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2.2.1 椭圆的标准方程(1)

时间:2016-11-08


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椭圆的标准方程
宿迁市中小学教学研究室 教学目标: 1.通过数学实验与动手作图,利用椭圆的定义,从几何直观上对于曲线类型进行 判断; 2.通过阅读自学与问题驱动,领会建立椭圆方程的必要性,掌握椭圆的标准方程 的建立过程; 3.通过椭圆各种语言的转化,经历数学知识的发生发展过程,通过椭圆方程的运 用,展现运用方程研究曲线的解析几何本质,进一步领悟数形结合思想. 卓斌

教学重点: 学会建立曲线方程的基本过程,掌握椭圆的标准方程及其推导方法. 教学难点: 椭圆的标准方程的推导过程.

教学方法与教学手段: 1.教学方法:采用数学实验,动手做数学,阅读自学,问题驱动等方式,引导学 生自主探索; 2.教学手段:使用实物展台、几何画板、多媒体等现代教育技术手段,调动学生 主动探索问题,感受知识的生成过程.

教学过程: 一、概念回顾——温故知新 请你复述一下椭圆的定义. (1)椭圆定义中的关键词有哪些? (2)你能把椭圆定义用数学符号语言来表示吗? 设计意图:温故知新,为利用定义进行几何推证和研究方程做好铺垫. 二、观察操作——直观感知 1.观察所给的图形,从中你能看到什么曲线吗?
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设计意图:提供数学材料,激发学习兴趣与好奇心,让学生处于愤悱状态! 2.按照以下步骤操作,你能发现其中隐藏着的曲线吗? S1 选择一个曲边菱形区域,将其涂黑; S2 选择已经涂黑的曲边菱形区域,将其一组对顶的曲边菱形区域涂黑; S3 重复 S2,注意选取对顶区域的方向要一致; S4 将涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线. 设计意图:设计数学实验,自主发现图中蕴藏着的平面曲线,通过实物展台呈现学 生作品. 三、理性思考——几何判断 1.如果将图中涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线,那么这条曲线上的点具 有怎样的特征呢? 设计意图:先通过几何画板演示,动态生成椭圆,并度量椭圆上点的特征,再让学 生进行理性分析,自主得出结论: PF1 ? PF2 ? 常数. 2.现有一根长度大于 F1F2 的细绳,试用适当的方法画出以 F1 ,F2 为焦点的一个椭 圆. 设计意图:请两位同学在黑板上演示,对椭圆定义进行操作,且为后续研究方程提 供椭圆图形. 四、理性探究——建立方程 1.椭圆在现实生活、生产、科技中有着广泛的运用,神舟八号运行轨迹也是椭圆, 怎样才能精确地制造它们呢? 设计意图:数无形时少直觉,形无数时难入微.需要进行定量刻画,从代数角度进
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行突破,即研究椭圆的方程. 2.怎样建立椭圆的方程? 设计意图:需要引进平面直角坐标系,实现椭圆方程的坐标化. 3.对于椭圆这种平面曲线,怎样建立坐标系才能使得它的方程最为简单呢?为什 么要这样建立坐标系呢?
y

P
O

F1

F2

x

设计意图:让学生对于如何建系进行理性分析: 椭圆关于 x 轴对称,方程中 y 的一次项系数为 0; 椭圆关于 y 轴对称,方程中 x 的一次项系数为 0; 类比圆的方程,猜想椭圆的方程中只有 x , y 的二次项与常数项. 4.阅读教科书:思考下面问题: (1)化简椭圆的坐标化方程: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 的算理是什么? 设计意图:方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边 只有一项,再平方; 方程中只有一个根式时,需将根式单独留在方程的一边,把其他项移到方程的另一 边,再平方; (2)引进字母 b 的好处是什么? b 的几何意义是什么? 设计意图:数学上追求简洁美与对称美的需要,采用补美法. b 的几何意义是与 常数 a , c 构成直角三角形的三边,表示椭圆的短半轴的长. (3)焦点在 y 轴上的椭圆,它的方程该是什么样子呢?为什么? 设计意图: 培养学生类比推理能力. 因为 x 2 ? ( y ? c) 2 ? x 2 ? ( y ? c) 2 ? 2a , 只是 x ,
y 互换位置,根据对称变换思想,焦点在 y 轴上的椭圆的方程应该是

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y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

(4)确定椭圆的标准方程需要几个条件? 设计意图:需要两个相互独立条件,确定 a , b 的值. 五、学以致用——运用方程 例 1 将圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,试判断
y

所得的曲线是什么曲线. (1)几何画板演示,直观感知; (2)教师板书解题过程,给予解题示范. 反思: ①采用了什么方法求变换后曲线的方程? 坐标转移法 ②怎样证明曲线的类型? 模式识别法 ③怎样画出这个椭圆呢? 回归定义
O

P?

P
x

设计意图:培养学生数学阅读能力与抽象概括能力,并借助几何画板演示,给学生 留下一个动态变换过程. 例2 已知一个储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 米,外轮廓线

上的点到两个焦点的距离和为 3 米,求这个椭圆的标准方程.
y

P
O

F1

F2

x

师生共同完成解题过程并思考: (1)采用了什么方法求椭圆的标准方程? 待定系数法.
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(2)若储油罐车在一个加油站放油后,油面水平线距离油罐顶部 1.5 米,问油面 水平线的长度是多少米? 设计意图:师生共同完成,展示规范的解题过程,提炼解题方法.同时追问(2) , 实 现 了 利 用 方 程 解 决 问 题 的 目 标 . 简 解 : 由 题 意 , 把 y ? ?0.6 代 入 椭 圆 方 程
x2 y2 5 ? ? 1 ,得 x ? ,所以油面水平线的长度是 5 米. 2.25 0.81 2

六、回顾反思——小结收获 通过本节课学习,我们是怎样研究椭圆的? (1)根据椭圆的定义,从几何直观上进行推证; (2)利用椭圆的定义,建立椭圆的方程,运用方程进行识别. 设计意图:让学生畅所欲言,进行学习后的反思,总结活动经验. 七、反馈训练——课后作业 课本 P32-33 习题 2.2(1) :1,2,4,10. 设计意图:课后作业目的是巩固新知,达标反馈.

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