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河北正定中学2013届高三上学期第一次考试(数学)

时间:2012-11-14


高三第一次月考·数学试题
一、选择题
1 ? ? 2 1. 已知集合 A ? ? x | y ? x 2 ? , B ? ? y | y ? x ? 2 x ? 3, x ? R? ,则 A ? B ? ? ?





A. ?

B.R

C. ? 0,

?? ?

D. ? 2, ?? ?

2. 已 知 复 数 z 满 足 : ?1 ? i ? z ? 2 ? 6i ( i 是 虚 数 单 位 ), 则 z 对 应 的 点 在 ( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ( )

3. 设 a, b, c 都是实数, “ 2b ? a ? c ” “ a, b, c 依次成等差数列” 则 是 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 设 p :?a, b , a ? b ? 0 , a ? b ;q :?a , b , a ? b ? 0 , a ? b 。 若 则 若 则 则 A. p, q 都假 B. p 真 q 假 C. p 假 q 真 D. p , q 都真。

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?





5. 已知函数 f ? x ? ?| x | ?

1 ,则它的图象大致为( ) x

6. 将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像向左平移 值不可能等于 ... A.4

? 个单位。 若所得图象与原图象重合, ? 的 则 2
D.12

B.6

C.8

7. 已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 的部分图象如题(6)图所示,则( A. ? ? 1, ? ? C. ? ? 2, ? ? )

?
2

)

?
6

B. ? ? 1, ? ? ?

?
6

?

6 6 ? ? ? ? ? 8. 若 a, b 是 非 零 向 量 且 满 足 (a ? 2b) ? a ,
? ? ? ? ? (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(


D. ? ? 2, ? ? ?

?

-1-

A.

? 6
x

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


9. 已知点 P 在曲线 y= A.[0,

? ) 4

4 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, ? 的取值范围是 则 ( ? e ?1 ? ? ? 3? 3? B. [ , ) C. ( , D. [ ] ,? ) 4 2 2 4 4
( ) B. [2 2, ??) C. (3, ??) D. [3, ??)

10. 已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 A. (2 2, ??)

11. 设 a ? sin14? ? cos14?, b ? sin16? ? cos16?, c ? A. a ? b ? c 12. B. b ? c ? a

6 ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 2
D. b ? a ? c

C. a ? c ? b

?

2

?2

( 4 ? x2 ? x)dx 等于( )
B. ? C. 2? D. 2? ? 4

A.0 二、填空题

13. 数列 ? an ? 满足 a1 ? 0, an ?1 ? an ? n ,则 ? an ? 的通项公式 an = 14. 已知函数 f ? x ? ? x ? cos x , 对于 ? ?
2

? ? ?? 有如下条件有: x1 ? x2 ; ① , 上的任意 x1 , x2 , ? 2 2? ?


2 2 ② x1 ? x2 ;③ | x1 |? x2 。其中能使 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒成立的条件序号是

15. 若 函 数 f 是 .

? x? ?

ax ? x ? a a ? 0 且 a ? 1 ) 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 (

16. 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c , C ? 2 B ,则 是 三、解答题 。

c 的取值范围 b

17. 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? (1)

? ?

?? 2 ? ? 2 2 sin x 。 4?

求 f ? x ? 的最小正周期; 若 x ? ?0, ? ,求 f ? x ? 的值域。 2

(2)

? ?? ? ?

18. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x ? 1 对称。对任意 x1 ,x2 ? ?0, ? 都 2 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) 。

? 1? ? ?

-2-

(1) 设 f ( 1 ) ? 2 ,求 f (

1 1 ), f ( ) ; 2 4

(2) 证明: f ( x ) 是周期函数。

19. 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏 东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里每小时,该救援 船到达 D 点需要多长时间?

?

?

20. 已知等差数列 ? an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ? an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

AB 21. 如图 5,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,⊙O 的直径 AB=2,C 是 ? 的中点,D 为 AC
的中点. (Ⅰ)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 B-PA-C 的余弦值。

-3-

22. 设函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? ax ( a 是实数) 。
2 2

(1) (2)

求 f ? x ? 的单调区间 是否存在正数 a ,使 e ? 1 ? f ?x ? ? e 对一切 x ? ?1, e ? 恒成立?若存在,求 a 的
2

值,若不存在,说明理由。

-4-

高三第一次月考数学答案
一、选择题 DACCB 二、填空题 BDBDC CC

n(n ? 1) ; ②; ?1, ?? ? ; ( 2 , 3 ) 2
f ? x? ?

2 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) 2 2 17.解: 2 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4
(1) T ?

2? ?? 2

(2)? 0 ? x ?

?
2

,?

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? ,? ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 4 2 4

??

3 2 3 2 ? f ( x) ? 1 ? 2 .? f ( x)的值域为[? ,1 ? 2 ]. 2 2

18.解: 1) f ? 1 x 2 ?f x ( 由 x ? ?

? f??x 1

2

? ? ,x1 , x2 ? ?0, ?

1? ? x? ? x? 知 ? , f ? x? ? f ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 0 , ? 2? ? ? ? ?

x ? ? 0,1?

?1? ∵ f ?1? ? f ? ? ? ?2?

?1? ? f ? ???f ?2? ?

1 ? 1 ?? ?1? ? ?1? , ∴ f ? ? ? 22 。 同 理 f ? ? ? ? f ? ?? ? 2 ?? ?2? ? ?2?

2

? 1 ?? ? ?? , ∴ ? 4 ??

2

?1? f ? ? ? 24 ; ?4?
1

(2) 证 明 : 依 题 设 y ? f ? x ? 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 故 f ? x ? ? f ?1 ? 1 ? x ? , 即

f ? x? ? f ?2 ? x?, x ? R 。
又由 f ? x ? 是偶函数知 f ? ? x ? ? f ? x ? , x ? R ∴ f ? ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? R ,将上式中 ?x 以 x 代换,得 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? , x ? R , ∴ f ? x ? 是 R 上的以 2 为周期的周期函数。 19.解: 由题意知 AB ? 5 3 ? 3 海里, ∠DBA=90°-60°=30°, ∠DAB=45°, ∴∠ADB=105°。 在 ?DAB 中,由正弦定理得

?

?

DB AB , ? sin ?DAB sin ?ADB

-5-

∴ DB ?

AB ? sin ?DAB 5 3 ? 3 ? sin 45? ? ? 10 3 (海里) sin ?ADB sin105?

?

?

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC= 20 3 海里, ∴在△DBC 中,由余弦定理得

1 CD 2 ? BD 2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos ?DBC ? 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 2 3 ? ? 900 , 2 30 ∴CD=30(海里) ,所以 C 船到达 D 点需要时间 t ? ? 1 小时。 30
答:救援船到达 D 点需要时间为 1 小时。

20.

? a1 ? d ? 0, ? 2a ? 12d ? ?10, {an } (I)设等差数列 的公差为 d,由已知条件可得 ? 1
? a1 ? 1, ? ? d ? ?1.
{an }
的通项公式为

解得

故数列

an ? 2 ? n.

………………5 分

an a a }的前n项和为Sn Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 n ?1 2 2? (II)设数列 2 ,即 , {

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . n =2 Sn ? n 2
n ?1

.

所以

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {

………………12 分

21.解法 1:连结 OC,因为 OA=OC,D 是 AC 的中点,所以 AC⊥OD。 又 PO⊥底面⊙O,AC ? 底面⊙O,所以 AC⊥PO,

-6-

因为 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC⊥平面 POD, 而 AC ? 平面 PAC,所以平面 POD⊥平面 PAC。 (II)在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H,由(I)知,平面 POD ? 平面PAC , 所以 OH⊥平面 PAC,又 PA ? 面 PAC,所以 PA⊥OH。 在平面 PAO 中,过 O 作 OG⊥PA 于 G, 连接 HG,则有 PA⊥平面 OGH, 从而 PA⊥HG,故∠OGH 为二面角 B—PA—C 的平面角。 在 Rt ?ODA 中,OD=OA ? sin 45 ? ?

2 2

在 Rt ?POD 中,OH=

PO ? OD PO 2 ? OA2
PO ? OA PO ? OA
2 2

?

2?

2 2 ? 10 5 1 2? 2

在 Rt ?POA 中,OG=

?

2 ?1 6 ? 2 ?1 3

10 OH 15 ? 5 ? 在 Rt ?OHG 中, sin ?OGH ? OG 5 6 3
所以 cos ?0GH ? 1 ? sin ?OGH ?
2

10 5

故二面角 B—PA—C 的余弦值为

10 5

解法 2: (I)如图所示,以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则 0(0,0,0) ,A(-1,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,P (0,0, 2 ) ,D( ?

设 n ? ? x1 , y1 , z1 ? 是 平 面 POD 的 一 个 法 向 量 , 则 由 n ? OD ? 0, n ? OP ? 0 , 得

?

1 1 , , ,0 ) 2 2

? ????

? ??? ?

1 ? 1 ? ? ? x1 ? y1 ? 0 2 ,所以 x1 ? y1 , z ? 0 ,取 y1 ? 1 ,得 n ? ?1,1, 0 ? 。 ? 2 ? 2z ? 0 ?
设 m ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 PAC 的一个法向量,同理可得 m ? ? 2, 2,1 。 因为 m ? n ? ?1,1, 0 ? ? ? 2, 2,1 ? 0 ,所以 m ? n ,从而平面 POD⊥平面 PAC。

??

??

?

?

?? ?

?

?

??

?

-7-

(II)因为 y 轴⊥平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 p ? ? 0,1, 0 ? 由(I)知,平面 PAC 的一个法向量为 m ? ? 2, 2,1

? ?

??

?

?

?? ? ? ?? ? ? m? p 10 ? ? ? 设向量 m, p 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? , 5 | m |?| p |
由图可知,二面角 B—PA—C 的平面角与 ? 相等, 所以二面角 B—PA—C 的余弦值为 22.解: (1)定义域为 (0,??)

10 。 5

f ' ( x) ?
'

a2 ? 2 x 2 ? ax ? a 2 ? (2 x ? a)( x ? a) ? 2x ? a ? ? x x x

令 f ( x) ? 0, x1 ? ?

a , x2 ? a, 2

当a ? 0时, f ' ( x) ? ?2 x ? 0,? f ( x)在(0,??)上是减函数;

当a ? 0时,x1 ? 0, x2 ? 0,? f ( x)在(0, a)上是增函数,在(a,??)上是减函数;

a a 当a ? 0时,x1 ? 0, x2 ? 0,? f ( x)在(0,? )上是增函数,在(? ,??)上是减函数. 2 2
(2)由(1)知, 当a ? 0时,f ( x)在(0, a)上是增函数,在(a,??)上是减函数;

? e ? 1 ? f ( x) ? e 2 对一切x ? [1, e]恒成立 , ?当x ? 1时,e ? 1 ? f (1) ? e 2 ,即e ? 1 ? a ? 1,? a ? e.
? f ( x)在[1, e]上是增函数, f min ( x) ? f (1) ? a ? 1, f max ( x) ? a 2 ? e 2 ? ae ?
由题意 ?

?e ? 1 ? a ? 1
2 2 2 ?a ? e ? ae ? e

,解得 a ? e .

-8-


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