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2018届高考理科数学第3章导数 (5)

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第三章 导数及其应用 课时 3 题型一 导数与函数的综合问题 用导数解决与不等式有关的问题 解不等式 命题点 1 【例 1】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 xf′(x)-f(x) 2 时,有 < 0 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集 2 x 是( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(0,2) 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 ?f(x)? f(x) ? ? 时 ′<0,∴φ(x)= x 为减函数, ? x ? 【解析】 x>0 又 φ(2)=0,∴当且仅当 0<x<2 时,φ(x)>0, 此时 x2f(x)>0. 又 f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数. 故 x2f(x)>0 的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 【答案】 D 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 命题点2 证明不等式 【例2】 (2016· 课标全国Ⅲ)设函数f(x)=αcos 2x+(α- 1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f′(x); (2)求A; (3)证明|f′(x)|≤2A. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 【解析】 (1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x. (2)当α≥1时, |f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2 =f(0). 因此A=3α-2. 当0<α<1时, 将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1. 设t=cos x,则t∈[-1,1], 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 令 g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则 A 是|g(t)|在[-1,1]上的最大 值, g(-1)=α, g(1)=3α-2, 且当 t= 最小值为 1 -α 时, g(t)取得最小值, 4α 2 2 ?1-α? ( α - 1 ) α +6α+1 ? ? g? -1=- . ?=- 8α 8α ? 4α ? 令-1< 1-α 1 1 <1,解得 α<-3(舍去),或 α>5. 4α 1 (ⅰ)当 0<α≤5时, g(t)在(-1, 1)内无极值点, |g(-1)|=α, |g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以 A=2-3α. 1 (ⅱ)当5<α<1 时,由 g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知 g(-1) ?1-α? ? >g(1)>g? ? 4α ?. ? ? 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 ? ?1-α?? (1-α)(1+7α) ? ?? 又? g - | g ( - 1)| = >0, ? ? 4α ?? 8 α ? ? ?? 所以 ? ?1-α?? α2+6α+1 ? ?? A=? g . ? ? 4α ??= 8 α ? ? ?? ? ? 综上,A=?α +6α+1 1 ,5<α<1, 8α ? ?3α-2,α≥1. 2 1 2-3α,0<α≤5, (3)证明 由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α- 1|. 1 当 0<α≤5时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应

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