nbhkdz.com冰点文库

3.2.1古典型概率


必修3

瑞中学数学组

陈鹏

? 1、理解古典概型及其概率计算公式。 ? 2、会用列举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。

温习旧知
?

互斥事件与对立事件

不能同时发生的两个事件为互斥事件;

不能

同时发生且必有一个发生的两个事件为对立事件
?

P?A ? B? ? P?A? ? P?B?
频率与概率

概率的加法公式

?

在n次重复试验中,当 很大时,事件A 发生

m 的频率 稳定于某个常数附近,这个常数叫 n
做事件A 的概率.

n

1. 概率的基本性质有哪些? (1)、事件A的概率取值范围是 0≤P(A) ≤1 (2)、如果事件A与事件B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B) (3)、若事件A与事件B互为对立事件,则
P(A)=1- P(B)

考察两个试验:

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币的试验; (2)掷一颗质地均匀的骰子的试验.
在这两个试验中,可能的结果分别有哪些?

(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即 “正面朝上”或“反面朝上 (2)掷一枚质地均匀的骰子,结果只有6个, 即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”和“6点”. 它们都是随机事件,我们把这类随机事件称 为基本事件. 基本事件:在一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件。

基本事件有什么特点:

1点

2点

3点

4点

5点 “2点”

6点

问题1: 在一次试验中,会同时出现 “1点” 与 ( 1)

这两个基本事件吗? 不会 任何两个基本事件是互斥的 ( 2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件? “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件? “1点” “2点” “3点” “4点”

任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和

基本事件的特点,基本事件有哪两个特 征? (1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以 表示成基本事件的和.

练习1、
把一枚骰子抛6次,设正面出现的点数为x

1、求出x的可能取值情况
2、下列事件由哪些基本事件组成

(1)x的取值为2的倍数(记为事件A)
(2) x的取值大于3(记为事件B)

(3) x的取值为不超过2(记为事件C)

(1)x的取值为2的倍数(记为事件A) (2)x的取值大于3(记为事件B) (3)x的取值为不超过2(记为事件C) 解: (1) 点数 1
2 3 4 5 6

(2) 点数 1

2

3

4

5

6

(3) 点数

1

2

3

4

5

6

例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试
验中,有哪些基本事件? b c 树状图 c d a c b d d 分析:列举法(包括树状图、列表法,按某种顺序列 举等) 解:所求的基本事件共有6个:

A={a,b},B={a,c},
C={a,d},D={b,c},

E={b,d},F={c,d},

2.在一个试验中如果:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相等。

(等可能性)

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典 概率模型,简称古典概型。

问题2:以下每个基本事件出现的概率是多少?
试 验 1

正面向上
P (“正面向上”)

反面向上
P (“反面向上”)

1 2

试 验 2

1点

2点

3点

4点

5点
1 6

6点
P (“4点”)

P (“1点”)

(“2点”) P
P (“5点”)

P (“3点”) P (“6点”)

问题3:观察对比,找出试验1和试验2的共同特点:

基本事件
试 验 1 试 验 2
(1) (2)

基本事件出现的可能性

“正面朝上” “反面朝上”
“1点”、“2点” “3点”、“4点” “5点”、“6点”

两个基本事件 1 的概率都是 2 六个基本事件 1 有限性 的概率都是 6

试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个

每个基本事件出现的可能性 相等

等可能性

归纳:
对于某些随机事件,也可以不通过大量重复实验,而只 通过对一次实验中可能出现的结果的分析来计算概率。

共同特点: (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个; 等可能性 (2) 每个基本事件出现的可能性相等。 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概 率模型,简称古典概型(classical probability model) 。

有限性

判断下列试验是不是古典概型
问题4:向一个圆面内随机地投射一个点,如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认 为这是古典概型吗?为什么?

有限性 等可能性

问题5:某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验 的结果有:“命中10环”、“命中9环”、“命中8 环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和 “不中环”。 5 你认为这是古典概型吗? 6 为什么? 7 8 9 有限性 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 等可能性 7 6 5

判断是不是古典概型
N 1、上体育课时某人练习投篮是否投中。 2、掷两颗骰子,设其点数之和为 ? , 则 ? ? 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12 。N 3、在圆面内任意取一点。 N 4、从规格直径为300 ? 1mm的一批合格 产品中任意抽一根,测量其直径,观察 测量结果。 N

?

?

题后小结:判断一个试验是否为古典概型,在于
检验这个试验是否同时具有有限性和等可能性,缺 一不可。

问题7:在古典概率模型中,如何求随机事件出现的概率? 试验2: 掷一颗均匀的骰子, 事件A 为“出现偶数点”, 请问事件 A的概率是多少? 探讨: 基本事件总数为: 6 1点,2点,3点,4点,5点,6点
事件A 包含 P ( A) 3 个基本事件:

2点

4点

6点

P (“2点”)

P (“4点”)

P (“6点”)

1
P(A)

1 6 1 2

1 6

6 3

3 6

6

古典概型的概率计算公式:
P ( A)

A包含的基本事件的个数 m 基本事件的总数

n

在使用古典概型的概率公式时,应该注意: 要判断所用概率模型是不是古典概型(前提)

注、若一个古典概型有n个基本事件,则每个基本事件 发生的概率 P ? 1

n

同时抛掷两枚均匀的硬币,会出现几种结果?列举出来. 例2.
出现 “一枚正面向上,一枚反面向上”的概率是多少?

解:

基本事件有:
正 正 反 反 ( 正 , 正) ( 反 , 正) ( 正 , 反) ( 反 , 反) 反



P(“一正一反”)=

2 1 ? 4 2

在遇到“抛硬币”的问题时,要对硬币进行编号用于区分

例:
同时抛掷三枚质地均匀的硬币呢?
解:所有的基本事件共有8个: A={正,正,正}, B={正,正,反}, C={正,反,正}, D={正,反,反},

E={反,正,正}, F={反,正,反}, G={反,反,正}, H={反,反,反},

例3、同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,它总共 出现的情况如下表所示:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6) ( 1 , 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 1, 4 )
( ,3 3) ) (2,4)(2,5) (2,6) (2,1) (2,2)( 22 , ( ,2 2) ( 3 , 1) ( 33 , ) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6) ( 4, ,1 ( 4 1) ) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

2
3

4
5 6

( 5 , 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6) ( 6 , 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

1号骰子

2号骰子

1

2

3

4

5

6

1 2 3

( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6) ( 1 , 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 1, 4 ) ( ,3 3) ) (2,4)(2,5) (2,6) (2,1) (2,2)( 22 , ( ,2 2) ( 3 , 1) ( 33 , ) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6) ( 4, ,1 ( 4 1) ) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

4
5

( 5 , 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6) ( 6 , 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

6

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
(2)在上面的结果中, (3)由于所有36种结果是等可 能的,其中向上点数之和为5的 向上的点数之和为5的 结果(记为事件A)有4种,则 结果有4种,分别为: A所包含的基本事件的个数 4 1 (1,4),(2,3), P (A)= = = (3,2),(4,1)。 基本事件的总数 36 9

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号 会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 这时,所有可能的结果将是: 将没有区别。 因此,在投 1 掷两个骰子 2 的过程中, 我们必须对 3 两个骰子加 4 以标号区分 5
6
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) ( 3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,2) ( 4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,1) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 2 = 基本事件的总数 21

例3、单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌 握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设 考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概 率是多少? 解:这是一个古典概型, 基本事件共有4个: {选择A};{选择B};{选择C};{选择D}

记事件A表示“答对”,它包含的基本事件个数为1

则,由古典概型的概率计算公式得:

1 P(A) ? =0.25. 4

探究:在标准化的考试中既有单选题又有多选题,
多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正 确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道 正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?

基本事件有:
{A}; {B};{C}; { D} {A、B}; {A、C};{A、D}; {C、D}; {B、C}; {B、D}; {A、B、C}; {A、B 、D}; {A、C、 D}; {B、 C 、D }; {A 、B 、 C、 D};
" 答对" 所包含的基本事件的个数 P(“答对”)= ? 基本事件的总数

1 15

假设有20道单选题,如果有一个考生答对了17道题, 他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定的知 识的可能性大? 答:他应该掌握了一定的知识 可以运用极大似然法的思想解决。假设他每道题都是 随机选择答案的,可以估计出他答对17道题的概率为

?1? ? ? ?4?

17

? 5.82?10?11

可以发现这个概率是很小的;如果掌握了一定的知 识,绝大多数的题他是会做的,那么他答对17道题 的概率会比较大,所以他应该掌握了一定的知识。

古典概型解题步骤:
(1)阅读题目,搜集信息; (2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件; (3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;

m (4)用公式P(A)= 求出概率并下结论. n

例3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?

.

例2 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? 解:(1) 可能的结果有:
(1、1); (1、2); (1、3); (1、4); (1、5); (1、6) (2、1); (2、2); (2、3); (2、4); (2、5); (2、6) (3、1); (3、2); (3、3); (3、4); (3、5); (3、6) (4、1); (4、2); (4、3); (4、4); (4、5); (4、6) (5、1); (5、2); (5、3); (5、4); (5、5); (5、6) (6、1); (6、2); (6、3); (6、4); (6、5); (6、6)
.

所以,同时掷两个骰子的结果共有36种.

例2 同时掷两个骰子,计算: (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) 3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,3) 3 (3,1) (3,2) 2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) 1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
.

解: 由上表可知,向上的点数之和是5的 结果有4种.

例2 同时掷两个骰子,计算: (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:

(3)记事件A表示“向上点数之和为5”,由 (2)可知,事件A包含的基本事件个数为4。 于是由古典概型的概率计算公式可得

.

4 1 P( A) ? ? 36 9

例2 同时掷两个骰子,计算: (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:

(3)记事件A表示“向上点数之和为5”,由 (2)可知,事件A包含的基本事件个数为4。 于是由古典概型的概率计算公式可得

.

4 1 P( A) ? ? 36 9

练习2:求 事件A表示“点数之和为7”以及 的概率。 事件B表示“两个骰子点数相同” 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) 1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 6) 2 (2,1) (2,2) 2) (2,3) (2,4) (2,5) 5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 3) (3,4) 4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) 2) (5,3) (5,4) (5,5) 5) (5,6) 6 (6,1) 1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6)

6 1 6 1 P( A) ? ? P( B) ? ? 36 6 36 6

例4:假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数 字可以是0,1,2,……,9十个数字中的任意一 个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码, 问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱 的概率是多少?

解: 这是一个古典概型, 基本事件总数有10000个。 记事件A表示“试一次密码就能取到钱”, 它包含的基本事件个数为1, 则,由古典概型的概率计算公式得:

1 P(A) ? 10000

例5 某种饮料每箱装6听,如果其中 有2听不合格,质检人员依次不放回从某 箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品 的概率. 8÷30+8÷30+2÷30=0.6

课本130页 1

课本130页 2

分析:设事件 A为选出的这2名同学恰是去过北京。

事件B为抽中的第一名同学去 过北京, 事件C为抽中的第二名同学去 过北京,
则事件B与事件C彼此独立,且 A ? B ? C.

3 2 1 ? P( A) ? P( BC) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? . 7 6 7

课本130页 3
分析:设事件 A为抽出的书恰好都是数 学书。

事件B为抽出的第一本书是数 学书, 事件C为抽出的第二本书是数 学书,
则事件B与事件C彼此独立,且 A ? B ? C.

4 3 1 ? P( A) ? P( BC) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? . 9 8 6

6 ,7 , 8 , 9 这九个自然数中任选一个, 2 ,3 ,4 ,5 , 2. 从 1 ,
所选中的数是3 的倍数的概率为
1 3

3. 一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,
试求以下各个事件的概率: A: 抽到一张Q

4 1 ? 52 13 52 4

B: 抽到一张“梅花” 13 ? 1 C: 抽到一张红桃 K

思考题
同时抛掷三枚均匀的硬币,会出现几种结果? 出现 “一枚正面向上,两枚反面向上”

1 52

的概率是多少?

古 典 概 率
4.有四条线段,其长度分别是3,4,5,7, 现从中任取三条,它们能构成三角形的概率是 ( D ).

1 1 1 3 A. B. C. D. 4 2 3 4 5.甲、乙两人玩出拳游戏一次(石头、剪刀、
9 ,平局的 布),则该试验的基本事件数是______

1 1 概率是__________ ,甲赢乙的概率是________ , 3 3 1
乙赢甲的概率是___________ . 3

1.知识点:
(1)基本事件的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; (2)古典概型的定义和特点 ①有限性; ②任何事件(除不可能事件)都可以 ②等可能性。 表示成基本事件的和。 (3)古典概型计算任何事件 A的概率计算公式

A所包含的基本事件的个 数 P(A)= 2.思想方法: 基本事件的总数

列举法(树状图或列表),应做到不重不漏。

补充1:口袋里装有2个白球和2个黑球, 这4个球除颜色外完全相同,4个人按 顺序依次摸出一球。试计算第二个人 摸到白球的概率。

例 题 分 析
【例2】某人有4把钥匙,其中2把能打开门。现 随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉, 问第二次才能打开门的概率是多少?(书P134的 B组第一题) 如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少?

4 1 p ( A) ? ? 12 3

4 1 p( B) ? ? 16 4

有无放回问题

例3、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,求 取出的两件中恰好有一件次品的概率。

解:每次取一个,取后不放回连续取两次,其样本 空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a),(b,c),(c,a), (c,b) } ∴n = 6 用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一 事件,则 ∴m=4 A={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } ∴P(A) =
4 2 ? 6 3

变式:从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每 次任取1件,每次取出后放回,连续取两次,求取出 的两件中恰好有一件次品的概率。

解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结 果组成的 样本空间是

Ω={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 用B表示“恰有一件次品”这一事件, 则 B={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } ∴m=4

∴P(B) =

4 9

练习:书本P133页2、3、4

1.知识点:
(1).基本事件的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; (2).古典概型的定义和特点 ①有限性; ②任何事件(除不可能事件)都可以 ②等可能性。 表示成基本事件的和。 ( 3) .古典概型计算任何事件的概率计算公式

A所包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数 2.思想方法:

列举法(树状图或列表),应做到不重不漏。

1、小明、小刚、小亮三人正在做游戏,现在要从他 们三人中选出一人去帮助王奶奶干活,则小明被选中 1 2 的概率为______ ,小明没被选中的概率为 _____ 。 3

2、抛掷一枚均匀的骰子,它落地时,朝上的点数 1 为6的概率为______ 6 。朝上的点数为奇数的概率为 1 。朝上的点数为0的概率为______,朝上 _______ 0 2 1 。 的点数大于3的概率为______ 2 3、袋中有5个白球,n个红球,从中任意取一个球, 2 恰好红球的概率为 ,求 n= ______ 。 10
3

3


3.2.1古典概型

古典概型的概念及概率公式 11 人 A 必修三 3.2.1 基础存盘 【点拨】古典概型的判断方法: 11 人 A 必修三 3.2.1 名师点拨 【课堂要点探究】类型一 基本...

3.2.1古典概型(教学设计)

3.2.1 古典概型(教学设计) 淇县一中 一、 教材分析(一) 教材地位、作用 《古典概型》是高中数学人教 A 版必修 3 第三章概率 3.2 的内容,教学安排是 2...

3.2.1《古典概型的特征和概率计算公式》

3.2_古典概型的特征和概率... 18页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

3.2.1古典概率

古典概率 暂无评价 28页 免费 3.2.1古典概型教案(白小军... 4页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反...

3.2.1 古典概型

§ 3.2 3.2.1 古典概型 古典概型 自主学习 学习目标 1.通过实例,理解古典概型及其特点. 2.掌握古典概型的概率公式,会求一些随机事件发生的概率. 自学导引...

§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 导学案

§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式授 课时间第周 星期 第节 课型 新授课 主备课 人 学习 1 理解古典概型的两个特征及古典概型的定义; 目 2.掌握...

高二数学必修三3.2.1古典概率(1)

高二数学必修三3.2.1古典概率(1)_数学_高中教育_教育专区。编号 5 邯郸市荀子...古典概型的定义【学习目标】理解并掌握古典概型的特征和古典概型的意义,能根据...

高二数学必修三3.2.1古典概率(2)

编号6 邯郸市荀子中学 数学高学必修 3 导学案 3.2.1 古典概率(1) 编制人...古典概型的计算【学习目标】理解并掌握古典概型的概率计算公式,能将复杂的概率...

3.2.1古典概型教案

3.2.1古典概型教案_其它课程_高中教育_教育专区。《古典概型的特征和概率计算公式》教学设计亳州一中南校 丁克红 教学目标(1)理解古典概型及其概率计算公式, (...