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不等式复习


不等式的性质

不等式

不等式的解法 不等式的证明

应 用

互逆性— a>b ? b<a 传递性— a>b,b>c ? a>c 可加性— a>b ? a+c>b+c 移项法则— a+c>b ? a>b-c 同向可加— a>b,c&g

t;d ? a+c>b+d ac>bc ? c>0 可乘性— a>b, c<0 ? ac<bc 推 论

不 等 式 的 性 质

同向正可乘— a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
推 论 可乘方— a>b>0 ? an>bn 例 题 (n?R+)

可开方— a>b>0 ?

n

*) (n ? N a? b

n

ax>b ?

(x-a)(x-b)<0 (>0) ? a<x<b (x>b或x<a)

b b a>0,x> ;a<0,x< a a

不 等 式 的 解 法

(x-x1)(x-x2) · · · · · · (x-xn)<0 (>0)

-

+

+- + - + -

f (x) ? g(x) ? f(x)<g2(x) , f(x)≥0 ,g(x)>0 g(x) ? f (x) ?
f (x)

g( x ) ? 0 ? g ( x ) ? 0 ? 或? 2 ? g ( x) ? f ( x) ? f ( x ) ? 0 ?
g( x)

0<a<1
a>1

f(x)<g(x) a ? a ? a a log f ( x) ? log g( x) f(x)>g(x) a ? a ? a a log f ( x) ? log g( x)
f (x) g( x)

? 0< f(x)<g(x)

例 题

? f(x)>g(x)>0 |x|<a ? -a<x<a |x|>a ? x>a或x<-a

证 明 不 等 式 含 比 较 大 小 的 常 用 方 法

比 较 法

差(平方差)比 较—

作差、变形、 分解、 通分、 判断、结论 配方、 商比较— 利用函数的单调性 展开.
a?b ? ab (a、b ? R ? ) 2 2

应用 基本 综 公式 合 “先分 法 后合” 分析法

a ? b ? 2 ab

a ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

a?b 2 ab ? ( ) 2

( )

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R ? ) 3

放缩法

代换法

例 题

关于解不等式
1. 对选择题多用分析淘汰法

2. 以性质作保证,实施等价变换
解下列不等式 ①2x-a<bx+3; 分b>2;b<2; b=2三种情况

② 3x ? 1 ? 2x ? 1 ? 1 ③? 4 ?

?log2 x ?2 ?1

? ? ? 5?

? 4? ?? ? ? 5?

2 ( 2 ? log

2

x)

3. 对特殊点要特别留意

证明: ac ? bd
分析一 分析二

? a ?b ? c ?d
2 2 2

2

分类讨论 分析、放缩法

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a?b 已知 | a |? 1, | b |? 1,求证 : ?1 1 ? ab
分析一 平方求差法 分析二 分析法

分析三

利用 |x|<a ? -a<x<a

a b a?b 已知a ? 0,b ? 0,求证: ? ? 1? a 1? b 1? a ? b 分析:用放缩法

例1.证明下列不等式 (1)若abc=1,则(2+a)(2+b)(2+c)?27;
1 (2)若a+b+c=1,则 a ? b ? c ? ; 3 2=1 (a+b+c) 分析一 分析二
2 2 2

分析三

( 3)已知0 ? a,b ? 1,求证:

1 设a ? ? t 1 (均值代换) 3

2a ?1? 2 a ?? ? ? 3 ? 3?

2

a 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a ) 2 ? b 2 ? (1 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? 2 2
a 2 ? b2 a?b 2 分析一 ?( ) 2 2 分析三 数形结合

分析二 三角代换

求函数的最值

配方法

利用均值不等式 (一正、二定、三相等) 阅读下题的各种解法,指出有错误的地方

1 1 已知a,b ? R ,且a ? 2b ? 1,求 ? 的最小值. a b
?
?

1 1 解法一: ? a , b ? R ,? a ? ? 2, 2b ? ? 2 2 a b 1 1 1 1 ? ( a ? 2b ) ? ( ? ) ? 2 ? 2 2 ,? ? ? 2 2 ? 1 a b a b 1 1 1 ? 1 解法二:由a ? 2b ? 1及a、b ? R , ? ? (a ? 2b)( ? ) a b a b

1 1 1 ? 2 2ab ? 2 ,? ? 的最小值为 4 2. ab a b

1 1 1 解法三: ? ? ?2 ,当且仅当 a ? b时" ?" 成 立, a b ab 1 1 1 1 又 ? a ? 2b ? 1,? a ? b ? ,? ? ? 2 ? 6. 1 3 a b 9
正确解法一 正确解法二 “1”代换法 三角代换法


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