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平面向量的正交分解及其坐标表示、运算


第二章

平面向量

金沙一中

陈美冲

复习
平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2

新课引入
F1

G F2

G=F1+F2 G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地,由平面向量的基本定理,对平面上的 任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1

F1 G

F2

正交分解

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基 底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

y yj j O i a

xi

分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫 做a在y轴上的坐标

a = ( x, y )
y yj j O i a

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

xi

x

y

向量a、b有什么关系? a=b

yj yj j O i

a

b

能说出向量b的坐标吗?

b=( x,y )
xi xi x

相等的向量坐标相同

y

a A (x,y)

y
j O i

设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是 点A坐标; x
反过来,点A的坐标(x,y)也就是

x

向量OA的坐标。
因此,表示向量的有向线段的起点在原点时,该向 量的坐标与该有向线段终点的坐标相同。

如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、d ,并 求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1

解: 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,

a=(2,3) 同理,b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)

-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5

i1 2 3 4 x d

d=2i-3j=(2,-3)

已?求 坐 知 2, ? a a1 ? () , ab 标. x , yx ,( ) b 的 y ,, a ? 1 b2
a???? ? xy ( y b1 1 x 2 ( i j 2 j ) i ) ? ?i ( ? j ( x? y x 2 y 2 ) 1 ) 1

?

  x 21 2   a? x ? ?(? b1 , yy )  

同理可得:  x 21 2   a? x ? ?(? b1 , yy )  

两个向量和与差的坐标分别等于 这两 个向 量相 应坐 标的 和 与 差

??(i?j ? x? y. a ? y ?i ?j x )
? (x y a ??. ? , )
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标

例题讲解

???? 如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 A B 坐标. ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? y A? BO B O? A A x,y) ( ? 2 2 ?1 1 ( , ) (, ) xy xy
1 1

B x ,y ) ( 2 2

? 2 xy y. ( ?, 2 1 x 1 ?)

o

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标

例题讲解

已 () b + 知 3+3 a, ? , 4 ?? a , (b , a b 2 , , 1 4 ) 求 b a 的坐标.
a ()? (5 ? , (4 1 b 13 ? ?? ) ,; 2 ,?)
a ()? ( 3 ? , (4 , ) b 13 5 ?? ) ? 2 ,? ;

3 4 31 ( ,) (3 ?1 a b ( )4 4 6 ? 2) ?? , ? 3 ? )( ,6 2 ? , 1 ? ,9 ( 1 ?) 6.

例题讲解

已知 ? ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标. 解法1:设顶点D的坐标为(x,y) ? ? ? ? ? 1 2? 1   ?3? A ? ,) B (1, ? ( ? ) 2 ) ( ?? ? ? y D (? 4 y C 3 x ?) ? , C ?? ? ? ? ? ? ? B 由 ? C得 A D B , D (2 ( x? 1 ?? y ,) 3 , ) 4

  ?1 ? 3 ? x ?x ? 2 ?  ?    ? ? ?2 ? 4 ? y ?y ? 2

A

1

O

1

x

解法2: 由向量加法的平行四边形法则可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? BB D B D AB C ???? A A

? ?3,-1? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? O? BB DO D ?

? ??- ??? - -, ? - 4 2 1 ? 1 ? ?-1 33 , 3
y C

B
D A O 1 1

?- , ? ? , 1 3+3 ? ?1 ? ? 2,2 ?

x

课后活动

课本第101页习题2.3 A组题2、3、


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