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平面向量复习基本知识点及经典结论总结

时间:2010-01-19


平面向量 平面向量复习基本知识点及经典结论总结
向量有关概念: 1,向量有关概念 (1)向量的概念 向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量 向量的概念 不能说向量 就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 如已知 A(1,2) .如 ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到 就是有向线段

的向量是_____(答: (3,0) ) (2)零向量 零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的 零向量的方向是任意的; 零向量 零向量的方向是任意的 (3)单位向量 单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ± AB ); 单位向量
| AB |

(4)相等向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 相等向量 (5)平行向量(也叫共线向量) 平行向量( :方向相同或相反的非零向量 a , b 叫做平行向量,记作: a ‖ b ,规定零向量 平行向量 也叫共线向量) 规定零向量 和任何向量平行.提醒 和任何向量平行 提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是 提醒 不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性 (因 平行向量无传递性! 平行向量无传递性 为有 0 );④三点 A,B,C 共线 AB, AC 共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是- a . 相反向量 相反向 ( 若 则 (2) 终点相同. 若 AB = DC , (3) 如下列命题: 1) a = b , a = b . 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, 则 ABCD 是平行四边形. (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB = DC . (5)若 a = b, b = c ,则 a = c . (6)若 a // b, b // c , 则 a // c .其中正确的是_______(答: (5) (4) ) (2)符号 2,向量的表示方法: 向量的表示方法 (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴, y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x, y ) ,称 ( x, y ) 为向量 a 的 坐标, a = ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示.如果向量的起点在原点 向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 向量的起点在原点 3.平面向量的基本定理 3.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有 平面向量的基本定理 一对实数 λ 1 , λ 2 ,使 a= λ1 e1+ λ2 e2.如(1)若 a = (1,1), b = 如

1 3 a b ) ( 2 ) 下 列 向 量 组 中 , 能 作 为 平 面 内 所 有 向 量 基 底 的 是 A. ; 2 2 1 3 e1 = (0,0), e2 = (1, 2) B. e1 = (1, 2), e2 = (5,7) C. e1 = (3,5), e2 = (6,10) D. e1 = (2, 3), e2 = ( , ) (答:B)(3) ; 2 4 2 4 已知 AD, BE 分别是 ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD = a, BE = b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ (答: a + b ) ; 3 3
(1, 1), c = (1, 2) , 则 c = ______ ( 答 :
(4)已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD = 2 DB , CD = r AB + s AC ,则 r + s 的值是___(答:0) 实数与向量的积: 记作 λ a , 它的长度和方向规定如下:(1) 4, 实数与向量的积 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,
→ → → → →

λ a = λ a , ( 2)

当 λ >0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同,当 λ <0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反,当 λ =0 时, λ a = 0 ,注意 λ a 注意: 注意 ≠0. 平面向量的数量积: 5,平面向量的数量积 (1)两个向量的夹角 两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA = a, OB = b , ∠AOB = θ 两个向量的夹角

( 0 ≤ θ ≤ π ) 称为向量 a , b 的夹角,当θ =0 时, a , b 同向,当θ = π 时, a , b 反向,当θ =

时, a , b 垂直. 2 (2)平面向量的数量积 平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量 | a || b | cos θ 叫做 a 与 b 的数 平面向量的数量积

π

量积(或内积或点积) ,记作: a b ,即 a b = a b cos θ .规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是 注意数量积是 一个实数,不再是一个向量 如 一个实数,不再是一个向量.如(1)△ABC 中, | AB |= 3 , | AC |= 4 , | BC |= 5 ,则 AB BC = _________(答:- 1 1 π 9) ( 2 ) 已知 a = (1, ), b = (0, ), c = a + kb, d = a b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____(答:1) ( 3 ) 已知 ; ; 2 2 4
→ → →

a = 2, b = 5, a ib = 3 , a + b 等于____ 则 (答: 23 ) 4) ; 且 则 ( 已知 a, b 是两个非零向量, a = b = a b , a与a + b
1

的夹角为____(答: 30 ) (3) b 在 a 上的投影 | b | cos θ ,它是一个实数,但不一定大于 0.如已知 | a |= 3 , | b |= 5 ,且 a b = 12 ,则 上的投影为 如 向量 a 在向量 b 上的投影为______(答:
→ →
→ → → →

12 ) 5 (4) a b 的几何意义 的几何意义:数量积 a b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积.

(5)向量数量积的性质 向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 θ ,则: 向量数量积的性质 ①a ⊥ b ab = 0; ②当 a , b 同向时, a b = a b ,特别地, a = a a = a , a = 不反向, a b < 0 是 θ 为钝角的必要非充分条件 为钝角的必要非充分条件; ③非零向量 a , b 夹角 θ 的计算公式: cos θ =
→ →
2 2

a ;当 a 与 b 反向时, a b =- a b ;

2

当 θ 为锐角时,a b >0, a, 不同向,a b > 0 是 θ 为锐角的必要非充分条件; θ 为钝角时,a b <0, a, 且 b 为锐角的必要非充分条件 当 且 b 角的必要非充分条件

a b a b

;④ | a b |≤| a || b | .如(1)已知 a = (λ ,2λ ) , b = (3λ ,2) , 如





如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是______(答:λ < 且 OF FQ = 1 , 若
→ →

4 1 或 λ > 0 且 λ ≠ )(2)已知 OFQ 的面积为 S , ; 3 3

→ → 1 3 π π <S< , 则 OF , FQ 夹 角 θ 的 取 值 范 围 是 _________ ( 答 : ( , ) ) ( 3 ) 已 知 ; 2 2 4 3

a = (cos x,sin x), b = (cos y,sin y ), a 与 b 之间有关系式 k a + b = 3 a kb , 其中k > 0 ,①用 k 表示 a b ;②求 a b 的最
小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小(答:① a b =

1 k2 +1 (k > 0) ;②最小值为 , θ = 60 ) 4k 2

6,向量的运算: 向量的运算 (1)几何运算 几何运算: 几何运算 ①向量加法:利用"平行四边形法则"进行,但"平行四边形法则"只适用于不共线的向量,如此之外,向量加 法还可利用"三角形法则" :设 AB = a, BC = b ,那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 a + b = AB + BC = AC ; ②向量的减法:用"三角形法则" :设 AB = a, AC = b, 那么a b = AB AC = CA ,由减向量的终点指向被减向 量的终点.注意:此处减向量与被减向量的起点相同.如(1)化简:① AB + BC + CD = ___;② AB AD DC = ____; 如 ③ ( AB CD ) ( AC BD ) = _____ ( 答 : ① AD ; ② CB ; ③ 0 ) ( 2 ) 若 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 , ;

AB = a, BC = b, AC = c , 则 | a + b + c | = _____ (答 : 2 2 ) ( 3 ) 若 O 是 △ ABC 所 在 平面 内一 点 , 且 满足 ; OB OC = OB + OC 2OA , △ ABC 的形状为____ 答: 则 ( 直角三角形) 4) D 为 ABC 的边 BC 的中点, ABC ; 若 (

| AP | = λ ,则 λ 的值为___(答:2)(5)若点 O 是 △ABC 的外 ; | PD | 心,且 OA + OB + CO = 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ; (2)坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ,则:
所在平面内有一点 P ,满足 PA + BP + CP = 0 ,设
①向量的加减法运算: a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 ) .如(1)已知点 A(2,3), B (5, 4) , C (7,10) ,若

AP = AB + λ AC (λ ∈ R ) ,则当 λ =____时,点 P 在第一,三象限的角平分线上(答:

π 1 π π π A(2,3), B (1, 4), 且 AB = (sin x,cos y ) , x, y ∈ ( , ) ,则 x + y = (答: 或 )(3)已知作用在点 A(1,1) ; 2 2 2 6 2 的三个力 F1 = (3, 4), F2 = (2, 5), F3 = (3,1) ,则合力 F = F1 + F2 + F3 的终点坐标是 (答: 9,1) ( )
②实数与向量的积: λ a = λ ( x1 , y1 ) = ( λ x1 , λ y1 ) . ③若 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 AB = ( x2 x1 , y2 y1 ) ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标.如设 A(2,3), B (1,5) ,且 AC =

1 )(2)已知 ; 2

1 AB , AD = 3 AB ,则 C,D 的坐标分别是__________(答: 3
2

(1,

11 ),(7,9) ) ; 3
④平面向量数量积 a b = x1 x2 + y1 y2 .如已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0)(1) 平面向量数量积: . 平面向量数量积 如

3 或 2 1 ) ;

若 x=

π

, 求向量 a ,c 的夹角; 若 x∈ [ (2)

3π π 1 1 , ], 函数 f ( x) = λ a b 的最大值为 , λ 的值 求 (答:(1)150 ; (2) 8 4 2 2

⑤向量的模 | a |= 向量的模: 向量的模 _____(答: 13 ) ;

x 2 + y 2 , a =| a |2 = x 2 + y 2 .如已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a + 3b | = 如

2

则 ⑥两点间的距离 若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , | AB |= 两点间的距离: 两点间的距离

( x2 x1 ) + ( y2 y1 )
2

2

.如如图, 如 在平面斜坐标系 xOy 中, 的:若 OP = xe1 + ye2 ,其

∠xOy = 60 ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义
中 e1 , e2 分别为与 x 轴,y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜坐标为 标为(2,-2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆心,1

( x, y ) . (1)若点 P 的斜坐
为半径的圆在斜坐标系

a b = b a ;(2)结合律: ( a ) = ( λ ) a , a + b + c = ( a + b ) + c, a b c = a ( b + c ) , ( λ a ) b = λ ( a b ) = a ( λ b ) ; ( 3 ) 分 配 律 : 如 ( λ + ) a = λ a + a, λ ( a + b ) = λ a + λ b ,( a + b ) c = a c + b c .如下列命题中:① a ( b c ) = a b a c ;②
向量的运算律: 1) a λ 7, 向量的运算律 ( 交换律: + b = b + a ,
→ → → → → → → →

xOy 中的方程. (答: (1)2; (2) x + y + xy 1 = 0 ) ;
2 2

a ( b c ) = ( a b ) c ;③ ( a b )2 =| a |2
→ → →

→ →

→ →









2 | a | | b | + | b |2 ; ④ 若 a b = 0 , 则 a = 0 或 b = 0 ; ⑤ 若 a b = c b , 则 a = c ; ⑥ a = a ; ⑦
2 2 2 2

→ →





2

2

ab a
2

=

b a

;

⑧ (a b) 2 = a b ;⑨ (a b) 2 = a 2a b + b .其中正确的是______(答:①⑥⑨) 提醒: (1 提醒: 1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方,两边同乘以 ( 一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向 切记两向 量不能相除(相约) ( 向量的"乘法"不满足结合律,即 a (b c) ≠ ( a b)c ,为什么? 量不能相除(相约); 2)向量的"乘法"不满足结合律 8 , 向 量 平 行 ( 共 线 ) 的 充 要 条 件 : a // b a = λ b (a b) 2 = (| a || b |)2 x1 y2 y1 x2 = 0 . 如 (1) 若 向 量

a = ( x,1), b = (4, x) , x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 当 (答: ; 2) 2) u v ( 已知 a = (1,1), b = (4, x) , = a + 2b , = 2a + b ,
且 u // v ,则 x=______(答:4)(3)设 PA = (k ,12), PB = (4,5), PC = (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线(答:-2 ; 或 11) 9 , 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : a ⊥ b a b = 0 | a + b |=| a b |

x1 x2 + y1 y2 = 0 . 特 别 地
(答:

(

AB AB

+

AC AC

)⊥(

AB AB



AC AC

) .如(1) 如(1)已知 OA = ( 1, 2), OB = (3, m) ,若 OA ⊥ OB ,则 m =

3 )(2) ; 2

以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B = 90° , 则点 B 的坐标是________ (答: (1,3)或 (3, -1); ) (3)已知 n = (a, b), 向量 n ⊥ m ,且 n = m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, a )或( b, a) ) 10.线段的定比分点 10.线段的定比分点: 线段的定比分点 定比分点的概念:设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 ,P 2 的任意一点,若存在一个实数 λ ,使 P P = λ PP2 ,则 (1)定比分点的概念 1

λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比,P 点叫做有向线段 P P2 的以定比为 λ 的定比分点; 1 1 的位置之间的关系:当 P 点在线段 P 1 P 2 上时 λ >0;当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上 (2) λ 的符号与分点 P 的位置之间的关系
时 λ <-1;当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 1 < λ < 0 ;若点 P 分有向线段 P P2 所成的比为 λ ,则点 P 分有 1 向线段 P2 P 所成的比为 1

1

λ

.如若点 P 分 AB 所成的比为 如

3 7 ,则 A 分 BP 所成的比为_______(答: ) 4 3

3

x1 + λ x2 x = 1+ λ 线段的定比分点公式: 1 则 , ( 3) 线段的定比分点公式 设 P ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) ,P ( x, y ) 分有向线段 P P2 所成的比为 λ , 1 y = y1 + λ y2 1+ λ x1 + x2 x = 2 特别地,当 λ =1 时,就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 y = y1 + y2 .在使用定比分点的坐标公式时,应明确 ( x, y ) , 2 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分 → 1 → ,N(6,-1) ,且 MP = MN ,则点 P 的坐标为 点和终点,并根据这些点确定对应的定比 λ .如(1)若 M(-3,-2) 如 3 7 1 _______(答: ( 6, ) )(2)已知 A(a,0), B (3, 2 + a ) ,直线 y = ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM = 2MB ,则 a 等于 ; 2 3
_______(答:2或-4)
x′ = x + h 11.平移公式: 11.平移公式 如果点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移至 P ( x′, y ′) , 则 ; 曲线 f ( x, y ) = 0 按向量 a = ( h, k ) y′ = y + k 平移得曲线 f ( x h, y k ) = 0 .注意 (1)函数按向量平移与平常"左加右减"有何联系?(2)向量平移具有坐标不 注意: 注意 (

变性,可别忘了啊!如(1)按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ,则按向量 a 把点 (7,2) 平移到点______(答: 如 (-8, 所得函数的解析式是 y = cos 2 x + 1 , a =________ 则 (答: ( 3); 2) ) ( 函数 y = sin 2 x 的图象按向量 a 平移后, 12,向量中一些常用的结论 12,向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2) || a | | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | ,特别地,当 a, 同向或有 0 | a + b |=| a | + | b | b
→ →

π
4

,1) )

≥ || a | | b ||=| a b | ; 当 a, 反 向 或 有 0 | a b |=| a | + | b | ≥ || a | | b ||=| a + b | ; 当 a, 不 共 线 b b || a | | b ||<| a ± b |<| a | + | b | (这些和实数比较类似). x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 (3)在 ABC 中,①若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则其重心的坐标为 G 1 , 如 .如 3 3 2 4 若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1)(-3,4) , , (-1,-1) ,则⊿ABC 的重心的坐标为_______(答: ( , ) ) ; 3 3 ② PG = 1 ( PA + PB + PC ) G 为 ABC 的重心,特别地 PA + PB + PC = 0 P 为 ABC 的重心; 3 ③ PA PB = PB PC = PC PA P 为 ABC 的垂心; ④向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线); | AB | | AC |
⑤ | AB | PC + | BC | PA+ | CA | PB = 0 P ABC 的内心;
1 (3)若 P 分有向线段 P P2 所成的比为 λ ,点 M 为平面内的任一点,则 MP = MP + λ MP2 ,特别地 P 为 P P2 的中 1 1 1+ λ 1 点 MP = MP + MP2 ; 2

(4)向量 PA, , 中三终点 A,B,C 共线 存在实数 α,β 使得 PA = α PB + β PC 且 α + β = 1 .如平面直 PB PC 角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B (1,3) ,若点 C 满足 OC =


λ1 + λ2 = 1 ,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)

λ1 OA + λ2 OB ,其中 λ1 , λ2 ∈ R 且





4

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