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2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)


金榜题名

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分, 共 4 页, 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证 号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2、

第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在 试卷上。 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要 求作答的答案无效。 4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)+P( B) ; 如果事件 A、B 独立,那么 P( AB) ? P( A) ? P( B) 。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,选择符合题目要求的选项。
2 (a ? bi) ? 1.已知 a, b ? R, i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则

(A) 5 ? 4i 答案:D

(B) 5 ? 4i (C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

解析: a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,

? a ? 2, b ? 1?? a ? bi ? ? ? 2 ? i ?
2

2

? 4 ? 4i ? i 2 ? 3 ? 4i
1

金榜题名 2.设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? { y y ? 2 x , x ? [0,2]}, 则 A ? B ? (A) [0,2] 答案:C 解析: (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)

Q x ? 1 ? 2 ??2 ? x ? 1 ? 2 ??1 ? x ? 3 Q y ? 2 x , x ? ? 0, 2?? y ? ?1, 4? ? A ? B ? ?1,3?
3.函数 f ( x) ?
1 (A) ( 0, ) 2

1 (log2 x) 2 ? 1
? ?) (B) (2,

的定义域为
1 (C) (0, ) ? (2,?? ) 2 1 ? ?) (D) (0, ] ? [2, 2

答案:C 解析:

? log 2 x ?

2

?1 ? 0

?log2 x ? 1 或?log2 x ? ?1
? x ? 2 或? 0 ? x ?
1 。 2

4. 用反证法证明命题 “设 a, b ? R, 则方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根” 时要做 的假设是 (A)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实根 (C)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 (B)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 (D)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根

5.已知实数 x, y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是 (A)
1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

(B) ln(x 2 ? 1) ? ln(y 2 ? 1)

(C) sin x ? sin y

(D)

x3 ? y 3

答案:D 解析:

Q a x ? a y ,0 ? a ? 1 ,排除 A,B,对于 C , sin x 是周期函数,排除 C。 ?x ? y
2

金榜题名 6.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x2 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (A) 2 2 (B) 4 2 (C)2(D)4 答案:D 解析:
Q 4 x ? x3 , Q 4 x ? x 3 ? x ? 4 ? x 2 ? ? x ? 2 ? x ?? 2 ? x ?

第一象限

? ? 4x ? x ? ? 2x
2 3 0

2

?

1 4 x ? 8?4 ? 0 4

7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张 压数据(单位: kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按 从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数 据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效 的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为

频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 0 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa

(A) 6 答案:C

(B) 8

(C)

12(D) 18

解析:第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4
20 ? 0.4 ? 50

3

金榜题名
50 ? 0.36 ? 18 18 ? 6 ? 12

8.已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ?x? ? kx .若方程 f ?x ? ? g ?x ? 有两个不相等的实根, , 则实数 k 的取值范围是
1 1 (0, ) ( , 1) (1, 2) (2, ? ?) (A) (B) (C) (D) 2 2

答案:B 解析:画出 f ? x ? 的图象最低点是 ? 2,1? , g ? x ? ? kx 过原点和 ? 2,1? 时斜率最小为

1 ,斜率最大时 g ? x ? 的斜率与 f ? x ? ? x ?1的斜率一致。 2
?x - y - 1 ? 0, 9.已知 x,y 满足的约束条件 ? 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该 2x y 3 ? 0, ?
约束条件下取得最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为 (A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) 2 答案:B

?x ? y ?1 ? 0 解析: ? 求得交点为 ? 2,1? ,则 2a ? b ? 2 5 ,即圆心 ? 0, 0? 到直线 ?2 x ? y ? 3 ? 0
?2 5? 2 2a ? b ? 2 5 ? 0的距离的平方 ? ? 5 ? ? ? 2 ? 4。 ? ?
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1, ,双曲线 的方程为 C 2 a 2 b2 a 2 b2
2

10.已知 a ? 0, b ? 0 ,椭圆 C 1 的方程为
C 1 与 C 2 的离心率之积为

3 ,则 C 2 的渐近线方程为 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2 x ? y ? 0 (C) x ? 2y ? 0 (D) 2x ? y ? 0 答案:A 解析:

4

金榜题名
c2 a 2 ? b2 ? a2 a2 c2 a 2 ? b2 e2 2 ? 2 ? a a2 a 4 ? b4 3 2 ? ? e1e2 ? ? ? ? a 4 ? 4b 4 4 a 4 e12 ? ? b 2 ?? a 2

第 II 卷(共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上。 11.执 行 下 面 的 程 序 框 图 , 若 输 入 的 x 的 值 为 1 ,

则输出的 n 的值为 答案:3



解析:根据判断条件 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,得 1 ? x ? 3 , 输入 x ? 1 第一次判断后循环, x ? x ? 1 ? 2, n ? n ? 1 ? 1 第二次判断后循环, x ? x ? 1 ? 3, n ? n ? 1 ? 2 第三次判断后循环, x ? x ? 1 ? 4, n ? n ? 1 ? 3
5

金榜题名 第四次判断不满足条件,退出循环,输出 n ? 3

uu u r uuu r ? 12.在 V ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 时, V ABC 的面积为 6



1 答案: 6
解析:由条件可知 AB ? AC ? cb cos A ? tan A , 当A?

?
6

, bc ?

2 1 1 , S ?ABC ? bc sin A ? 3 2 6

13.三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为
V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则
V1 ? V2



1 答案: 4
解析:分别过 E , C 向平面做高 h1 , h2 ,由 E 为 PC 的中点得 由 D 为 PB 的中点得 S ?ABD ?
4

h1 1 ? , h2 2

1 1 1 1 S ?ABP ,所以 V1 : V2 ? S ?ABD ? h1 ? S ?ABP ? h2 ? 2 3 3 4

b? ? 14.若 ? ax 6 ? ? 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 a 2 ? b 2 的最小值为 x? ?
答案:2
b r 6?r r 12 ?3r 解析:将 ( ax 2 ? ) 6 展开,得到 Tr ?1 ? C6 ,令 12 ? 3r ? 3, 得r ? 3 . a bx x
3 3 3 由 C6 a b ? 20,得 ab ? 1 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2 .



15.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) , 对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? , 定义 g ? x ? 关于 f ? x ? 的 “对 称 函 数 ” 为 函 数 y ? h ? x ?? x ? I ? , y ? h ? x ? 满 足 : 对 任 意 x ? I , 两 个 点

?? ,? ? x, h? x

x , ? g ?? x 关 于 点 ? x, f? ? x? 对 称 , 若 h ? x ? 是 g ? x ? ? 4 ? x 2 关 于
6

金榜题名 ,且 h ? x ? ? g ? x ? 恒成立,则实数 b 的取值范围是 f ? x ? ? 3x ? b 的“对称函数” 。 答案: b ? 2 10 解析:根据图像分析得,当 f ( x) ? 3x ? b 与 g ( x) ? 4 ? x2 在第二象限相切时,

b ? 2 10 ,由 h( x) ? g ( x) 恒成立得 b ? 2 10 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m, cos 2x ? , b ? ? sin 2x , n? ,函数 f ? x? ? a ? b ,且 y ? f ? x? 的图 像过
?? ? ? 2? ? 点 ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(I)求 m, n 的值; (II)将 y ? f ? x? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x? 的图 像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1 ,求

y ? g ? x? 的单调递增区间.
解: (Ⅰ)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2x ? n cos2x ,
? f ( x) 过点 (

?
12

, 3 ), (

? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 12 6 6 2? 4? 4? f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 3 3 3

?

?

2? , ?2) 3

?

?1 3 n? 3 ? m? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? ?? ?n ? 1 ?? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2

7

金榜题名

? (Ⅱ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 6 ? f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ? ) 6
2 ? 1 解得 x0 ? 0 设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

?
6

? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

?

?

) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 6 2

?

? ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? , k ? z
?

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [ ?

?
2

? k? , k? ], k ? z

17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯 形, ?DAB ? 60 , AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点. (I)求证: C1M / / 平面A1 ADD1 ; (II)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和 平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.
A A1 D1 C1 B1

D M

C B

解: (Ⅰ)连接 AD1

? ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱,?CD // C1D1
又?M 为 AB 的中点,? AM ? 1
? CD // AM , CD ? AM

CD ? C1D1

? AM // C1D1 , AM ? C1D1 ? AMC1D1 为平行四边形 ? AD1 // MC1
又?C1M ? 平面A1 ADD 1

AD1 ? 平面A1 A D D 1

8

金榜题名

? AD1 // 平面A1 ADD 1
(Ⅱ)方法一:? AB // A1B1

A1B1 // C1D1

?面D1C1M与ABC1D1共面
作 CN ? AB ,连接 D1 N 则 ?D1 NC 即为所求二面角 在 ABCD 中, DC ? 1, AB ? 2, ?DAB ? 60? ? CN ?
3 15 ? D1 N ? 2 2 3 2

在 Rt?D1CN 中, CD1 ? 3 , CN ? 方法二:作 CP ? AB 于 p 点

以 C 为原点, CD 为 x 轴, CP 为 y 轴, CD1 为 z 轴建立空间坐标系,
1 3 ? C1 (?1,0, 3 ), D1 (0,0, 3 ), M ( , ,0) 2 2 1 3 ? C1 D1 ? (1,0,0), D1M ? ( , ,? 3 ) 2 2

设平面 C1 D1M 的法向量为 n ? ( x1, y1, z1 )

? x1 ? 0 ? ??1 3 y1 ? 3z1 ? 0 ? x1 ? 2 ?2

?n1 ? (0,2,1)

显然平面 ABCD 的法向量为 n2 ? (1,0,0)

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 5 ? 5 5

显然二面角为锐角, 所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成角的余弦值为
5 5

9

金榜题名
3 NC 3 5 ? cos?D1CN ? ? 2 ? ? D1 N 5 15 15 2

18.(本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A, B , 乙被划分为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后

1 3 向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共 5 5
有两次来球且落在 A, B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (II)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

解: (I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A
P ( A) ? 5 1 1 4 3 ? ? ? ? 6 5 6 5 10

(II) ?的可能取值为 0, 1 , 2, 3, 4, 6

1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? 6 5 30 3 5 6 5 6 1 3 1 1 1 1 1 2 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? 3 5 5 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? ? ? , P(? ? 6) ? ? ? 2 5 3 5 30 2 5 10
??的分布列为

10

金榜题名
?
P

0
1 30

1
1 6

2
1 5

3
2 15

4
11 30

6
1 10

? 其数学期望为 E (? ) ? 0 ?

1 1 1 2 11 1 91 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn = (?1) n ?1
4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n?1
4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ?

20.( 本小题满分 13 分)

11

金榜题名 设函数 f ?x ? ?
ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 2 x x

是自然对数的底数)

(I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围。
解:( 1)f ' ( x) ? ? e x ? x 2 ? 2 xex 2 1 ? k (? 2 ? ) 4 x x x

( x ? 2)(e x ? kx) ( x ? 0) x3 当k ? 0时,kx ? 0,? e x ? kx ? 0 令f ' ( x) ? 0, 则x ? 2 ?当x ? (0,2)时,f ( x)单调递减; 当x ? (2,??)时,f ( x)单调递增。 (2)令g ? x ? ? e x ? kx 则g ' ( x ) ? e x ? k ? e x ? k , x ? ln k ? g ' (0) ? 1 ? k ? 0, g (0) ? 1 ? 0 g ' (2) ? e 2 ? k ? 0, g ?2 ? ? e 2 ? 2k ? 0 ? k ? g ?ln k ? ? e ln k ? k ln k ? 0 ? ln k ? 1? k ? e 综上 : e的取值范围为( e, e2 )。 2 e2 2

21.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过 点 A 的直线 l 交于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有| FA ? FD , 当点 A 的 横坐标为 3 时, ADF 为正三角形。 (I)求 C 的方程; (II)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii) ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在, 请说明理由。

12

金榜题名

13

金榜题名

温馨提示:本资料仅供参考,请以官方答案为准。
14


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