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2012年广西高二创新杯数学竞赛初赛题(解析版)


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2012 年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1.设集合 A ? {x || x ? a |? 1, x ? R}, B ? {x | 6 x ? 5 ? x 2 , x ? R} ,若 A ? B ? ? ,则实数 a

的取 值范围是( ) (A) {a | 0 ? a ? 6} {a | 2 ? a ? 4} (B) {a | a ? 2 或 a ? 4} (C) {a | a ? 0 或 a ? 6}

(D)

答 案 : C 。 解 析 : 由 A ? {x || x ? a |? 1, x ? R} , B ? {x | 6 x ? 5 ? x 2 , x ? R} 得

A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R} , B ? {x | 1 ? x ? 5, x ? R} ,又 A ? B ? ? ,所以有 a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 5 ,即 {a | a ? 0 或 a ? 6} 。
2.若三点 A(1,1), B(2,?4), C ( x,?9) 共线,则 x ? ( (A)2 (B)-2 (C)-3 (D)3 )

答案:D。解析:由 AB ? ? BC ,得 (1,?5) ? ? ( x ? 2,?5) ,解得 ? ? 1, x ? 3 。

3.不等式

2 | x ? 1| ? 1 的解集为( | x ? 1| ?2
(B) (?2,2)

) (D) (2,4)

(A) (?1,3)

(C) (?3,1)

答案:A。解析:由

2 | x ? 1| ? 1 得 | x ? 1 | ?2 ? 2 | x ? 1 |?| x ? 1 |? 2 ? ?1 ? x ? 3 。 | x ? 1| ?2


4.已知函数 f ( x) ? lg x 和 g ( x) ? cos x ,则满足 f ( x) ? g ( x) 的实数 x 的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

答案:C。解析:作出函数 f ( x) ? lg x 和 g ( x) ? cos x 可以看出有 3 个交点。 5.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn,且 6S5 ? 5S3 ? 5 ,则 a4 =( (A)1 (B)2 (C) )

1 3

(D)

1 2

答:C。 解析: 6S5 ? 5S3 ? 5(a4 ? a5 ) ?

5(a1 ? a5 ) ? 5, 2a4 ? 3a5 ? a1 ? 2 , 2 1 2a4 ? 3(a4 ? d ) ? a4 ? 3d ? 2, 6a4 ? 2, a4 = 。 3
3 2

2 6.设 x1 , x2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根,则 x1 ? 5 x2 ? 10 ? ( )

(A) ?29

(B) ?19
2

(C) ?15

(D) ?9

解:B. 由 x1 , x2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根得,
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x13 ? x1 ? x12 ? x1 (4 ? x1 ) ? 4 x1 ? x12 ? 4 x1 ? x1 ? 4 ? 5 x1 ? 4,

2 ?5 x2 ? ?5(4 ? x2 ) ? ?20 ? 5 x2 ,

则 x1 ? 5 x2 ? 10 ? 5( x1 ? x2 ) ? 10 ? 24 ? ?5 ? 10 ? 24 ? ?19.
3 2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1)
(2, ,则 a ? b 等于________. 8)
? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 解:由题设知 ? 化简得 ? 2 ? (8 ? b) ? a . ?log a (8 ? b) ? 2, ? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, 解之得 ? (舍去),故 a ? b 等于 4. ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.
2 . 在 数 列 {an } 中 , 设 a1 ? 2 0 1 , a2 ? 2012 , an?2 ? an?1 ? an , n ? N * , 则 3

a2

0 1? 3



答案:-1。解析:由条件得数列 {an } 是以周期为 6 的数列,故 a2013 ? a3 ? ?1 。

? g ( x) ? x ? 4 , x ? g ( x) 2 3 . 设 函 数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? , 则 f ( x) 的 值 域 , x ? g ( x) ? g ( x) ? x
为 。

答 案 : ?? , 0 ? ? 4 ? ?

? 9

?

解 (?? , 。 ) 析 : 由 x ? x 2 ? 2 解 得 x ? ?1, x ? 2 , 即 有 2

? x 2 ? x ? 2 , x ? ?1, x ? 2 f ( x) ? ? 2 ,作出图象可得。 ? x ? x ? 2 ,?1 ? x ? 2
4. 若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1, 3, b 的取值范围为 2, 则 .

b?4 ? ?0 ? 3 ? 1 b?4 b?4 答案: (5,7) 。解析:由|3x-b|<4 得 ,由 ? 解得 b ? (5,7) 。 ?x? b?4 3 3 ?3 ? ?4 3 ?

1 cot B 5.若S?ABC ? b2 tan B, 其中b是?B的对边,则 ? 4 cotA ? cot C

.

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1 1 1 1 .解 .由S?ABC ? b 2 tan B ? ab sin C ? b 2 tan B 2 4 2 4 sin( A ? C ) cot B 1 ? 2 cot B ? ? cot A ? cot C ? ? . sin A ? sin C cotA ? cot C 2

6 使不等式

1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2012 对一切正整数 n 都成立的最小正 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

整数 a 的值是______. 解:令 an ?
1 1 1 ,则数列 {an } 是递减的,所以所求最小正整数 ? ??? n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 a 应满足: a1 ? a ? 2012 ,求得最小正整数 a =2014. 3

三、 (20 分)解方程组: ?

?2 xy ? 5 xy ? 1 ? 10
2 2 ? x ? y ? 34

(1) ( 2)

解一:由(1)变形得: 2( xy ? 1) ? 5 xy ? 1 ? 12 ? 0

………………

5分
解得: xy ? 1 ? 4 ,即 xy ? 15 ? ( 15 ) 2 ,即 x, 15 , y 成等比数列。

………………

10 分
所以可设 x ? 15q, y ?

15 ,代入<2>整理得: 15q 4 ? 34q 2 ? 15 ? 0 , q

即q ? ?

15 15 或q ? ? 3 5

………………

15 分
? x1 ? 5 ? x2 ? 3 ? x3 ? ?3 ? x4 ? ?5 ,? ,? ,? 所以 ? , ? y1 ? 3 ? y2 ? 5 ? y3 ? ?5 ? y4 ? ?3
经检验,上述四个解都是原方程组的解。

………………

20 分
解二:由(1)变形得: 4 ? xy ? ? 65 xy ? 75 ? 0
2

………………

5分
解得: xy ? 15 或者 xy ?

5 2 2 (因为 2 xy ? 10 , 舍去),于是 x y ? 225 。 4

………………

10 分
所以 x , y 是方程: r ? 34r ? 225 ? 0 的两个根。
2 2

2


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………………15 分

? x1 ? 5 ? x2 ? 3 ? x3 ? ?3 ? x4 ? ?5 ,? ,? ,? 所以 ? , ? y1 ? 3 ? y2 ? 5 ? y3 ? ?5 ? y4 ? ?3
经检验,上述四个解都是原方程组的解。

………………

20 分

四、 (20 分)设Δ ABC 三边 BC、AC、AB 的中点分别为 D、E、F,边 BC 上的高为 AH, 求证:∠EDF=∠EHF。 证明:由已知有 ED//AB,FD//AC,即 AFDE 是平行四边形, ∴ ∠EDF=∠BAC, ………………5 分 因 E 是直角三角形 AHC 斜边的中点, 故 EH=EA,∴ ∠1=∠2, ………………10 分 同理 ∠3=∠4, ………………15 分 ∴ ∠EHF=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BAC, 所以 ∠EDF=∠EHF。
F
3 1

A
4 2

E

………………20 分

B

D

H

C

五、 (20 分)
已知数列 ? an ? 的通项公式 an ? log 2

n ?1 (n ? N ? ), 设 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求使 n?2

S n ? ?5 成立的自然数 n 的最小值.
解:

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? log 2

2 3 n ?1 2 , ………… ? log 2 ? ? ? log 2 ? log 2 3 4 n?2 n?2

……5 分


2 log 2 ? ?5 , n?2


………………10 分


n?2 ?
又 63.

6

?n ?



………………15 分 2

?n ? N?

?n









………………20 分

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