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浙江省名校新高考研究联盟 2013届 第一次联考 数学 理科 详细解析


浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考

数学(理科)试题详细解析
第 I 卷(选择题
共 50 分)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上。 ) 1.已知 i 是虚数单位,且复数 z1 ? 3 ? b

i, z 2 ? 1 ? 2i, 若 A. 6 【解析】 B. ? 6

z1 3 ? bi (3 ? bi)(1 ? 2i) (3 ? 2b) (6 ? b) ? ? ? ? i z2 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 5 z 由题意 1 为实数,虚部为 0,故 b ? 6 z2

z1 是实数,则实数 b 的值为 z2 1 C.0 D. 6





【答案】A

2 x 2.已知集合 A ? {x | y ? ? 2 x ? x }, B ? { y | y ? 2 , x ? 0} , R 是实数集,则( C R B )∩ A =

A.R

B. ?1,2?

C. ?0,1?

D. ?





【解析】由题意: A ? {x | 0 ? x ? 2} ? [0, 2] , B ? { y | y ? 1} ? [1, ??] 故 CR B ? A ? [0,1] 【答案】C

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( n n A. m ? 1, 且n ? 1 B. mn ? 0 C. m ? 0, 且n ? 0 D. m ? 0, 且n ? 0 m 1 【解析】由题意: y ? ? x ? 经过一、三、四象限 n n m ? ?k ? ? n ? 0 ?m ? 0 ? ?? m ? 0, n ? 0 ? mn ? 0 。 故? 1 ?n ? 0 ?b ? ? 0 ? n ?
3.一次函数 y ? ? 【答案】B



4.当 x ?

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

A.奇函数且图像关于点 (

?
2

3? ? x) 是 4





, 0) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 D.偶函数且图像关于点 (

C.奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

, 0) 对称

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【解析】由题意: f ?

? ? ?? ? ? ? ? A ? A sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 4 4 ?4? ? ? 3? 3? ? 2k? ? f ( x) ? A sin( x ? ) 故 ? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 4 2 4 4 3? 3? 3? y ? f ( ? x) ? A sin( ? x ? ) ? A sin(? x) ? ? A sin x 4 4 4
显然 ? A sin x 为奇函数,且关于 x ?

?

对称

2

【答案】C 5.已知每项均大于零的数列 {an } 中,首项 a1 ? 1 且前 n 项的和 Sn 满足

Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn?1 (n ? N * , 且 n ? 2) ,则 a81 ?
A.638 B.639 C.640 D.641 【解析】由题意: Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 2 故





? S ? 是以
n

S1 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列。

即 Sn ? 【答案】C

S1 ? (n ?1)2 ? 2n ? 1 ? Sn ? (2n ? 1)2

故 a81 ? S81 ? S80 ? (2 ? 81 ?1)2 ? (2 ? 80 ?1)2 ? 320 ? 2 ? 640

???? ? ???? ? ???? ???? ? ? x2 y 2 ? ? 1 上的点,点 M 满足 OM ? 1 ,且 OM ?PM ? 0 ,则当 PM 取 9 16 得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 ( ) 9 12 A. B. C. 4 D. 5 5 5 x2 y2 y 【解析】由题意:设 P( x0 , y0 ) ,显然 0 ? 0 ? 1 9 16 ???? ? 点 M 满足 OM ? 1
6.已知 P 为双曲线 C :

???? ???? ? ? 又 OM ? PM ? 0 ? OM ? PM ? PM 即为单位圆上点 M 的切线;
???? ? ? PM 最小即PO最短

? M 的运动轨迹是 x2 ? y 2 ? 1;

M O P

x

? PO ? OM 2 ? PM 2 ? 1? PM 2

??? ? 25 x0 2 ? PO ? x0 2 ? y0 2 ? ? 16(x0 ? 3或x0 ? -3) 9 ??? ? ? PO 时x0 =3或-3 ? P即双曲线的顶点

设 P(3, 0) ,双曲线的其中一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 故点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离 d ? 【答案】B

min

4 ?3 ? 3? 0 42 ? 32

?

12 . 5

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7.在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 450 ,点 P 的斜坐标定义为: OP ? x0 e1 ? y0 e2 (其中 e1 , e2 “若 分 别 为 与 斜 坐 标 系 的 x 轴 , y 轴 同 方 向 的 单 位 向 量 ) 则 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) ” 若 , .

???? ???? F1 (?1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y) 满足 MF 1 ? MF 2 ,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为
( D. 2 x ? y ? 0 M Q y



B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 ???? ???? 【解析】由题意: MF 1 ? MF 2 ? M 在 F1F2 的中垂线上 画出平面斜坐标系。过 M 分别作平行于 x 轴和 y 轴的直线。 设 M (a, b) , ?MPO ? ?xoy ? 45? , MO ? x轴 由几何关系易知 b ? ? 2a . 所以 M (a, ? 2a) 故易知点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为 2 x ? y ? 0 . 【答案】D

A. x ? 2 y ? 0

P F1

O F2

x

D1

C1 B1

A1
8.在正方体 ABCD? A B C D中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 1 1 1 1 且 则 BCC1B1 内的动点, A1F / / 平面 D1 AE , A1F 与平面 BCC1B1 所 成角的正切值构成的集合是 ( )

.F
B

E
C

D

A

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2 3? A. ?t ? 5 ? ? ?
C. t 2 ? t ? 2 3

?

?

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2? B. ?t ? 5 ? ? ?
D. t 2 ? t ? 2 2

?

?

(第 8 题图)

【解析】取 BB1 的中点 M、 取 B1C1 的中点 N。连接 MN。设棱长为 2a 显然 A M // D1E, MN // AD1 1 故面 A1MN //面 D1 AE 。 由此可得,F 点的运动轨迹是线段 MN。 又 A1B ? 面 BCC1B1 , 故 A1F 与平面 BCC1B1 所成角即 ?AFB1 。

D1

A1

B1

N

C1

.F
M

E
C

D

AB1 所以 tan ?AFB1 ? B1 F 连接 FB1 ,如右图,在等腰 Rt△ B1MN 中, F 是 MN 上一动点,显然 2a ? 2 2 最大; 当 F 运动至 MN 中点时, tan ?AFB1 ? 2 a 2 M 2a ? 2 最小。 当 F 运动至 M 或 N 时, tan ?AFB1 ? a 故 tan ?AFB1 ? ? 2, 2 2 ? ? ?
【答案】D

A

B

B1

a
F1 F2 F3 N

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9.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6,那么称 a 为 “好数” (如:6,24,2013 等均为“好数”, ) 将所有“好数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 , ??????, 若 an ? 2013 ,则 n ? ( ) A.50 B.51 C.52 D.53 【解析】考虑“好数”有几种类型:1 位数、2 位数、3 位数、4 位数。 (1)1 位数:包含(6)。即 1 个。 (2)2 位数:包含(0,6)。即 1 个。
2 (1,5)(2,4)(3,3)。即 2 A2 ? 1 ? 5 个。

(3)3 位数:包含(0,0,6)。即 1 个。
1 2 1 (0,1,5)(0,2,4)(0,3,3)。即 2C2 A2 ? C2 ? 10 个。
1 3 (1,1,4)(1,2,3)。即 C3 ? A3 ? 9 个。

(2,2,2)。即 1 个。 (4)4 位数:注意讨论首位是 1 和 2 两种情况。
1 包含(1,0,0,5)。即 C3 ? 3 个。

3 (1,0,1,4)(1,0,2,3)。即 2 A3 ? 12 个。
1 1 (1,1,1,3)(1,1,2,2)。即 C3 ? C3 ? 6 个。

当千位为 2、百位为 0 时,只有 2004 一种情况。即 1 个。 所以,小于 2012 的数共有 50 个。即 n ? 51 【答案】B 10.设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t 2 ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 h7 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正数 t 都 成立,则 x0 = A.5 B. 5 C.3
3 2 3 2
3

( D.



7

【解析】由题意得: h7 ( x0 ) ? ht ( x0 ) ? 21x0 ? 2 ? 7 ? 3tx0 ? 2t 即 21x0 ? 2 ? 7 ? 3tx0 ? 2t ? 0 仅有一正根 x0 .
3 2 3 2

构造新函数 f (t ) ? 21x0 ? 2 ? 7 ? 3tx0 ? 2t ,求导: f '(t ) ? ?3x0 ? 3t
2 令 f '(t ) ? 0 ,得 t ? x0 . 2 故 f (t ) 在 (0, x0 ) 上单调递减, ( x0 2 , ??) 上单调递增;

3 2

3 2

1 2

f (t )min ? f ( x0 ) ? 21x0 ? 2 ? 7 ? 3x03 ? 2 x03 ,
2

3 2

显然 f (t )min ? 21x0 ? 2 ? 7 2 ? 3x03 ? 2 x03 ? 0

3

即21x0 ? 3 x03 ? 2 ? 7 2 ? 2 x03 ? 3 x0 (7 ? x0 2 ) ? 2 ( 7)3 ? x03

3

?

?

? 3 x0 ( 7 ? x0 )( 7 ? x0 ) ? 2( 7 ? x0 ) ( 7) 2 ? 7 x0 ? x0 2 ? 3 x0 ( 7 ? x0 ) ? 2 ( 7) 2 ? 7 x0 ? x0 2 ? x0 2 ? 7 x0 ? 2( 7) 2 ? 0 ? ( x0 ? 2 7)( x0 ? 7) ? 0 ? x0 ? 7( x0 ? 0)
故 x0 ? 7 【答案】D
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?

?

?

?

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第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ) 11. 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若公比为 3 2 , 且满足 a3 ? a11 =16, log2 a16 ? 则 【解析】由题意得: a3 ? a11 ? a q
2 12 1



.

? 16 ? a ? 1
2 1
15

? 1? ? a1 ? 1 ? a16 ? 1? ?? 2 ? 3 ? ? 25 ? log 2 a16 ? log 2 25 ? 5 ? ?
【答案】5 12.二项式 (4x ? 2? x )6 ( x ? R )展开式中的常数项是 【解析】由题意得:二项式展开式的第(n+1)项为: C (4 )
n n 显然, C6 (4x )6?n (?2? x )n ? C6 212 x?2nx (?1) 2



.

n x 6?n 6 n ?nx

(?2? x )n

n ? (?1)n C6 212 x?3nx

4 故 12 x ? 3nx ? 0 ? n ? 4 ,故常数项 (?1)4 C6 ? 15

【答案】15 13.执行如下图的程序框图,输出 s 和 n ,则 s ? n 的值为 【解析】由题意,得: ▲ .

T ? 0, S ? 0, n ? 1 ? S ? 3, T ? 1, n ? 2 ? S ? 6, T ? 4, n ? 3 ? S ? 9, T ? 11, n ? 4 ? 终止 当 S ? 9, n ? 4 时,执行最后一次循环; 当 S ? 12 时,循环终止,这是关键。 输出 S ? n ? 9 ? 4 ? 13 。
【答案】13

14.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示,则该几何体的 体积是 ▲ .

正视图

侧视图

【解析】几何体的直观图如上。被截部分为一个棱台。

1 7 S S2 ? S2 ? ( 1 ? 4 ? ) ? 4 1 3 3 7 17 故 V几 ? 2 ? 2 ? 2 ? V截 =8 ? ? 3 3 17 【答案】 3
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1 V截 ? S ? 1 3

?

?

俯视图

图图图

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15.设圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,过圆心 C 作直线 l 交圆于 A 、B 两点,与 y 轴交于点 P ,若 A 恰好为线段 BP 的中点,则直线 l 的方程为 ▲ . 【解析】方法一:设 A(a, b) , C 是圆心,则 B(6 ? a,10 ? b) 又 A 为 PB 中点,则 P(3a ? 6,3b ? 10) . 由题意: 3a ? 6 ? 0 ? a ? 2 . 又 (a ? 3)2 ? (b ? 5)2 ? 5 求得: b ? 3或7 故 b ? 3 时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 O P A x y B C

b ? 7 时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 11 ? 0

方法二:由题意:设 l : y ? 5 ? k ( x ? 3) , P(0,5 ? 3k ) A( x1 , y1 ) B( x1 , y1 )

?( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 5 9k 2 ? 4 由韦达定理: x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 2 k ?1 A 恰好为线段 BP 的中点, 2x1 ? 0 ? x2 ? x1 ? x2 ? 3x1 ? 6 ? x1 ? 2, x2 ? 4 ? ? 9k 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 ? 8 ? k 2 ? 4 ? k ? 2或 ? 2 ? k ?1 ? 故直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0
2 2

联立方程组 ?

? y ? 5 ? k ( x ? 3)

? (k 2 ? 1) x 2 ? (6k 2 ? 6) x ? 9k 2 ? 4 ? 0

16.设函数 f ( x) ? x( ) ?
x

1 , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 n(n ? N * ) x ?1 ? ?? ? ?? ? n ??????? ? 的 点 , 向 量 an ? ? Ak ?1 Ak , 向 量 i ? (1, 0 ) 设 ? n 为 向 量 an 与 向 量 i 的 夹 角 , 则 满 足 ,
k ?1

1 2

21 的最大整数 n 是 ▲ . 11 k ?1 ?? ? n ??????? ????? ????? ??????? ????? ? 【解析】由题意得: an ? ? Ak ?1 Ak ? A0 A1 ? A1 A2 ? ? ? An ?1 An ? A0 An

? tan ?

n

k

?

k ?1

n n ????? ? ? ? 1 ? 1 ? ?1? ?1? An 的坐标为 ? n, n ? ? ? ? ,即 A0 An ? ? n, n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? n ?1 ? ? 2 ? n ?1 ? ? ?

1 ?1? n? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? ? 1 ? ? 1 于是 tan ? n ? ? ? n ? 2 ? n(n ? 1)

n

1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ?2? ? ? ? ? ? 1? 1 ? 所以 ? tan ? k ? tan ?1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? ? ? 1 ? n ?1 ? k ?1 1? 2 n n 1 ? 21 ? 1 ? 1 1 ?1? ? 由题意: 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?? ?? ? ? ? 2 ? ? n ? 1 ? 11 ? 2 ? n ? 1 11
n

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令 f ( n) ? ?

1 ?1? * ,显然 f ( n) 在 n ? N 上单调递减。 ? ? ? 2 ? n ?1
n

n

1 1 ?1? ? . 观察得: ? ? ? 0 恒成立,即只需满足 n ? 1 11 ?2? 故 n ? 1 ? 11 ,即 n ? 10 . 所以最大整数 n 是 10.

17.已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ? 1 . 若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒 4x ? 2x ? 1
▲ .

成立,则实数 k 的取值范围是

1 2x ? x ? k 4 x ? k ? 2 x ? 1 (2 x ) 2 ? k ? 2 x ? 1 2 【解析】先化简 f ( x) ? ? ? 1 4x ? 2x ? 1 (2 x ) 2 ? 2 x ? 1 2x ? x ? 1 2 1 t ? k ?1 k ?1 x ? 1? 令 t ? 2 ? x ? 1 ? [3, ?? ) ,显然 f (t ) ? 2 t t 故问题转化为对任意的 t1 , t2 , t3 ?[3, ??) ,不等式 f (t1 ) ? f (t2 ) ? f (t3 ) 恒成立
也即 ? f (t1 ) ? f (t2 ) ?min ? ? f (t3 ) ?max ? ?2 f (t )?min ? ? f (t ) ?max

2(k ? 1) ? ?2 f (t ) ? 2 ? ? t ? ? f (t ) ? 1 ? k ? 1 ? t ? (1) k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 显然 f (t ) ? 1 , 2 f (t ) ? 2 ? f (t ) ? 1 ? k ? 1 (2) k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时, f (t ) 在 [3, ??) 上单调递增

2k ? 4 ? 1 ? ? 1 ? 3 ? 2k ? 4 ? 1 ? k ? ? ? k ? ? ? ,1? ?? k ?1 3 2 ? 2 ? ? ? 0) ? f (t )?max ? 1( ? t ? (3) k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时, f (t ) 在 [3, ??) 上单调递减

? 2 f (t )?min ? 2 f (3) ?

? 2 f (t )?min ? 2( ? f (t )?max

k ?1 ? ? 0) ? k ?1 ? t ? k ? 4 ? k ? ?1, 4? ? ? 2 ? 1? k ? 1? 3 ? f (3) ? 1 ? 3 ? ?

? 1 ?? ? 2 ?? ? ? 1 ? 即 k 的取值范围是 ? ? , 4 ? . ? 2 ?

所以 k k ? 1 ? ?k k ? ? ? ,1 ? ? ? k k ? ?1, 4 ?

?

?

?

?

?

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三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .已知 (Ⅰ)求

cos A ? 3cos C 3c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A (Ⅱ)若 B 为钝角, b ? 10 ,求 a 的取值范围. a b c ? ? ? k, 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B 即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 3sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , sin C ? 3. 所以 sin C ? 3sin A 因此 sin A sin C ? 3 得 c ? 3a. (Ⅱ)由 sin A ? a?c ?b 由题意 ? 2 , 2 2 ?a ? c ? b 5 ? ? a ? 10 2

??????4 分

??????6 分

??????8 分 ??????9 分 ??????12 分 ??????14 分

19.甲乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比 赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计, 第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) . 【解析】 (Ⅰ)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ?an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,

? Sn ?

n(10n ? 70) ? 300, 解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 , 2

所以此决赛共比赛了 5 场. ????3 分 则前 4 场比赛的比分必为 1 : 3 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,

1 ; ????6 分 4 (Ⅱ)随机变量 X 可取的值为 S4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490 ????7 分 1 1 4 1 1 1 P ( X ? 300) ? C4 ( ) 4 ? ????8 分 又 P ( X ? 220) ? 2 ? ( ) ? , 2 4 2 8 1 5 5 3 1 P( X ? 390) ? C52 ( )5 ? , P( X ? 490) ? C6 ( )6 ? ????12 分 2 16 2 16 所以, X 的分布列为 220 300 390 490 X 1 1 5 5 P 8 4 16 16 所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元 ????14 分
其概率为 C4 ( ) ?
1 4

1 2

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20. 如图,AB 为圆 O 的直径, E 、 在圆 O 上,AB // EF , 点 矩形 ABCD F 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的 锐二面角的大小为 60 ?
?

C

D

B

.
A

E

O

F

【解析】 (I)证明:? 平面 ABCD ? 平面 ABEF, CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF= AB , ?CB ? 平面 ABEF. ????2 分 ? AF ? 平面 ABEF,? AF ? CB , 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ????3 分 ? AF ? 平面 CBF . ? AF ? 平面 ADF , ? 平面 DAF ? 平面 CBF . ????4 分 (II)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF , ? FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此, ?ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 ? AB // EF ,? 四边形 ABEF为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

?????6 分

AB ? EF 1 ? . 2 2 2 在 Rt ?AFB 中,根据射影定理 AF ? AH ? AB ,得 AF ? 1.????8 分 AF 1 sin ?ABF ? ? ,? ?ABF ? 30? . AB 2 ????9 分 ? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30? .

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 方向建立空间直角坐标系(如图). z C 设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) 则 C (?1, 0, t ) ,

1 3 , 0) 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t ) ????10 分 2 2 设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ?? ??? ? ?? ??? ? 则 n1 ? CD ? 0 , n1 ? FD ? 0 .
又 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( ,

D

B

. H
x A

E
y

O

F

?2 x ? 0, ? 即? 令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t ? n1 ? (0, 2t , 3) ??12 分 3 ? y ? tz ? 0. ? ? 2 由(I)可知 AF ? 平面 CFB , ?? ??? ? ? 1 3 , 0) ,依题意 n1 与 n2 的夹角为 60? 取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? (? , 2 2 n ?n 6 1 3t , 解得 t ? ? cos60? ? 1 2 ,即 ? 4 2 4t 2 ? 3 ?1 n ?n
1 2

因此,当 AD 的长为

6 ? 时,平面与 DFC 平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60 . 4
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浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考数学(理科)试题卷

21.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为

焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A,B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;

1 ,一个焦点和抛物线 y 2 ? ?4 x 的 2

xx y y x2 y2 (Ⅱ) 若在椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 上的点 ?x0 , y0 ? 处的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 求 a b a b 证:直线 AB 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标. (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点)
若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 【解析】 (Ⅰ)设椭圆方程为 又

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 。抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点是 ?? 1,0? ,故 c ? 1 , a 2 b2

c 1 ? ,所以 a ? 2, b ? a2 ? c2 ? 3 , a 2 x2 y2 ? ?1 所以所求的椭圆 ? 方程为 ??????????4 分 4 3 (Ⅱ)设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。 xx yy x x y y 则切线方程分别为 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。 4 3 4 3 t t 又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 , 3 3 t 即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 , 3 t 而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 , 3
显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程, 故直线 AB 恒过定点 C ?1,0? 。????????????????????9 分 (Ⅲ)将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t ? t ? y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 , 3 ? 3 ?

2

? t2 ? 2 6t ? 27 , y1 y2 ? 2 即 ? ? 4 ? y ? 2ty ? 9 ? 0 所以 y1 ? y2 ? 2 ?3 ? t ? 12 t ? 12 ? ?
不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , AC ? 同理 BC ? ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? t2 ? 9 ? ? ? 1? y12 ? y1 , ?9 ? 3 ? ?

t2 ? 9 y2 ???12 分 3

?1 1 ? 1 1 3 3 y ?y 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? 所以 ?y y ? AC BC t2 ? 9 ? 1 t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9 2 ?
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12 4 即 AC ? BC ? AC ? BC 。 3
故存在实数 ? ?

4 ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。15 分 3
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22. 已知函数 f ?x ? ? ln?2ax ? 1? ?

?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 1 (III)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2 2a x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? ?4a 2 ? 2? ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 【解析】 (I) f ??x ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 , 2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。 即 4a ? 1 (II)因为函数 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,
3

x3 ? x 2 ? 2ax?a ? R ? 3 (I)若 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,求实数 a 的值; (II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

?

?

???4 分

x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。???6 分 2ax ? 1 ?当 a ? 0 时, f ??x ? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立, 所以 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,故 a ? 0 符合题意。 ???7 分 ?当 a ? 0 时,由函数 f ?x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,
所以 f ??x ? ? 故只能 a ? 0 ,所以 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。?8 分 令函数 g ?x? ? 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ,其对称轴为 x ? 1?

?

?

??

?

?

?

?

1 , 4a

1 ? 1, 4a 要使 g ?x ? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立,只要 g ?3? ? 0 即可,
因为 a ? 0 ,所以 1 ? 即 g ?3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,所以
2

3 ? 13 3 ? 13 ?a? 。 4 4

?1 ? x ?3 ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 。 1 (Ⅲ)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? x 3 x 2 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x?1 ? x? ? x?1 ? x? ? x ln x ? x ? x 在 ?0,??? 上有解, 2 3 即求函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x 的值域。 2 3 2 因为函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x ,令函数 h?x ? ? ln x ? x ? x ?x ? 0? ,???12 分 ?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 则 h?? x ? ? ? 1 ? 2 x ? x x 所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h ? x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h ? x ? 在 ?1,??? 上为减函数, 因此 h?x ? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x ? ? 0 ,
因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ???15 分

3 ? 13 。 4 ? 3 ? 13 ? 综上所述,a 的取值范围为 ? 0, ?。 4 ? ?
因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

???10 分

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