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华侨高级中学2013年高一数学暑期作业参考答案

时间:2013-08-03


高一数学暑期作业 1.函数(1)
1.如果 M={x|x+1>0},则 ({0} ? M ) 2.若集合 P ? {1,2,3} ? {1,2,3,4} ,则满足条件的集合 P 的个数为 ( 8 ) 3.已知集合 A={y|y=-x +3,x∈R},B={y|y=-x+3,x∈R},则 A∩B=( {y|y≤3} ) 4.用列举法表示集合: M ? {m|

/>2

10 ? Z , m ? Z} = m ?1

?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9?
0 或1 )
*



5.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是(

4 2 6.已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B ,使 B 中元素

?

?

y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( 2,5 )
1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 15 ) 2 2 x 2 25 8.若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? , 4] ,则 m 的取值范围是( [ 3 , ) ? 3] 4 2
7.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? 9 . 设 f ( x) 是 奇 函 数 , 且 在 (0, ??) 内 是 增 函 数 , 又 f (? 3)? 0, 则 x ? f ( x) ? 0的 解 集 是 ( ? x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? ) 10.设全集 U ? ( x, y ) x, y ? R ,集合 M ? ?( x, y ) y ? 2 ? 1? , N ? ( x, y ) y ? x ? 4 , ? ? x?2 ? ? 那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于___ ??2,?2 ?? 11.若-3∈{a-3,2a-1,a -4},求实数 a 解.a=0 或 a=1 12.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q ? P,求 a 的一切值。
2 2

?

?

?

?



解.a=0 或 a=-1∕2 或 a=1∕3 13.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1} (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围。 (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数。 (3)x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围。 解(1) (??,3] (2)254 个 (3)m>4

14.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x ) ? g ( x) ? 1 ,求 x ?1

f ( x) 和 g ( x) 的解析式.

解:∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)
1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ? x ?1 1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?? ?x ?1 x ?1 1 ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2x 。 x ?1 x ?1 2 2 15.已知 f ( x) ? ?4 x ? 4ax ? 4a ? a 在区间 ? 0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.
而 f ( x ) ? g ( x) ? .解:对称轴 x ?

a a ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间, 2 2
2

则 f ( x) max ? f (0) ? ?4a ? a ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ; 当

a ? 1, 即 a ? 2 时, ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x)max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5 , 2
a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2

得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ?

则 f ( x)max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ?

a 2

5 5 5 ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 . 4 4 4

1 16.已知函数 f ( x) 定义域是 (0,??) ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 ,对于 0 ? x ? y ,都有 2

f ( x) ? f ( y ) ,

(1)求 f (1) ; (2)解不等式 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2
? x ?? 2 ? 0 ? 则 ?3 ? x ? 0 , 得 ?1 ? x ? 0 ? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?

2.函数(2)
1.下列函数中是奇函数的有几个(

4 )

①y?

ax ?1 a x ?1
x

②y?

lg(1 ? x 2 ) x?3 ?3
?x

③y?

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

2.函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称( 3.3.已知 x ? x
?1

原点中心对称 )

? 3 ,则 x 2 ? x 2 值为(

3

?

3

2 5



4.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( 5.若函数 f ( x) ? 1 ?
x

3e x ? 4 )

m 是奇函数,则 m 为____2____。 a ?1
2

6 6.已知 f ( x ) ? log 2 x ,那么 f (8) 等于( 1 )
x 7.函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为( 1 )

2

8.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (1,2) ) 9.函数 f ( x) ? log a x ? 1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x) 在 (1, ??) 上( A ) A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值 10.(1)若函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为___ (1, ??)
2

(2)若函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 1 的值域为 R ,则 a 的范围为___ 1 ? a ? 2 ______。
2

?

?

?

?

? 0,1?

____。

11.解方程: (1) 9
?x 2

?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x x

x

解. (1) (3 ) ? 6 ? 3

?x

? 27 ? 0, (3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 , 得 x ? ?2
(2) ( ) ? ( ) ? 1, ( )
x x

2 3

4 9

2 3

2x

2 2 5 ?1 2 , 得x ? log 2 ? ( ) x ? 1 ? 0 由 ( ) x ? 0, 则( ) x ? 3 3 2 3 3

5 ?1 2

12.求函数 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 在 x ? ? ?3, 2 ? 上的值域。

1 1 4 2 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 2 3 解: y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? [( ) ] ? ( ) ? 1 ? [( ) ? ] ? , 2 2 4 4 2 2 2 1 1 x 而 x ? ? ?3, 2 ? ,则 ? ( ) ? 8 4 2 1 x 1 3 1 x 当 ( ) ? 时, ymin ? ;当 ( ) ? 8 时, ymax ? 57 2 2 4 2 3 ∴值域为 [ ,57] 4
13.已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。
x x

解 由已知得 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 7,
x x

即?

?4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 7 ?(2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0 ? ? , 得? x x x x ?4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?(2 ? 1)(2 ? 2) ? 0 ? ?

即得 0 ? 2 ? 1 ,或 2 ? 2x ? 4
x

因此 x ? 0 ,或 1 ? x ? 2 。 14.已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小。 解: f ( x) ? g ( x) ? 1 ? log x 3 ? 2log x 2 ? 1 ? log x

3 , 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ,即 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ,即 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ,即 1 ? x ? 时, f ( x) ? g ( x) 。 3 4
1? ? 1 ? ? ? x ? 0 ? ,⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; x ? 2 ?1 2 ?
⑵证明 f ? x ? ? 0 .

15.已知 f ? x ? ? x ? (1) f ( x) ? x(

1 1 x 2x ? 1 x 2? x ? 1 x 2 x ? 1 ? )? ? x f (? x) ? ? ? ? x ? ? ? f ( x) ,为偶函数 x 2 ?1 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2x ?1

16.设函数 y = 2 ? x 的定义域为集 A,关于 x 的不等式 lg(2ax)<lg(a+x)(a>0)的解集为 B, x ?1 求使 A∩B=A 的实数 a 的取值范围. 解:由

2? x ≥0,∴1<x≤2,即 A=(1,2]. x ?1
2ax>0, 2ax<a+x. 由 a>0, 得 x>0, (2a-1)x<a.

由 lg(2ax)<lg(a+x), 得

1 a a 时,0<x< , ∴B=(0, ). 2 2a ? 1 2a ? 1 a 1 2 要使 A∩B=A,即 A ? B, ∴ >2, ∴ <a< . 2a ? 1 2 3 1 1 (2)当 2a-1<0,即 0<a< ,则 x>0,∴B=(0,+∞),此时显然 A∩B=A,∴0<a< . 2 2 1 (3)当 2a-1=0,即 a= 时,满足 A∩B=A. 2 2 综上可得 a 的取值范围是(0, ). 3
(1)当 2a-1>0,即 a>

3.函数的应用
1.函数 y ? f ? x ? 的图像在 ? a, b ? 内是连续的曲线,若 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在区间

? a, b ? 内(

至少有一个零点 )

2. f ? x ? ? 3ax ? 12 ? 3a 在 ? ?1,1? 上存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? 0 ? x0 ? ?1? ,则 a 的取值范围是 ? 2, ?? ?
1 ?1? 3.方程 ? ? ? x 3 有解 x0 ,则 x0 在下列哪个区间( ? 0,1? ?2?
x



4.在本市投寄平信,每封信不超过 20 克付邮资 0.8 元, 超过 20 克但不超过 40 克付 1.6 元,依此 类推,每增加 20 克增加 0.8 元(信的质量在 100 克以内),某人所寄一封信 72.5 克,则应付邮资 元. (3.2 ) 5.商品 A 降价 10%促销,经一段时间后欲恢复原价,需提价(

100 %) 9

6.如下图△ABC 为等腰直角三角形,直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB,直线 l 截这个三角形所得的位 于直线右方的图形面积为 y,点 A 到直线 l 的距离为 x,则 y=f(x)的图象大致为( C )

6.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来 越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( D ) A 一次函数 B 二次函数 C 指数型函数 D 对数型函数 7. 长为 4 宽为 3 的矩形, 当长增加 x 宽减少
2

x 时面积最大, x ? 2 , 则 最大面积 S ? 2

12



8.已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? m ? 1? x ? n 的零点是 1 和 2,求函数 y ? log n ? mx ? 1? 的零点. 解. ?

? m ? ?2 ?n ? 2
2

x?0

.

9.函数 y ? x ? ? m ? 1? x ? m 的两个不同的零点是 x1 和 x2 ,且 x1 , x2 的倒数平方和为 2,求 m . 解 m ? ?1 6.某厂生产一种服装,每件成本 40 元,出厂价定为 60 元/件,为鼓励销售商订购,当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元,据市场调查, 销售商一次订购 量不超过 500 件, (1)设一次订购量为 x 件,实际出厂单价为 P,写出 P ? f ( x) 的表达式; (2)当销售商一次订购 450 件时,该厂获得利润多少元? 解. (1) P ? f ( x) ? ?

(0 ? x ? 100) ?60 ; ?60 ? 0.02( x ? 100) (100 ? x ? 500)

(2)利润 L ? ( P ? 40) x ? ?

?20 x (0 ? x ? 100 ) ? x2 x?N , 22 x ? (100 ? x ? 500 ) ? 50 ?

x ? 450 时, L ? 5850 元.

4.三角函数(1)
1、将-300 化为弧度为( -
o

5? 3




? 2、 sin 600 的值是( ?

3 ; 2

3、终边在 x 轴上的角的集合为(S= ? ? ? k ? ? , k ? Z ? 4、下列命题中正确的是( 相等的角终边必相同 5、已知 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则角 )

?



? 的终边所在的象限是 二或四; 2 1 6、一个扇形的面积为 1,周长为 4,则此扇形中心角的弧度数为 8
cos( ? A) ? ? ?
7.如果

1 ? 1 sin( ? A) ? 2 ,那么 2 ( 2 )
0 )

8.f(cosx)=cos3x,则 f(sin300)的值是(

3 1 ? ? 9.已知 sin a cos a = 8 , 4 < ? < 2 , 则 cos a -sin a 的值为 2
10.函数 y ? lg sin x ? 16 ? x 的定义域是
2

? 0 ,? ? ? ? ?

4?? ? ,

11、已知 a 终边上一点 P( - 3a, 4a ),求 sin a、 a、tana 的值。 cos

4 3 5 4 3 4 3 ? ? 0,sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 5 5 4

? ? 0,sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ?

3 5

12、利用单位圆写出符合条件的角 ? 的集合: ? 如 右 图 所 示 ,

1 2 . ? sin ? ? 2 2 角 的 ?









{? | 2k? ?

?
6

? ? ? 2k? ?

?
4

, k ? Z } ?{? | 2k? ?

3? 7? ? ? ? 2k? ? , k ? Z} 4 6

sin(? ? 5? ) cos(? sin(? ?
13.化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

? sin ?

1 ? 2 sin ? cos? 1 ? tan? ? 2 2 14.求证: cos ? ? sin x 1 ? tan?
15.

5.三角函数(2)
? ? )的一条对称轴为( x = ) 3 12 ? ? ? 2. 函数 y ? sin(?2 x ? ) 的单调递减区间是( [? ? k? , ? k? ] 6 6 3
1.函数 y=sin(2x + 3. 函数 y ? cos x ? sin x 的值域是:
2

k ?Z



5? ? ? ? 1, 4 ? ? ?

4. 函数 y ? 1 ? 2cos 取值的集合是

?
3

x, x ? R 的最大值 y= 3 ,当取得这个最大值时自变量 x 的

{x | x ? 6k ? 3, k ? Z}
?
4 ? x) 的单调减区间为

5.函数 f ( x) ? tan(

? 3 ? ? ? k? ? 4 , k? ? 4 ? ? , k ? Z ? ?



1 ? ? y ? 2 sin( x ? ) 4? , 2, 2 4 的周期,振幅,初相分别是 4 6.6.函数
y ? 3cos(3x ?
7.函数 单位长度; )

?

? 2 的图象是把 y=3cos3x 的图象平移而得,平移方法是(向左平移 6 个
)

4 y ? cos(x ? ? ) 3 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象正好关于 y 轴对称,则 ? 的最 8.把函数 1 ? 3

小正值是





11. 已知 y ? a ? b cos3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 , 最小值为 ? 。 求函数 y ? ?4a sin(3bx) 的周期、 2 2

最值,并求得最值时的 x ;并判断其奇偶性。

2? 2? ? 2? ? ,当 x ? ? 时, ymax ? 2 ;当 x ? ? 时, ymin ? ?2 ;奇函数 3 3 6 3 6 sin 2 x 12.求函数 y ? ? sin 2 x 的值域. 1 ? sin x ? cos x 1 9 解 令 sin x ? cos x ? t , ? 2 ? t ? 2 且 t ? 1 有 y ? t 2 ? t ? 2 ? (t ? ) 2 ? 2 4 9 ? y ? [? , 2 ] 4 T?

f ( x) ?
13.已知函数

3 x x (cos ? 3 sin ) ? 3. 2 2 2

(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)指出 f (x) 的周期、振幅、初相; (3)说明此函数图象可由 y ? sin x在[0,2? ] 上的图象经怎样的变换得到.

6.三角恒等变换
1.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 1? 2 2.当 x ? [? 3 4.已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m ,则 cos ? ? cos ? 的值为
2 2

? ?

, ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的(.最大值为 2,最小值为-1 2 2
m



2 5.在△ABC 中, tan A ? tan B ? tan C ? 3 3 , tan B ? tan A ? tan C 则

∠B=____ 6.已知

3 12 3 56 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? ( - ? 65 2 4 13 5 1 ? ? ? 7. sin15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于 ( ) 8
8. sin 20 cos 70 ? sin10 sin 50 的值是
? ? ? ?

?

? _____. 3


(1
4



9. cos 20 ? ? cos 40 ? ? cos 60 ? ? cos100 ? 的值等于 10. 化简 11. sin(
cos100 ? cos 5 ? ? 1 ? sin 100 ?

1 2
.

.

的结果是

? 2

?

? 3x) ? cos( ? 3x) ? cos( ? 3x) ? sin( ? 3x) . 4 4 3 6

?

?

?

解 原式= sin(? ? 3x) cos(? ? 3x) ? sin(? ? 3x) cos(? ? 3x) = 2 ? 6 . 4 3 3 4 4 12.设 x ? [0,

?

解. y ? ?2[sin( x ? ) ? ] ? , ? ymax ? , 6 2 2 2 13 14

], 求函数y ? cos(2 x ? ) ? 2 sin(x ? ) 的最值. 3 3 6 ? 12 3 3 1 .
ymin ? ? 2

?

?

2 ? 2 ? 15.已知 0 ? ? ? ? ? 90 , 且 cos? , cos ? 是方程 x ? 2 sin 50 x ? sin 50 ?
?
?

1 ? 0 的两根, 2

求 tan(? ? 2? ) 的值.
1 2 sin 50 ? ? (? 2 sin 50 ? ) 2 ? 4(sin 2 50 ? ? ) 2 ? sin(50 ? ? 45 ? ) , 2

解x ?

? x1 ? sin 95? ? cos 5? ,

x2 ? sin 5? ? cos85? ,

tan(? ? 2? ) ? tan 75 ? ? 2 ? 3

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( 0 ) ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( | a0 | ? | b0 |? 2
3.已知下列命题中:

7.平面向量(1)



? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

(1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,

?

?

?

(3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0

b (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( 2
4.若 OA = ( 2,8) , OB = (?7,2) ,则

? ?



1 AB =__ (?3, ?2) ___ 3 ? ? ? ? ? 4 3 5.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =__ ( , ? ) __。 5 5 ???? ???? 6.设点 A(2,0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
则点 P 的坐标为( (3,1) 或 (1, ?1) )

7.下列命题中正确的是(若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 8.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( 4, 0 ) )

o 9.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( (?3,6)

?

?

?

?

10.若 a = ( 2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为____

65 _______。 5

11.如图,? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点,G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a ,

??? ? ?

?

?

? ? ??? ??? ? b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .
解. DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ?

????

? 1? ? ? 1? b ?b ? a ? b 2 2 ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 ??? 1 ??? ? ? 1 ???? 1 ? ? G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3
? ?
? ? ? ? ? ?

??? ???? ?

??? ??? ???? ? ?

12.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

?

( b 解. (a ? 2b)? a ? 3b) ? a ? a ? ? 6b ? ?72

?

?

?

?2

? ?

?2

?2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0, ? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
?
?

13.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

解.设 A( x, y ) ,

???? ??? ? AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? b ?AB 5 , 2 得 A( 6 ? 3, A B ? ( ?4 , 2 ) A B ? ,0b c o ? ? ??? ? , ) s ? 10 AB
? ?
?

14.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标. 解.设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a , c ?? cos ? b , c ?,

?

? ?

? ?

? 2 ? ?x ? ? ?x ? ?x ? 2 y ? 2x ? y ? ? 2 得? 2 ,即 ? 或? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2

2 2 2 2

2 2 2 2 ? c ?( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2
15.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 解.证明:记 AB ? a , AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ?

? ????

?

????

?

? ? ???

?

?

??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b

8.平面向量(2)
1.向量 a ? (2,3) , b ? ( ?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 ?

?

?

? ?
?

?

?

2.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(

? ?

?

?

?

?

?

?

?

1 2

1 ? ? 0 ) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 4.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 120 .
3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 45

?

3 2

?

? 3



5.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =_ (2, ?1) ___。 6.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( 2a ? b ? 3 7.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? , )

?

?

?

?

?

?

?

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是( 3 2



8.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( (4,2) 或 (?4,?2)

)

? ? ? ? 9.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 4 .

10.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_直角三角形__

c b 11.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d ? (a ? )b ? (a ? )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

d [( c b c b b a 解.证明:? a ? ? a ? a ? )b ? (a ? )c ] ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )c ?

? ?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )(a ? ) ? 0 ? a ? d c b c b ? 12.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,
(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

解. ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) ( k a ? b ) ? ( a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 ka ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?
?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

13.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

( 解(1)证明:? (a ? b )? a ? b ) ? a ? b ? (cos ? ? sin ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 0
2 2 2 2

?

?

?

?

?2

?2

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? ( k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )

?

? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) 而 k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

cos( ? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

14..已知 a?b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假. ? ? ? , ? ? ? ? (1)若 a ? ? ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c b ? ? ? ? ? ? (2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角) ,方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量. .解: ? ? a ? b ? a ? c?且 a ? 0 ,则 b ? c ? (1)若 ? ? ? ,这是一个假命题 ? ? ? ? 因为 a ? b?? a? c , a ? (b ? c ) ? 0 , 仅得 a ? (b ? c ) ? ? ? ? ? (2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角) ,方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量.这是一个假命题 因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。 15.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

解.证明:设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ,则 x ?y ? ac ? bd , x ?

?

?

? ?

?

? a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x ?y ? x y ,得 ac ? bd ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a 2 ? b2 c2 ? d 2

? (ac ? bd )2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )

9.平面向量(3)
1.下列命题正确的是( C A.单位向量都相等 ) B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0

? ?

D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1
0 2.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (

? ?

? ?

?

?

13



3.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ?

?

?

? 3

4.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__ ( 5.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) ___ 2 2 2 2


?

?

? ? ?

?

?

6

6.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a? ? 5 ,则向量 b ? ( , ? ) ______。 b
0 7. a ? 1 , b ? 2 ,a 与 b 的夹角为 60 , (3a ? 5b) ? (ma ? b) , m 的值为 若 若 则

?

? ?
?

?

?

?

? ?

4 5

3 5

23 8



8 . 平 面 向 量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ?( 2t ?3 ) b , y? ? k a? ,tx b y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。 且 ?
? ?
? ? ? ? 1 3 ) 得 a ?b ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

?

?

..解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta ? ? k (t 2 ? 3)a ? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b

1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

11.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

解:? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.

??? ?

????

??? ???? ?

??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 PQ ? BC 2 1 ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ? a ? a 2 cos? . ? ?a 2 ?

故当 cos ? ? 1, 即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为0.

10.空间几何体
1.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 180 度。 2.一个圆柱的轴截面是正方形,其体积与一个球的体积之比为 3:2,则这个圆柱的侧面积与这个 球的表面积之比为 1;1 3.在正三棱锥 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离 是

3 2

5.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为 b,那么圆 柱被截后剩下部分的体积是

1 2 ? r ( a ? b) 2

6.正三棱柱的底面边长为 a, 过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相平行的截面, 在这两个 截面间的斜三棱柱的侧面积为 3ab

7.表面积为 S 的多面体的每个面都外切于半径为 R 的一个球,则这个多面体的体积为 8.长方体的表面积为 11,12 条棱的长度和为 24,则长方体的一条对角线长为 5 11.三棱锥 P-ABC 中,PA=a,AB=AC=2a, ? PAB= ? PAC= ? BAC=60 ? ,

1 SR 3

求三棱锥的体积。.取 AB,AC 的中点 M,N,连接 PM, PN,得到正四面体 P-AMN,得到 V=

2 3 a 3

12.一圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱 (1)求圆锥的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱侧面积最大,并求出最大值。 7. (1) 4 10? 故 S ? 2? ? 2 ? (2)设内接圆柱的底面半径为 r,则

6? x r ? 6 2

? ?

1 ? x ? x ,当 x=3 时,最大值为 6 ? 3 ?

13.四面体的一条棱长为 x, 其他各棱长为 1, 把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f ( x) , 并求出 f ( x) 的值域和单调增区间。 7.设四面体为 S-ABC, AS 中点 E, DE,f ( x) ? 取 连 值域为 ? 0, ? ,单调增区间为 ? 0, ? 2 ? ? 8? ? ?

x 3 ? x 2 (0 ? x ? 3) 12

?

1?

?

6?

11.点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线 平行或异面 2.一条直线和一个平面平行,过此直线和这个平面平行的平面有 一 个。 3.面 ? ? 面 ? =L,点 A ?? ,A ? ? ,则过点 A 可以作 一 条直线与两个面都平行

4.若两平面平行,则平行于其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系是 平行或线在面内 5.若夹在两个平行平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是 平行或相交 6.a,b 是异面直线,过 a 且与 b 平行的平面有 .一 个。 7.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的长为 8,12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD,AC 的 截面四边形的周长为 20 8.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 是棱 A1B1,B1C1 的中点, 是棱 AD 上一点, P AP=

1 , 3

过 P,M,N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=

2 2 3

9.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 L,则 L 与 A1C1 的位置关系是 平行 10.若平行四边形的一组对边平行于一个平面,则另一组对边与这个平面的位置关系是 .平行或 相交 11.空间四边形 ABCD 中,E,F 是 AB,AD 的中点,G,H 在 BC,DC 上,且 BG:GC=DH:HC=1:2 (1)求证:E,F,G,H 四点共面 (2)设 EG 与 HF 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线 6.(1)EF||GH (2)P 为面 ABC 与面 ACD 的公共点

12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,求异面直线 A1C1 与 B1M 所成角的余弦值

10 10
13.已知 A,B,C,D 四点不共面,M,N 是 ? ABD 和 ? CDB 的重心,求证:MN||面 ACD 解.延长 BM,BN 交 AD,CD 于 P,Q,连 PQ, 则 PQ||MN 14.面 ? ||面 ? ,P 是两面外的一点,直线 PAB,PCD 与面 ? , ? 相交于点 A,B 和 C,D (1)求证:AC||BD (2)若 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD 的长 7.PD=

27 4

12.点、直线、平面之间的位置关系(2)
1.空间四边形 ABCD,若 AB=AD,BC=CD,则 AC 与 BD 的位置关系是 垂直 2.在四棱锥的 5 个面中,两两互相垂直的平面最多有 5 对 3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面, 则这两个平面角的大小为 相 等或互补 4.三棱锥 P-ABC 中,PA ? 面 ACB,? ACB=90 ? ,PA=AC=BC=1,则异面直线 PB 与 AC 所成的角 的正切值为

2

5.已知 Rt ? ABC 中, ? ACB=90 ? ,点 P 是面 ABC 外一点,若 PA=PC=PB,则点 P 在面 ABC 上 的射影位于 AB 的中点 9 四面体 ABCD 中,AB ? CD,BC ? AD,求证:AC ? BD 解.作 AO ? 面 BCD 于 O,连 BO,交 CD 于 E,连 CO 交 BD 于 G,连 DO 交 BC 于 F,可以得证 10.四棱锥 V-ABCD 的底面为矩形,侧面 VAB ? 底面 ABCD,又 VB ? 面 VAD, 求证:面 VBC ? 面 VAC 7.VB ? VA,BC ? VA 可以得证

13.直线与圆 (一)
1、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( 90
0

不存在 ) )

2、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( 2 x ? y ? 1 ? 0 3、已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 不通过(第二象限 )

4、若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( m ? 1
2 2



4、点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是____

3 2 ___. 2

5、若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为___ 2 x ? y ? 5 ? 0 ____。 6、若 A(?2,3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为(

1 2

1 2



7、直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( 垂直 8、两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为

7 10 20

9、已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范

围是

k ? 2或k ?

3 4
x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值为

10、函数 f ( x) ?

10



11、求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直 线方程。

2x ? y ?

47 ?0 13

12、过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8x ? 5 y ? 20 ? 0
13、一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P(0,1) 点,求此直 线方程。7、 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 ,

1、设集合 M ? ? x, y ? x

?

2

14.直线与圆 (二) ? y ? 1, x ? R, y ? R?, N ? ??x, y ? x ? y ? 0, x ? R, y ? R? ,则集合
2

M ? N 中元素的个数为

2、2

2、直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x2 + y2 = 1 在第一象限内有两个不同的交点, 则 m 的取值范围是 1 < m<2 3、如果直线经过两直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 3x ? y ? 2 ? 0 的交点,且与直线 y ? x 垂直,则原点 到直线 l 的距离是

2
(3,1)

4、直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点 5、直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于
2 2

4 5


6、 P(2,?1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点, 若 则直线 AB 的方程是 ( x ? y ? 3 ? 0 7、已知方程 x +y +kx+(1-k)y+
2 2 2 2 2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( k>3 或 k<-2 4
2

)

8、圆 O:x +y =9 与圆 C:x +y -2x+8y-1=0 的位置关系是_ _相交_____

x 9、 已知圆 C: ? ( y ? 1) ? 1 与圆 O ( x ? 1) ? y ? 1 关于某直线对称, 则直线的方程为 y ? ?x
2 2 2 2

10、圆心为 C(1, 2)且与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是__(x-1) +(y-2) =25______ 11、设 P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值。 、1
2 2

2

2

12、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°, 求动点 P 的轨迹方程。 8、 x2+y2=4

15.直线与圆 (三)
1.圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y ? 6 x ? 0 交于 A, B 两点,
2 2 2 2

则 AB 的垂直平分线的方程是

3x ? y ? 9 ? 0
2 2

2、对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的 位置关系是__
2

相切或相交
2

_
2

( ? m 1 ? 0 3 、 动 圆 x ? y ? 4 m ? 2 ) x ? 2m y 4 m? 4 的 圆? 心 的 轨 迹 方 程 是
. x ? 2 y ? 1 ? 0 , x( ? 1 ) 4、实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则
2 2 2 2

y?2 的取值范围是 x ?1
2 2

3 ( , ??) 4



9、已知两圆 x ? y ? 10 x ? 10 y ? 0, x ? y ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 ,

求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。 2 x ? y ? 5 ? 0 , 2 30 ; 10、求以 A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 17 ? 0
2 2

11、求过点 A ?1, 2 ? 和 B ?1,10 ? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20
2 2

16.综合训练(一)
1.若集合 A={1,3,x},B={1, x },A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有( C ) A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 2.集合 M={(x,y)| x>0,y>0},N={(x,y)| x+y>0,xy>0}则(A ) A.M=N B.M N C.M N D.M ? N= ?
2

3.下列图象中不能表示函数的图象的是 ( D )

A.

B.

C.
2

D.

4.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( log 1 x )的定义域是( C ) A. [ 1 ,1] 2 B. [4,16] C.[ 1 , 1 ] 4 16 D.[2,4 ]

2 5.函数 f ( x) ? ( x ? 1 ) 0 ? | x ? 1| 的定义域为( C ) 2 x?2

A. ( ?2, 1 ) 2

B.(-2,+∞)

C. (?2, 1 ) ? ( 1 , ??) 2 2

D. ( 1 , ??) 2

6.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f (?2), f (? ), f (?3) 的 大小关系是(A )A. f (? ) > f (?3) > f (?2) C. f (? ) < f (?3) < f (?2)
0.9

B. f (? ) > f (?2) > f (?3) D. f (? ) < f (?2) < f (?3) )

7. a ? log 0.7 0.8 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.1 ,那么( C A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c 8.已知函数 f (n) ? ?n ? 3(n ? 10) ?

D.c<a<b

? f [ f (n ? 5)](n ? 10)

,其中 n ? N,则 f(8)=(B )

A.6 B.7 C. 2 D.4 9.若函数 f(x)和 g(x)都为奇函数,函数 F(x)=af(x)+bg(x)+3 在(0,+∞)上有最大 值 10,则 F(x)在(-∞,0)上有( C ) A.最小值 -10 B.最小值 -7 C.最小值 -4 D.最大值 -10
2 10.计算: (Ⅰ) lg 2) ? lg 5? 20 ? 1 = ( lg

0

6 3 (Ⅱ)(3 2 ? 3) ? 2 2) ? ( ( 4

4

16 ? 1 4 0 )2 ? 2 ? 80.25 ? ? 2005) = 100 ( 49

11.若函数 f ( x) ? log a ( 1 )(a ? 0且a ? 1 的定义域和值域都是[0,1],则 a= 1/2 ) x ?1

2 ) ? x ? (x ? ?1 ? 2 12.设函数 (x) ? x ?〈x 2) ,若 f(x)=3,则 x= f ? ( 1〈 ?2(x ? 2) ? x
13.以下四个命题中,不正确的题号为
x 3

3

.

②③④
aa x

①函数 f(x)= a (a>0 且 a≠1)与 g(x)=log ②函数 f(x)=x 与函数 g(x)=3
2

(a>0 且 a≠1)定义域相同;

x

的值域相同;
x -1

③函数 f(x)=(x-1) 与 g(x)=2 在(0,+∞)上都是增函数; -1 -1 ④如果函数 f(x)有反函数 f (x) ,则 f(x+1)的反函数是 f (x+1). 14.y= f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, (x) ?4 x 2 ? 8x ? 3 . f ? (Ⅰ)求 f(x)在 R 上的表达式; (Ⅱ)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明). .解: (Ⅰ)设 x<0,则- x>0, f (? x) ? ?4(? x) ? 8(? x) ? 3 ? ?4 x ? 8 x ? 3
2 2

∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x) ∴x<0 时, f ( x) ? ?4 x ? 8 x ? 3
2

所以 f ( x ) ? ?

? ?4 x 2 ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) 2 ? 1( x ? 0) ? ? ?? 2 2 ? ?4 x ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) ? 1( x ? 0) ? ?

(Ⅱ)y=f(x)开口向下,所以 y=f(x)有最大值 f(1)=f(-1)=1 函数 y=f(x)的单调递增区间是(-∞,-1

? 和[0,1]
?

单调递减区间是 [-1,0]和[1,+∞ 16. 已知函数 (x) log 2 f ?

1? x , (x∈(- 1,1). 1? x

(Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (Ⅱ)判断 f(x)在(- 1,1)上的单调性,并证明. .证明: (Ⅰ)

f (? x) ? log 2

1 ? ( ? x) 1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1 ? (? x) 1? x 1? x 1? x

又 x∈(-1,1) ,所以函数 f(x)是奇函数 (Ⅱ)设 -1<x<1,△x=x2- x1>0

? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log 2

1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? log 2 ? log 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

因为 1- x1>1- x2>0;1+x2>1+x1>0 所以

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?0 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

所以 ? y ? log 2

所以函数 f ( x) ? log 2

1? x 在(- 1,1)上是增函数 1? x

17.综合训练(二)
2、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( D ) A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

, 4.已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 20 相交于 A B 两点,则直线 AB 的方程是
2 2 2 2

x ? 3y ? 0



6、若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( B ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 8、如图,正四棱柱 ABCD ? A B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,则异面直线 A1 B 与 AD1 所成角的余弦 1 值为( D ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5
2

D.

4 5

11、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 且斜率 2)
2

, 为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A B .
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请 说明理由. 11、解: (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q(6, ,过 P(0, 且斜率为 k 的 0) 2)
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

直线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ? 12 x ? 32 ? 0 ,
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .
2 2



直线与圆交于两个不同的点 A B 等价于 ,

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,
解得 ?

3 ? 3 ? 0 ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,? . 4 ? 4 ?
??? ??? ? ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①,

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 .

S

2) 0) PQ ? 而 P(0,,Q(6,, ? (6, 2) .
所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

C A

O
B

3 . 4

D

0 由(Ⅰ)知 k ? ? ,? ,故没有符合题意的常数 k .
12、四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平
? 行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45 ,AB ? 2 ,BC ? 2 2 ,SA ? SB ? 3 .

?3 ?4

? ?

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值.
C D A

S

B

12、 (Ⅰ) S ⊥ 作O B 垂足为 O , 连结 AO , 由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , SO⊥ 底面 ABCD . 得 C , 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO , 又 ∠ABC ? 45 ,故 △AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,
?

S

得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC ,
C D A B

故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ?

2 ,得

SO ? 1 , SD ? 11 .
1 ?1 ? △SAB 的面积 S1 ? AB ? SA2 ? ? AB ? ? 2 . 2 ?2 ?
连结 DB ,得 △DAB 的面积 S2 ?
2

1 AB?AD sin135? ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD ? SAB ? VS ? ABD ,得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 , 解得 h ? 2 . 3 3
设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 ? ? . SD 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角正弦值为

22 . 11

18.综合训练(三)
2、已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8, ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则 ? ( D ) A. f (6) ? f (7) 3、已知 sin ? ? cos ? ? B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

1 ? 3? 7 ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 . ? 25 5 2 4 ? ) 3 4、 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , ?R (其中 ? ? 0 , ? ) 的最小正周期是 ? , f 0 ? 且 ( ? x 2
则( D ) A. ? ?



1 ? 1 ? ? ? B. ? ? ,? ? C. ? ? 2,? ? D. ? ? 2,? ? ,? ? 2 6 2 3 6 3

5、若非零向量 a,b 满足 a ? b ? b ,则( C ) A. 2a ? ?a ? b B. 2a ? 2a ? b C. 2b ? a ? ?b D. 2b ? a ? 2b

, 6、如图,在 △ABC 中, ?BAC ? 120° AB ? 2,AC ? 1 , D 是边 BC 上一点, DC ? 2BD ,
· 则 AD BC ?
2

???? ??? ?

?

8 3
2



7、函数 f ( x) ? cos x ? 2cos

x 的一个单调增区间是( A 2



A. ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

?? ?? ?6 2?

C. ? 0, ?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

9、设 f ( x) ? 6 cos x ? 3 sin 2 x .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan 9、解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

4 ? 的值. 5

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? 6 ? ? 3 . ? ? ? ? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;最小正周期 T ? (Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

2? ? ?. 2

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ?. 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3

10. 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 实数 a 的取值范围。 解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a ≠ 0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=> f (?1) ? f (1) ? 0 或
?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? 或a ?5 ? a ? 或 a≥1. ?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ?? 1 ? [?1.1] ? a ?

所以实数 a 的取值范围是 a ?

?3 ? 7 或 a≥1. 2 1 2 x2 ? 1 在 ? a 3 ? 2x

解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又 ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,? (2 x2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? [-1,1]上有解, 问题转化为求函数 y ?

2 x2 ? 1 [-1,1]上的值域; t=3-2x,x∈[-1,1], 2x ? 3 ? t , 设 则 3 ? 2x

t∈[1,5], y ? ?

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t 7 t t2 ? 7 , ? [1, 7) 时,g '(t ) ? 0 , 此函数 g(t)单调递减, ? ( 7,5] 时,g '(t ) >0, t t t2

设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ?

此函数 g(t)单调递增,∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ,∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解 ?
3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 2 a

11 、 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , EA ? 平 面 ABC , DB ? 平 面 ABC , AC ? BC , 且 , A C ? B C? B D 2 A EM 是 AB 的中点. ? D E (I)求证: CM ? EM ; E (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角. H

A

C

M 11、 (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点, B 所以 CM ? AB .又 EA ? 平面 ABC ,所以 CM ? EM . (II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连结 CH 交延长交 ED 于点 F ,连结 MF , MD . ∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. 因为 MH ? 平面 CDE , 所以 MH ? ED , 又因为 CM ? 平面 EDM , 所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . D 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , E E 在直角梯形 ABDE 中,
AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点,
所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ?

H

6a ,
?

A

C

得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 ,

M
B

EM ?MD 所以 MF ? ? 2a . DE

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ?

MF ? 1 ,所以∠FCM ? 45? , MC
?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 . 12、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程;

PO PB (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 PA ? PB 的
取值范围. 12、解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2 . 得圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . 1? 3
2

0) 0) (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 A(?2,,B(2, . 0) 0)
PO PB 设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


??? ??? ? ? ? (2 ? x 2 ? y 2 ? 2 . PA?PB ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1).

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?
由此得 y ? 1 .所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0)
2

??? ??? ? ?

8、下面给出的四个点中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 区域内的点是( C ) A. (11) , B. (?11) , C. (?1 ? 1) ,

? x ? y ? 1 ? 0, 2 ,且位于 ? 表示的平面 2 ?x ? y ?1 ? 0

D. (1 ? 1) ,