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不动点与稳定点


高考数学试题研究
不动点:已知函数 y ? f (x) , x ? I ,若存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数
y ? f (x) 的不动点。
不动点实际上是方程组 ?

? y ? f ( x) 的解 ( x 0 , y 0 ) 的横坐标,或两者图象的交点的横坐标 ?y ? x

>
当然,这个方程组根据函数 y ? f (x) 的不同,可能有多解。

例如 1: ?

? y ? 2x ? 1 的解只有一个 (1,1) ,故函数 y ? 2 x ? 1 有一个不动点 x0 ? 1 ?y ? x
的解为 (?

例如 2: ?

? y ? 2x 2 ? 1 ?y ? x

1 1 1 , ) , (1,1) ,故函数 y ? 2 x 2 ? 1 有两个不动点 ? ,1 2 2 2

稳定点:已知函数 y ? f (x) , x ? I ,若存在 x0 ? I ,使得 f ( f ( x0 )) ? x0 ,则称 x0 为
函数 y ? f (x) 的稳定点。 很显然,若 x0 为函数 y ? f (x) 的不动点,则 x0 必为函数 y ? f (x) 的稳定点。 证明是非常简单的!因为 f ( x0 ) ? x0 ,所以 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 , 即 f ( f ( x0 )) ? x0 ,故 x0 也是函数 y ? f (x) 的稳定点。 反之,有没有不是不动点的稳定点呢?答案是肯定的! 例如 3:设 f ( x) ? 2 x ? 1 ,令 2(2 x ? 1) ? 1 ? x ,解得 x ? 1 故函数 y ? 2 x ? 1 有一个稳定点 x0 ? 1 例如 4: f ( x) ? 2 x ? 1 ,令 2(2 x ? 1) ? 1 ? x ,因为不动点必为稳定点,所以该方程一
2 2 2

定有两解 x ? ?

1 ,1 ,由此因式分解,可得 ( x ? 1)( 2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 2
?1? 5 ?1? 5 1 2 ,故函数 y ? 2 x ? 1 的稳定点有 ? ,1 , 4 4 2

还有另外两解 x ?

其中

?1? 5 是稳定点,但不是不动点。 4

请看下面四个图形,分别对应例 1、2、3、4.

y

y ? 2x ? 1

y

y ? 2x 2 ? 1

y?x

y?x

x
图-1 图-2

x

y

y ? 2x ? 1

y

y ? 2x 2 ? 1

y?x

y?

1 1 x? 2 2

x
y?? x ?1 2

x
y?x
图-3

图-4

由此,清晰可见,不动点是函数图象与直线 y ? x 的交点的横坐标,而稳定点是函数图象与 它的反函数(可以是多值的)的图象的交点的横坐标. 根据例 1 和例 3,我们可以给出命题:

若函数 y ? f (x) 单调递增,则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明:若函数 y ? f (x) 有不动点 x 0 ,显然它也有稳定点 x 0 ; 若函数 y ? f (x) 有稳定点 x 0 ,即 f ( f ( x0 )) ? x0 ,设 f ( x0 ) ? y 0 ,则 f ( y 0 ) ? x0 即 ( x 0 , y 0 ) 和 ( y 0 , x 0 ) 都在函数 y ? f (x) 的图象上, 假设 x 0 ? y 0 ,因为 y ? f (x) 是增函数,则 f ( x0 ) ? f ( y 0 ) ,即 y 0 ? x 0 ,与假设矛盾; 假设 x 0 ? y 0 ,因为 y ? f (x) 是增函数,则 f ( x0 ) ? f ( y 0 ) ,即 y 0 ? x 0 ,与假设矛盾; 故 x 0 ? y 0 ,即 f ( x0 ) ? x0 , y ? f (x) 有不动点 x 0 .

【2013 年? 四川卷 (文科)第 10 题】 1. 设 函 数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) . 若 存 在 b ? [0,1] 使
) D. [0,1]

f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是(
A. [1, e] 解析: f ( x) ? B. [1, e ? 1]

C. [e, e ? 1]

e x ? x ? a ,根据复合函数的单调性,可以判断该函数为增函数 又因为存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b ,即有稳定点 b , 所以它必有不动点 b ? [0,1] ,使得 f (b) ? b
即 f ( x) ?

e x ? x ? a ? x 在 x ? [0,1] 有解,
x 2
x 2

整理可得, a ? e ? x ? x ,在 x ? [0,1] 有解 令 g ( x) ? e ? x ? x , x ? [0,1] ∵ g ?( x) ? e ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,∴ g (x) 在 x ? [0,1] 单调递增
x

g (0) ? 1 , g (1) ? e , a ? [1, e] ,故选择 A.
【2013 年? 四川卷 (理科)第 10 题】 设函数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数). 若曲线 y ? sin x 上存在点
) D. [e
?1

( x0 , y 0 ) 使 f ( f ( y 0 )) ? y 0 成立,则 a 的取值范围是(
A. [1, e] 解析: f ( x) ? B. [e
?1

? 1,1]

C. [1, e ? 1]

? 1, e ? 1]

e x ? x ? a ,根据复合函数的单调性,可以判断该函数为增函数 又因为存在 y 0 ? [?1,1] 使 f ( f ( y 0 )) ? y 0 ,即有稳定点 y 0 ,
所以它必有不动点 y 0 ? [?1,1] ,使得 f ( y 0 ) ? y 0 即 f ( x) ?

e x ? x ? a ? x 在 x ? [?1,1] 有解,显然 x ? [?1,0) 是无解的.
x 2
x 2

整理可得, a ? e ? x ? x ,在 x ? [0,1] 有解 令 g ( x) ? e ? x ? x , x ? [0,1] ∵ g ?( x) ? e ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,∴ g (x) 在 x ? [0,1] 单调递增
x

g (0) ? 1 , g (1) ? e , a ? [1, e] ,故选择 A.


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