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高一上学期期末考试数学卷附答案


高一上学期期末考试数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题:增城华侨中学 徐容辉 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? x 0 ? x ? 5?, B ? x x ? 0?,则集合 A ? B =( A.

?x 0 ? x ?

5?

?

B. ?0?

?

C. )

?x x ? 5?

) D. R

2. 若 f ( x) ? A. ?

x ,则 f (?3) 等于( 1? x
B. ?

3 2

3 4

C.

3 4

D. ?

3 2

3. 左面的三视图所示的几何体是( ) A. 六棱台 B. 六棱柱 C. 六棱锥 4. 若函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ,则函数 f ( x) 是(

D. 六边形 )

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 5.下列函数中,在 R 上单调递增的是( ) A. y ? x B. y ? log 2 x C. y ? x
1 3

D. y ? 0.5x )

6.已知点 A( x,1, 2)和点B (2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( A.-3或4 y A. 1∶ 3 8.函数 f ( x) ? x ? B.–6或2 C.3或-4 B. 1∶ 3 D.6或-2 ) C. 1∶ 9 ) 7.已知两个球的表面积之比为 1∶ 9 ,则这两个球的半径之比为(

D. 1∶ 81

x x

的图像为(

y ?1

y

y

y

1

o

x

o
B

1 ?1

x

1?

1?

o?

?1

x

?1
D )

?o

x

A

C
x

9. 函数 f ( x) ? 4 ? 4x ? e 的零点所在的区间为(

A. (1,2) B. (0,1) C. (-1,0) D. (-2,-1) 10. 下列函数中,当自变量 x 变得很大时,随 x 的增大速度增大得最快的是( A. y ?


x

1 x e 100

B. y ? 100ln x

C. y ? x

100

D. y ? 100? 2

高一数学期末考试试卷 第 1 页 共 6 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中的横线上. 11. 函数 f ( x) ? x
? 3 4

的定义域是

_

. .

? 2? x x ? 1 1 12. 设函数 f ( x ) ? ? ,满足 f ( x ) = 的 x 的值是 4 ?log4 x x ? 1

13. 直线 l 的斜率是-2,它在 x 轴与 y 轴上的截距之和是 12,那么直线 l 的一般式方程 是 。 14. 某同学来学校上学,时间 t(分钟)与路程 s(米)的函数关系如图所示,现有如下几种说法: ① 前 5 分钟匀速走路 ② 5 至 13 分钟乘坐公共汽车 s ③ 13 至 22 分钟匀速跑步 ④ 13 至 22 分钟加速走路 其中正确的是 . (注意:把你认为正确的序号都填上)

o

5

13

22 t

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题 12 分) D1 A1 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 ,点

P 为 DD1 的中点。
(1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ;

C1 P

B1

D

(2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD 1; C B 16. (本小题满分 14 分) ⑴已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4,1) ,B(0,3) ,C(2,4) ,边 AC 的中 点为 D,求 AC 边上中线 BD 所在的直线方程并化为一般式; ⑵已知圆 C 的圆心是直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? 3 y ? 4 ? 0 的交点上且与直线

A

3x ? 4 y ? 17 ? 0 相切,求圆 C 的方程.
17. (本小题满分 12 分) 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 75%,估计约经 过多少年,该物质的剩留量是原来的 1 (结果保留 1 个有效数字)?( lg 2 ? 0.3010 , 3

lg3 ? 0.4771 )
18. (本小题 14 分)

2 , 2 ?1 ⑴ 求证: 不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数; ⑵ 确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数.
设函数 f ( x) ? a ?
x

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19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上的图像如图所示,顶点坐标为 ?1,?1? . (1)求 f ( x) 在 R 上的解析式; (2)若 g ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ,画出 g ( x) 的图像,并 求 g ( x) 的解析式; (3)由图象指出 g ( x) 的单调区间(不需要证明).

y

o
?1

1 2

x

20. (本小题 14 分) 甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信 息,分别得到甲、乙两图:

甲调查表明:每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只。 乙调查表明:全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个。 请你根据提供的信息说明: (1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 (2)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了?说明 理由。 (3)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。 参考答案(估计全市平均分 82 分) 一.CACDC DACBA
高一数学期末考试试卷 第 3 页 共 6 页

二.11. ?0,+??

12.

2

13. 2x+y-8=0

14. ① ③

三.15. 证明: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO, 由 P,O 分别是 DD1 ,BD 的中点,故 PO// BD1 , 所以直线 BD1 ∥平面 PAC --------------------------------------------------------------------5 分 (2)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, 所以 AC ? 面 BDD 1 ,则平面 PAC ? 平面 BDD 1 -------------------------12 分

16. 解:⑴D 点坐标为 x ?

4?2 1? 4 5 ? 3, y ? ? 2 2 2

即 D ? 3, ? -----------------2 分

? 5? ? 2?

5 ?3 1 2 --------------------------------------------------------------4 分 K BD ? ?? 3?0 6 1 l BD : y ? 3 ? ? x ,一般式为 x ? 6 y ? 18 ? 0 --------------------------------7 分 6
⑵由 ?

?2x ? y ? 1 ? 0 ? 7 9? 得圆心坐标为 ? ? , ? -----------------------------------9 分 ? 5 5? ?x ? 3 y ? 4 ? 0

又半径 r ?

9 ? 7? 3 ? ? ? ? ? 4 ? ? 17 5 ? 5? 3 ?4
2 2

?
2

20 ? 4 ------------------------------12 分 5

所以圆 C 的方程为 ? x ?

? ?

7? ? 9? 2 ? ? ? y ? ? ? 4 ------------------------------14 分 5? ? 5?

2

17. 解:设这种放射性物质最初的质量是 1,经过 x 年后,剩留量是 y ,----2 分 则有 y ? 0.75 . --------------------------------------------------------------------------6 分
x

依题意,得

1 ? 0.75 x ,------------------------------------------------------8 分 3

高一数学期末考试试卷 第 4 页 共 6 页

1 lg 3 0.4771 3 ? ? lg 3 ? 即x? ? ? 3.8 . ---11 分 lg 0.75 lg 3 ? lg 4 2lg 2 ? lg 3 2 ? 0.301 ? 0.4771 lg
∴ 估计约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的 1 .-----------------12 分 3 (1) ? f ( x) 的定义域为 R, ? x1 ? x2 ,

18. 解:

2 2 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? a ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x = , 2 1 ?1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数.…………7 分 2 2 ? ?a ? x (2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? ? x , 2 ?1 2 ?1 2 . 解得: a ? 1. ? f ( x) ? 1 ? x ………………14 分 2 ?1
19. 解: (1)设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1

? f (0) ? 0,? a ? 1

f ( x) ? x 2 ? 2x

------------------------------------4 分

(2)当 x ? 0 时, ? x ? 0

g (? x) ? (? x) 2 ? 2(? x) ? x 2 ? 2x

又 g ( x) 时奇函数,? g ( x) ? ? g (? x) ? ? x 2 ? 2x
2 ? ? x ? 2 x( x ? 0) ? g ( x) ? ? 2 -----------------------------9 分 ? ?? x ? 2 x( x ? 0)

图略--------------------------------------------------11 分 (3)递增区间是 ?-?,- 1? 和 ?1,??? ,递减区间是 ?? 1,1? ----14 分 20.解:由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8-------------------------------------------------2 分 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34.---------------------------------------------------4 分 (1)当 x=2 时,y 甲=0.2×2+0.8 =1.2,y 乙= -4×2+34=26, y 甲·y 乙=1.2×26=31.2. 所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只.------------ ---6 分 (2)第 1 年出产鱼 1×30=30(万只), 第 6 年出产鱼 2×10=20(万只),可见,第 6 年这个县 的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了---------------------------------------------8 分 (3)设当第 m 年时的规模总出产量为 n,
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那么 n=y 甲· y 乙=(0.2m+0.8) (-4m+34)= -0. 8m2+3.6m+27.2 =-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25------------------------------11 分 因此, .当 m=2 时,n 最大值=31.2. 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万只. --------------14 分

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