何性质

Verakin High School of Chongqing

一、思考回顾
复习1 椭圆的图像与性质

y
B2(0,b) (a,0) A2 o (c,0) x F
2
<

br />x2 y2 ? 2 ?1 2 标准方程 a b (-a,0) ( a ? b ? 0)

范围 对称性 顶点

?a ? x ? a ?b? y ? b
对称轴:坐标轴

A1

F1(-c,0)

对称中心:原点

B1(0,-b)

A1,A2,B1,B2
c 0?e? ?1 a

离心率

一、思考回顾
复习2 双曲线的标准方程

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 F2 (焦点在x轴上,(-c,0)、 (c,0)) 形式二: y 2
x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2

F1 (焦点在y轴上,(0,-c) F(0,c)) 2
其中 c ? a ? b
2 2 2

二、讲授新课

类比椭圆几何性质的研究方法,

我们根据双曲线的标准方程
研究它的几何性质。

二、讲授新课
一、研究双曲线 质 1、范围 2 2 x y ? 2 ? 1? 2 ? 1 a b ? x2 ? a2 ? x ? a或x ? ? a 2、对称 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

的简单几何性 y
(x,y)

(-x,y) -a
(-x,-y)

o a

x
(x,-y)

性 关于x轴、y轴和原点都对称。

二、讲授新课
3、顶点
(1)令y=0,得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0),我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根,说明双曲线与y 轴没有交点,但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。 (2)如图,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a, y a叫做实半轴长;线段B1B2叫做 双曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
B2 A1
o

(3)实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。

A2

x

B1

二、讲授新课
4、渐近线
点M的横坐标越来越大,M到直线的距离越来越小, 但永远不等于0.
x2 y2 可以看出,双曲线 2 ? 2 ? 1 a b b 的各支向外延伸时,与直线 y ? ? x a
y

Q

b B2

M(x,y)

逐渐接近,我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。

A1

o

A2
a
x

B1
b y? x a
b y?? x a

双曲线与渐近线无 限接近,但永不相交。

二、讲授新课
c (1)定义:双曲线的焦距与实轴比 e ? , a
叫 离心率。 做双曲线的 (2)e的范围: ? c>a>0 ? e >1 思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢?

5、离心率

e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。

二、讲授新课
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程: 双曲线性质: 1.范围:

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

y A2 B1 o A1 B2 x

y≥a或y≤-a
A1(0,-a),A2(0,a)

2.对称性: 关于坐标轴和原点对称 3.顶点:

A1A2为实轴,B1B2为虚轴 a 4.渐近线方程: y ? ? x b
5.离心率:

c e? ?1 a

三、典型例题
例1:求双曲线 9y 2 - 16x2 = 144 的实半轴长, 虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。
y2 x2 ?1 解:把方程化为标准方程 ? 16 9 可得:实半轴长 a ? 4 虚半轴长 b ? 3

半焦距 c ? 42 ? 32 ? 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

三、典型例题
例2:点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和 16 的距离的比是常数 5 它到定直线l:x ? 4 5 求点M的轨迹.

四、当堂检测
1.求下列双曲线的实轴、虚轴的长,顶点、焦点 的坐标和离心率:

(1) x ? 8 y ? 32;
2 2

( 2)9 x ? y ? 81;
2 2

( 3) x ? y ? ?4;
2 2

2.求符合下列条件的双曲线的标准方程: 5 e (1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是8, ? 4 4 (2)焦点在y轴上,焦距是16, ? e 3

x y ( 4) ? ? ?1 49 25

2

2

四、当堂检测
x2 y2 3.求以椭圆 ? ? ?1 的焦点为顶点,以椭圆 8 5 的顶点为焦点的双曲线的方程.

4.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),求它的标 准方程和渐进线方程.


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