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北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 文


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北京市西城区 2012 届高三 4 月第一次模拟考试试题 数 学(文科)
2012.4 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x2 ? 4} ,那

么 A (A) (?2, 2) (B) (?1, 2)

B?(

) (D) (1, 4)

(C) (1, 2)

2.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 3 ,则输出 y 的 值为( (A) 5 (B) 7 (C) 15 (D) 31 )

3.若 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log 4 (A) a ? c ? b (C) b ? c ? a

1 ,则下列结论正确的是( 3
(B) c ? a ? b (D) c ? b ? a



4.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是

OA , OB ,则复数
(A)第一象限 (C)第三象限

z1 对应的点位于( z2



(B)第二象限 (D)第四象限

1

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5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm ,其三视图 中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( (A) 4 3 cm2 (B) 2 3 cm2 ) (C) 8cm 2 (D) 4cm2

? x ? y ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 | x ? 3 y | 的最大值为( ?0 ? x ? 1, ?
(A) 6 (B) 5 (C) 4



(D) 3

7.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件



(D)既不充分又不必要条件

8.已知集合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? a3 ? 23} ,其中 ak ?{0,1} (k ? 0,1, 2,3) ,且

a3 ? 0 .则 A 中所有元素之和是(
(A) 120 (B) 112

) (C) 92 (D) 84

2

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第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (? , ?2) .若 ?a ? b, a? ? 90? ,则实数 ? ? _____. 10. 某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒

14) , [14 , 15) , 与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组: [13 , [15 , 16) , [16 , 17 ) , [17 , 18] ,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为

1: 3 : 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [16,18] 的学生人数是_____.

11. 函数 y ? sin 2 x ? 3cos2 x 的最小正周期为_____.

12. 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? 3 y ? 0 的 距离是_____.

? 0 ? x ? 9, ?x 2 , 13. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( x ) 的零点是_____;f ( x ) 的值域是_____. 2 x ? x , ? 2 ? x ? 0. ? ?
1

14. 如图,已知抛物线 y 2 ? x 及两点 A1 (0, y1 ) 和 A2 (0, y2 ) ,其中 y1 ? y2 ? 0 .过 A 1 , A2 分 别作

y 轴的垂线, 交抛物线于 B1 , 直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3 (0, y3 ) , 此时就称 A B2 两点, 1,

A2 确定了 A3 .依此类推,可由 A2 , A3 确定 A4 ,
给出下列三个结论: ① 数列 { yn } 是递减数列;

.记 An (0, yn ) , n ? 1, 2,3,

.

3

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② 对 ?n ? N , yn ? 0 ;
*

③ 若 y1 ? 4 , y2 ? 3 ,则 y5 ?

2 . 3

其中,所有正确结论的序号是_____.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 2sin B cos A ? sin( A ? C) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 BC ? 2 ,△ ABC 的面积是 3 ,求 AB .

16.(本小题满分 13 分) 某校高一年级开设研究性学习课程, ( 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 18 和

27 .现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班
抽取了 3 名同学. (Ⅰ)求研究性学习小组的人数; (Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排 1 次交流活动,每次随机抽取小组中 1 名同 学发言.求 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥

AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面

ECDF .

4

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(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

18.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,一个焦点为 F (2 2,0) . a b 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 圆心 的圆上,求 k 的值.

5 交椭圆 C 于 A , B 两点,若点 A , B 都在以点 M (0,3) 为 2

19.(本小题满分 13 分) 如图,抛物线 y ? ? x ? 9 与 x 轴交于两点 A, B ,点 C , D 在抛物线上(点 C 在第一象
2

限) , CD ∥ AB .记 | CD | ? 2 x ,梯形 ABCD 面积为 S . (Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若

| CD | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值. | AB |

5

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20.(本小题满分 13 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) ,定义“ T 变换” : T 将数列 A 变换成数 列 B : b1 , b2 , b3 ,其中 bi ? | ai ? ai?1 | (i ? 1, 2),且 b3 ? | a3 ? a1 | . 这种“ T 变换”记作 ,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的 B ? T ( A) .继续对数列 B 进行“ T 变换” 数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变 换”得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)设 A : a1 , a2 , a3 , B ? T ( A) .若 B : b, 2, a (a ? b) ,且 B 的各项之和为 2012 . (ⅰ)求 a , b ; (ⅱ)若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值, 并说明理由.

数学(文科)参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D ; 3. D; 4. B; 5. A; 6. B; 7. C; 8. C .

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 9 ; 10. 54 ; 12. 1 ; 11. π ; 14. ① ② ③.

1 13. ?1 和 0 , [? ,3] ; 4

注:13 题第一问 2 分,第二问 3 分; 14 题少选 1 个序号给 2 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 A ? B ? C ? π ,得 sin( A ? C ) ? sin( π ? B) ? sin B . 所以原式化为 2 sin B cos A ? sin B . 因为 B ? (0, π) ,所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? 因为 A ? (0, π) , 所以 A ? (Ⅱ)解:由余弦定理, 得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ? AB ? AC ? AB ? AC . ??9 分
2 2 2 2 2

????3 分

???4 分

1 . 2
? ?7 分

???6 分

π . 3

因为 BC ? 2 ,
2

1 π AB ? AC ? sin ? 3 , 2 3
2

所以 AB ? AC ? 8 . 因为 AB ? AC ? 4 , 所以 AB ? 2 .

?????11 分 ?????13 分

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设从( 1 )班抽取的人数为 m ,

m 3 ? ,所以 m ? 2 , 18 27 研究性学习小组的人数为 m ? 3 ? 5 .
依题意得

??5 分

(Ⅱ)设研究性学习小组中( 1 )班的 2 人为 a1 , a2 , ( 2 )班的 3 人为 b1 , b2 , b3 .

2 次交流活动中,每次随机抽取 1 名同学发言的基本事件为:

(a1 , a1 ) , (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) ,
(a2 , a1 ) , (a2 , a2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) ,

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(b1, a1 ) , (b1 , a2 ) , (b1 , b1 ) , (b1 , b2 ) , (b1, b3 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b2 , b1 ) , (b2 , b2 ) , (b2 , b3 ) ,

(b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) , (b3 , b1 ) , (b3 , b2 ) , (b3 , b3 ) ,共 25 种.
2 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:

?9 分

(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,(a1 , b3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(b1, a1 ) ,(b1 , a2 ) ,(b2 , a1 ) ,

(b2 , a2 ) , (b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) ,共 12 种.

???12 分

所以 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 P ?

12 . 25

??13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形, ?????2 分 所以 NC ∥ MD , 因为 NC ? 平面 MFD , 所以 NC ∥平面 MFD . 分 (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ??????4 ??????3 分

FC ? O .

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平 面 ECDF , 所以 FC ? NE . ??5 分 ????6 分 ??????

又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 7分 所以 FC ? 平面 NED , 所以 ND ? FC . 9分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 .

??????8 分 ??????

8

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由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

???11 分

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

?????13 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大. ??????14 分 18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为 c ,则 c ? 2 2 . 由e ? ??????1 分

c 6 2 2 2 , 得 a ? 2 3 , 从而 b ? a ? c ? 4 ??????4 分 ? a 3
x2 y2 ? ? 1. 12 4
?????5 分

所以,椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程, 消去 y 得 4(1 ? 3k ) x ? 60kx ? 27 ? 0 .
2 2

?????7 分
2

由 ? ? 3600k 2 ?16(1 ? 3k 2 ) ? 27 ? 0 ,得 k ? 9分 设线段 AB 的中点为 D ,则 xD ?

3 15k ,且 x1 ? x2 ? . ???? 16 1 ? 3k 2

15k 5 ?5 , yD ? kxD ? ? . ? ???? 2 2 ? 6k 2 2 ? 6k 2
????11 分

10 分由点 A , B 都在以点 (0,3) 为圆心的圆上,得 kMD ? k ? ?1 ,

3?


5 2 ? 6k 2 ? k ? ?1 , 解得 k 2 ? 2 ,符合题意. ?15k 9 2 2 ? 6k
2 . 3

????13 分

所以 k ? ?

?????14 分

19.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,点 C 的横坐标为 x ,点 C 的纵坐标为 yC ? ? x2 ? 9 . ??1 分

9

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2 点 B 的横坐标 xB 满足方程 ? xB ? 9 ? 0 ,解得 xB ? 3 ,舍去 xB ? ?3 . ??2 分

所以 S ? 分

1 1 (| CD | ? | AB |) ? yC ? (2 x ? 2 ? 3)(? x 2 ? 9) ? ( x ? 3)(? x 2 ? 9) . ?? 4 2 2

由点 C 在第一象限,得 0 ? x ? 3 . 所以 S 关于 x 的函数式为 S ? ( x ? 3)(? x2 ? 9) , 0 ? x ? 3 .????5 分

?0 ? x ? 3, ? (Ⅱ)解:由 ? x ? k, ? ?3
2

及 0 ? k ? 1 ,得 0 ? x ? 3k .

?????6 分

记 f ( x) ? ( x ? 3)(? x ? 9), 0 ? x ? 3k ,
2 则 f ?( x) ? ?3x ? 6 x ? 9 ? ?3( x ?1)( x ? 3) .

??????8 分 ??????9 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . ① 若 1 ? 3k ,即

1 ? k ? 1 时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下: 3

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)

1

(1,3k )

?


0
极大值

?
↘ ????11 分

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值,且最大值为 f (1) ? 32 . ② 若 1 ? 3k ,即 0 ? k ?

1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 3
????13 分

2 所以, f ( x ) 的最大值为 f (3k ) ? 27(1 ? k )(1 ? k ) .

S 的最大值为 32 ; 0?k ? 综上, ? k ? 1 时,

1 3

1 S 的最大值为 27(1 ? k )(1 ? k 2 ) . 时, 3

20.(本小题满分 13 分)

2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ; 2,0, 2 ; (Ⅰ) 解: 数列 A : 2, 6, 4 不能结束, 各数列依次为 4, 2, 2 ; ?.
以下重复出现,所以不会出现所有项均为 0 的情形. ???3 分

10

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(Ⅱ)解: (ⅰ)因为 B 的各项之和为 2012 ,且 a ? b , 所以 a 为 B 的最大项, 所以 | a1 ? a3 | 最大,即 a1 ? a2 ? a3 ,或 a3 ? a2 ? a1 . ????5 分

?b ? a1 ? a2 , ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 , ?a ? a ? a . 1 3 ?
由 a ? b ? 2 ? 2012 ,得 2(a1 ? a3 ) ? 2012 ,即 a ? 1006 ,故 b ? 1004 .?7 分 当 a3 ? a2 ? a1 时,同理可得 a ? 1006 , b ? 1004 . ???8 分

(ⅱ)方法一:由 B : b, 2, b ? 2 ,则 B 经过 6 次“ T 变换”得到的数列分别为:

b ? 2, b, 2 ;2, b ? 2, b ? 4 ;b ? 4, 2, b ? 6 ;b ? 6, b ? 8, 2 ;2, b ? 10, b ? 8 ;b ? 12, 2, b ? 10 .
由此可见,经过 6 次“ T 变换”后得到的数列也是形如“ b, 2, b ? 2 ”的数列,与数 列 B “结构”完全相同,但最大项减少 12. 因为 1006 ? 12 ? 83 ? 10 , 所以,数列 B 经过 6 ? 83 ? 498 次“ T 变换”后得到的数列为 8, 2,10 . 接下 来经过 “ T 变换” 后得到的数列分别为:6,8, 2 ;2,6, 4 ;4, 2, 2 ;2,0, 2 ;2, 2,0 ;

0, 2, 2 ; 2,0, 2 ,??
从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小. 所以经过 498 ? 4 ? 502 次“ T 变换”得到的数列各项和最小, k 的最小值为 502 . ?????13 分 方法二:若一个数列有三项,且最小项为 2 ,较大两项相差 2 ,则称此数列与数列 B “结构相同” . 若数列 B 的三项为 x ? 2, x, 2( x ? 2) ,则无论其顺序如何,经过“ T 变换”得到的数 列的三项为 x, x ? 2, 2 (不考虑顺序) . 所以与 B 结构相同的数列经过“ T 变换”得到的数列也与 B 结构相同,除 2 外其余 各项减少 2 ,各项和减少 4 .

11

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因此,数列 B :1004, 2,1006 经过 502 次“ T 变换”一定得到各项为 2,0, 2 (不考虑 顺序)的数列. 通过列举,不难发现各项为 0, 2, 2 的数列,无论顺序如何,经过“ T 变换”得到的数 列会重复出现,各项和不再减少. 所以,至少通过 502 次“ T 变换” ,得到的数列各项和最小,故 k 的最小值为 502 . ?????13 分

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