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江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷9


2013 年江苏高考数学模拟试卷(九)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 在复平面内,复数

2i ( i 是虚数单位)对应的点的坐标为 1? i




2.设集合 A ? {( x, y) | 2 x ? y

? 1, x, y ? R} , B ? {( x, y) | a 2 x ? 2 y ? a, x, y ? R} ,若

A ? B ? ? ,则 a =

3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 汽车数量为 ___________ 辆.
频率 组距
0.039 0.028 0.018 0.01 0.005 30 40 50 60 70 80 时速



4. 200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所示,则时速超过 70km/h 的

5.某程序框图如右上图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

.

A1 B1

C1

6. 如图, 斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均等于 1, ?A1 AB ? ?A1 AC ? 60? , 且 则该斜三棱柱的全面积是
2

. A B (第 6 题) C

y2 ? 1 的渐近线被圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长 7.双曲线 x ? 4





8 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 是 .

x ?l o g x , ? 0 2
x ?2 ,

x?0

, 则 满 足 不 等 式 f ( f ( x)) ? 1 的 x 的 取 值 范 围

9. 在面积为 2 的 ?ABC 中, 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, PC ? PB ? BC E,F AC 点 则 的最小值 是 . 10.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 , 则

2

b ? c



1 2 4 8 16 32 …… (第 11 题)

11.将首项为 1,公比为 2 的等比数列的各项排列如右表,其中第 i 行第 j 个数 表示为 aij (i, j ? N ) ,例如 a32 ? 16 .若 aij ? 2
* 2011

,则 i ? j ?



12. 已知 A, B 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的公共顶点。P 是 a2 b a b

双曲线上的动点, M 是椭圆上的动点( P 、 M 都异于 A 、 B ) ,且满足 ??? ??? ? ? ???? ???? ? ? AP ? BP ? ? ( AM ? BM ) ,其中 ? ? R ,设直线 AP 、 BP 、 AM 、 BM 的斜率分别记为
k1 , k2 , k3 , k4 , k1 ? k2 ? 5 ,则 k3 ? k4 ?



13.已知 a ? (1,0), b ? (? 小值为 .

?

?

? ? ? 3 1 ? 3 1 , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) ,则 x2 ? y 2 ? z 2 最 2 2 2 2
2 ( x ? 0) 和图象交于点 Q,若点 P,M 分别是直线 y ? x x

( 14.已知直线 y ? x 与函数 g x ) ?

( 与函数 g x ) ?

2 ( x ? 0) 的图象上异于点 Q 的两点,且对于任意点 M,PM≥PQ 恒成立, x


则点 P 横坐标的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

15.(本小题满分 14 分)已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x, 错误!不能通过编辑域代码创建对象。的最大值为 6. (1)求角错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ;

??

?

A cos 2 x) ( A ? 0) ,函数 2

(2)将函数错误!不能通过编辑域代码创建对象。的图象向左平移错误!不能通过编辑 域代码创建对象。个单位,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的错误!不能通过 编辑域代码创建对象。倍,纵坐标不变,得到函数错误!不能通过编辑域代码创建对 象。的图象.求错误!不能通过编辑域代码创建对象。在错误!不能通过编辑域代码 创建对象。上的值域.

16.(本小题满分 14 分)如图,已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点,BD∥平面 EFGH,且 EH=FG. (1) 求证:HG∥平面 ABC; (2) 请在面 ABD 内过点 E 作一条线段垂直于 AC,并给出证明.

17.(本小题满分 14 分)某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,?C ? 90? ,AB=2 百米, BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、 CA 上取点 D,E,F,如图 (1),使得 EF‖AB, EF ? ED , 在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建 造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.
A A

F D C B

F

D

E 图(1)

C

E 图(2)

18. (本小题满分 16 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为 圆 C 的左顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ①若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小;

3 , Q 为椭 2

6 5

②若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在, 求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由.
y A

Q B

N

O

x

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ' ( x)是f ( x) 的导函数。 (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ? f ' ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ' ( x) | ;

? f ' ( x), f ( x) ? f ' ( x) ? (3)设函数 g ( x) ? ? ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值; ' ? f ( x), f ( x) ? f ( x) ?

20.(本小题满分 16 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得

an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意正整数 n 都成立.
(1)求证:数列 {an } 为等差数列的充要条件是 3A-B+C=0; (2)若 C=0,{an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ? 大整数的值.
2012

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最 2 ai ai ?1

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于 点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. E A · O C
(第 21-A 题)

B D

P

?a 0? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A = ? ? (a ? 0, b ? 0) 对应的 ?0 b? x2 y 2 变换作用下变为椭圆 ? ? 1 ,求 a,b 的值. 9 4

2 ? ?x ? t 2 ?1 C. (选修4-4:坐标系与参数方程)将曲线 C1: ? ,化为普通方程,并求 C1 被 2t ?y ? 2 t ?1 ?
直线 l : ? cos(? ? ) ? 1 所截得的线段长. 3

?

D. 已知 ad1 ? bd 2 ? cd 3 ? 2 , abcd ,d1 ,d2 且 ,,,

3

均大于零, 求证:

2a 2b 2c ? ? ? (a ? b ? c) 2 . d1 d 2 d3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 过抛物线 y2=4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D, ??? ? ??? ? 点 C(异于点 A)在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE =λ1 EC ;点 F 在线段 BC 上, ??? ? ??? ? 满足 BF =λ2 FC ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于点 P. ??? ? ??? ? (1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. y A D B
O P

E x

F C
(第 22 题图)

23.六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 (1)共有多少种不同的骰子; (2) 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差, 变差的总和叫做全 变差 V。在所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值。


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