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2.2.1 对数与对数运算


复习引入

探索新知

我们研究指数函数时,曾讨论过细胞 分裂问题,某种细胞分裂时,由1 个分裂成2 个,2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂 x次后,得到细胞个数y是分裂次数x函数,这 个函数可以用指数函数 y=2x 表示

问题引入

探索新知

反过来,1个细胞经过多少次

分裂, 大约可以得到8个、1024个、8192 个… …细胞?已知细胞个数y,如何求 分裂次数x?

1

8=2x

2 4 …… y=2x 1024=2x 8192=2x

复习引入
问 题 推 广

探索新知

2x=8, x = ?
2x=1024,2x=8192, x = ?
已知底和幂,如何求出指数?
如何用底和幂来表示出指数的问题. 解 决 新数——对数. 为了解决这类问题,引进一个

对数的概念:

如果 a ? N (a ? 0, a ? 1), 那么 b叫做以a为底N的对数,记作 b ? log a N , 其中 a 叫做对数的底,N 叫做真数.
b

说明: ① 注意底数和真数的限制,

a ? 0且a ? 1 ;

N>0

② 注意对数的书写格式,

loga N

a ? N叫做指数式 ,loga N ? b 叫做对数式.
b

当 a ? 0, a ? 1, N ? 0 时,

真数 指数 对数 b a ?N   ? loga N ? b
底 底



指数式与对数式的互化

巩固知识 典型例题
互化
a ?N
b

  ?

loga N ? b

例1 将下列指数式写成对数式: 1 1 1 4 例 (1) ( ) ? (2) 273

2

题 (3) 4

?3

(5) ex=5

1 ? 64

16

?3

(4)

10 ? y
x

两个重要的对数
常用对数:以10为底的对数

log10 N

简记为 lg N

自然对数: 以e为底的对数

loge N

简记为 ln N

e为无理数 e = 2.71828……



例2 将下列对数式写成指数式:
( 1)

题 ( 3)
解:(1)

1 ; ( 2 ) log ? ? 4 log2 32 ? 5; 3 81 1 ; lg1000? 3 (4) log ? ?3 28

2 ? 32
5
3

(2) (4)

(3)10

? 1000

1 3 ? 81 1 ?3 2 ? 8
?4

探究活动一:

对数的性质

1、将下列指数式转化为对数式: (1)

30=1

(2)80=1 log81= 0 (4)2.90=1 log2.91= 0

log31= 0 (3)0.50=1 log0.51= 0

你发现 了什么?

“1”的对数等于零,即loga1=o

探究活动二:
2、求下列各式的值: (1) log22= 1 (2) log1616= 1

你发现 了什么?

(3) log0.50.5= 1 (4) log99= 1

底数的对数等于“1”,即logaa=1

归纳:
对数 性质
( 1) log a 1 ? 0 ; “1”的对数等于零 ( 2) log a a ? 1 ; 底数的对数等于“1”

(3)N >0,即零和负数没有对数.

例 题 (1)log3 3 (2) log7 1
解:(1)由于底与真数相同,由对数的性质(2)知

例3 求下列对数的值:

log3 3 ? 1
(2)由于真数为1,由对数的性质(1)知

log7 1 ? 0

归纳小结,强化思想: ? 对数的概念 ? 指数式和对数式的互化 ? 对数的性质


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