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安徽省淮南市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案

时间:2013-05-08


淮南市 2013 届高三第二次模拟考试?

数学(理科)参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)
题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分


二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
11. 24 12.
2 2

.

13. 7.

14.

13 .

15. ②?④.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.)
16. (本小题满分 12 分) 解:解: (1) f ( x ) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos
?
6
?0? y ?3
2

x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 1 ?

? y ? 2 sin( 2 x ?

)?1

∵ x ? ? 0,
?

?

??
2? ?

………………6 分 ∴ 2 sin(2 A ?
1 2 a sin A ? b sin B ? c sin C

(2)∵ f(A)= 2 ∴ sin(2 A ?
?
6 )?

?
6

) ?1

,解得 A ? 0 (舍去)或 A ?

?
3

∵ sin B ? 3sin C ,

∴ b ? 3c



∵ ?ABC 面积为

3 3 4

∴ S ?ABC ?

1 2

bc sin A ?

1 2

bc sin

?
3

?

3 3 4

即 bc ? 3

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?
3

∴ a?

7 ………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的同学中,1 男 1 女”为事 件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的同学中 1 男 1 女”为事件 B , 由于事件 A ? B 互斥,且 p ( A ) ?
Cm C m?2
2 2

C1C 4 C5
2

1

1

, p(B) ?

C 2C m C 4 C m?2 C 5
2

1

1

2 2

,

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为
p( A ? B ) ? P ( A) ? P (B ) ? Cm C m?2
2 2

C1C 4 C5
2

1

1

?

C 2C m C 4 C m?2 C 5
2

1

1

2 2

?

7 15

?

2

m ? 5m
2 2

5 m ? 3m ? 2

?

7 15

,? m ? 2 或 m ? (舍) 7

………………6 分

(2) ? 可能的取值为 0, 2 ,4 ∴ ? 的分布列为
?

0

2

4

P

11 30

8 15

1 10

∴ ? 的数学期望 E ? ?

22 15

………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:证明: (1)G 为 PC 中点。证明如下: 取 PB 中点 H,连接 GH,EH.
? G 、 H 分别为 PC 、 PB 中点, E 、 F 分别为 AB 、 AC 中点

? GH // BC , 且 GH ? EF // BC , 且 EF ? 1 2
? GH // EF , GH ? EF ,

1 2

BC

BC

∴四边形 GHEF 为平行四边形,
? GF // HE ,? GF // 面 PBE

………………4 分

(2)在三角形 ABC 中,取 EF 的中点为 O,BC 的中点为 D,
? E 、 F 分别为 AB 、 AC 中点

? OD ? BC , PO ? EF , EF // BC , EF // 面 PBC , ? PEF 为等边三角形
? 点 F 到面 PBC 的距离等于点 O 到面 PBC 的 距 离

? 面 PEF ? 面 BCFE ? PO ? 面 BCFE
? PO ? BC , 又 ? OD ? BC ? BC ? 面 POD ? 面 PBC ? 面 POD ,

连接 PD,在 ? POD 中做 ON ? PD ,则 ON ? 面 PBC
? ON 就是 O 到面 PBC 的距离。

在 ? POD 中, PO ? OD ?
1 2

3
6 2

且 PO ? OD ? ON ?

PD ?

………………8 分

(3) PC 的中点 G,
? N 为 PD 的中点, ? GN // CD , GN ? 又 ? OF // CD , OF ? 1 2
? 四边形 FGNO 为平行四边形, ? FG // ON

1 2

CD

CD ? GN // OF , GN ? OF

? FG ? 面 PBC ,? ? FPC 就是 PF 与面 PBC 所成的角

在 Rt ? FGP 中, FG ?

6 2

, PF ? 2

? Sin ? FPG ?

FG PF

?

6 4

? Cos ? FPG ?

10 4

………………………12 分

方法二:以点 o 为原点建系,用向量法可证 19. (本小题满分12分) 解: (1) f ? ? x ? ? x ? 2 ?
1 x ?1 ? x ? x ?1
2

…………………………………12 分

x ?1
5 2 1? 2 5

? f ?? x ? ?

x ? x ?1
2

x ?1

? 0, x ? ?

1?

或x ?

? x ? [ 2 , 4 ], y ? f ( x ) 单调增

又 f(2)=ln3-1,f(4)=1+ln5, ? y=f(x)在区间 [0,4]上的值域[ln3-1,ln5+1] (2)函数 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1, ?? ? , f ? ? x ? ? ax ? 2 ?

………………………6 分
1 x ?1 , f ? ? 0 ? ? ? 1,

所以曲线 C : y ? f ? x ? 在点 P ? 0 ,1 ? 处的切线方程为: y ? ? x ? 1 因为切线与曲线有唯一的公共点, 所以方程 令 g ?x ? ?
1 2
1 2
? ? 1 ?? ax ? x ? ? ? 1?? a ? ?? ? x ?1
x
2

ax
ax

2

? x ? ln ? x ? 1 ? ? 0 有且只有一个实数解,显然 x ? 0 是方程的一个解.
? x ? ln ? x ? 1 ? ,

2

则 g ?? x ? ?

ax ? 1 ?

1 x ?1

?

(1) 当 a=1

时, g ? ? x ? ?

x ?1

? 0

,所以 g(x)在定义域内单调增,x=0 是唯一实数解
? ? 1 ?? ax ? x ? ? ? 1?? ? a ?? ? x ?1

(2) 当 a ? 1 时, g ? ? x ? ?

ax ? 1 ?

1 x ?1

?

? 0

x 1 ? 0, x 2 ?
1 在区间 - 1, ( a

1 a

? 1 ? ( ? 1, 0 )

- 1) 上

g(x)单调增, 在区间 (

1 a

- 1, ) 0

上 g(x)单调减,

在区间 0, ( ?

?)

上 g(x)单调增,

而x

? ? 1, g ( x ) ? 0 , g (

1 a

- 1) ? g ( 0 ) ? 0

因此 g ? x ? ? 0 在 ? ? 1,
?

?

? ? 1 ? 内也有一个解. a ? 1

即当 a ? 1 时,不合题目的条件.综上讨论得 a ? 1

… ……………………12 分

20. (本小题满分13分) 解: (1)由题意得: 4 - b ? 2 ? 1 ? b ? 1 ? b ? 1
2 2

? 椭圆 C :

x

2

? y

2

? 1, 设 D ( x , y )

4

由 AD

2

? DM

2

? AM ,得( x ? 2 ) ? y ? x ? 1) ? y ? 9 (
2 2 2 2 2

?x ? y ? x?2? 0
2 2


2



x

2

? y

2

?1

4



由 ① ② 得 x ? 3 或 x ? ? 2 ( 舍) , 代 入 得
y ? 2 3 2

? ? ADM







S ?

1 2

? 3?

2 3

2

?

2

… ……………………

6分 (2)设: l PA : y ? k ( x ? 2 ), D ( x D , y D ), P ( x P , y P )
yP ?? ? k1 k2 ? xP ? 2 yD xD ? 1 ? k ( xP ? 2) xP ? 2 k ( xD ? 2) xD ? 1 ? xP ? 2 xP ? 2 ? xD ? 1 xD ? 2

而 D 满足: ?

? y ? k ( x ? 2) ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

? x ? 4k ( x ? 4 x ? 4) ? 4 ? 0
2 2 2

? 1 ? 4 k ) x ? 16 k x ? 16 k ? 4 ? 0 ? - 2) x D ? ( ( ?
2 2 2 2

16 k ? 4
2

1 ? 4k

2

? xD ?

2 ? 8k 1 ? 4k
2

2 2

2 ? y ? k ( x ? 2) 2 ? 2k ? xP ? 2 ,同理:点 P 满足: ? 2 2 1? k ?x ? y ? 4 ? 0

2 ? 2k
2

?2 2 1 ? 4k ( 0 ? 又 k 1 , k 2 均不为 0,则 ? ? 0 , ? ? ? - ? ,) ( 0 , 3)… ……………………13 分 1? k
2

? ? ? 1? k 2 2 ? 2k

?2 ?2

2 ? 8k

2 2

? 1 ? 4k 2 2 ? 8k

?1 ? 3?

1 4k
2

?3

… ……………………12 分

21. (本小题满分 14 分)
( ? 解: (1) a 2013 ? a 83 ? 24 ? 21 ? a 21 ? 2 ? 11 - 1)( - 2)? - 18 … ……………………4 分

(2) 128 ? 2 7 ,? a 是第K个周期的第14项,则 118
? mk=52, m ? N , k ? N
* *

2mk + 14=118 ( m ? 7 ) ……………………9 分

?

m=13、m=26 或 m=52
? a 2 m ? 1 ? 2 ? ( m ? 1) ? ( ? 2 ) ? 4 ? 2 m a2m ? 2 ? 2
m ?1

(3)

? 2
m

m

? S 2 m ?1 ?

(1 - 2 ) 2 1? 2
2 m ?1

?

m ( 2 ? 4 - 2m ) 2

?2 ? 2

m ?1

? m ? 3m
2

m=1,2时,有 S

? 2013 ,

下面证明 f ( m ) ? 2 m ? 1 ? m 2 ? 3 m , ( m ? 3 ) 单调增
f ( m ? 1) - f ( m ) ? 2
m ?1

? 2 m ? 2 ? 1 ? 1) ? 2 m ? 2 ? 0 (
m



f (10 ) ? 2 f (11 ) ? 2

11

? 100 ? 30 ? 2013 ? 121 ? 33 ? 2013

12

? m 最大值为 10 .

……………………14 分


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